2024-2025学年上海川沙中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

川沙中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.12
一、填空题（满分36分）
1．函数的定义域是________．
2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是________．
3．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________．
4．设，，则________．
5．已知的定义域为，则的定义域是________．
6．定义域为的奇函数，当时，，则当时________．
7．已知实数，满足，则的最小值为________．
8．若函数的值域为，则实数的取值范围是________．
9．已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是________．
10．已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是_________．
11．已知函数，则_________．
12．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集是_________．
二、选择题（满分12分）
13．已知，条件：，条件：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．定义域为的函数满足条件：①对任意的，，恒有，②；③，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
16．设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（8+8+10+12+14=52分）
17．已知函数的图象过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．
18．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20．设函数（且）是定义域为的奇函数．
（1）求的值；
（2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值．
21．已知函数，，若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“-利普希兹条件函数”
（1）判断函数，是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求最小实数m，使得对任意的，都有．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知函数，则_________．
【答案】1
【解析】令为奇函数.,
原式故答案为:1.
12．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】不妨令,则，等价于
构造函数,则是上的增函数，因为,
所以等价于,即，解得。
故答案为:
二、选择题
13.B； 14.A； 15.C； 16.D
15.函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为函数定义域为,
所以对任意的恒成立，所以,解得,
根据充分不必要条件的定义有,的一个充分不必要条件可以是,
不能是,故错误。故选:.
16．设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】当时，函数在上递减，函数值集合为，
在上递增，函数值集合为,当时,函数在上递减，
函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
作出函数的图象，如图，设,
当时,直线时函数的图象设四个交点,
且交点的横坐标分别为,且,
当时，由，解得或,于是,
由,得,则,即,
而,因此
令,显然函数在上递减,且,
于是，所以的取值范围是.故选:
三、解答题
17.（1） （2）单调递减，证明略
18.（1） （2）
19.（1）
（2）当肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元
20.设函数（且）是定义域为的奇函数．
（1）求的值；
（2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）2 （2） （3）
【解析】（1）由题意，函数且)定义域为的奇函数,即,.
(2)由（1）可知且,即,,
可得是减函数，是增函数，
那么且在上是单调递减函数;
则,可得是奇函数,
是单调递减函数;
即恒成立，由判别式,可得,解得:.
(3)由,即,解得:或(舍去)
那么:
在上的最小值为-2,
设,则在上是单调递增函数.则的值域为
对称轴,开口向上,
当时,那么,即解得:,不满足题意.
当时,那么,即,解得：，满足题意。
综上可得：
21.已知函数，，若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“-利普希兹条件函数”
（1）判断函数，是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若函数是“-利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求最小实数m，使得对任意的，都有．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】(1)对于函数,
不妨设,则,符合题意，
所以函数是"利普希兹条件函数",对于函数,
因为,所以函数不是"1-利普希兹条件函数".
(2)若函数是"-利普希兹条件函数",
则对定义域内任意,均有,
即,设,则,即
因为,所以,所以,所以的最小值为.
(3)设,当时,
因为是定义在闭区间上的"2-利普希兹条件函数",
所以,当时,由
得
所以
综上所述,,所以..