2024-2025学年江西省“上进稳派”高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年江西省“上进稳派”高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 = }， = { ∈ | 2 ≤ 0}，则 ∪ =( )
A. {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}
2.某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人
均收入 (单位：元)服从正态分布( , 250000)，若 ( ≤ 1500) = ( ≥ 2500)，则 (1000 < < 2500) =( )
参考数据： ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) = 0.9545， ( 3 < < + 3 ) =
0.9973．
A. 0.84 B. 0.8186 C. 0.9759 D. 0.8286
3.已知 ∈ ，圆 1: ( )
2 + ( 1)2 = 25，圆 2:
2 + 2 4 = 0，则“ 1与 2有且仅有两条公切线”
是“2√ 2 < < 4√ 3”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数 ( ) = ( )在区间(1,2)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2 ) B. ( ∞,3 2) C. ( ∞, 2 ] D. ( ∞,3 2]
5.小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，
且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有( )
A. 132种 B. 114种 C. 96种 D. 84种

6.已知△ 是边长为2的正三角形，点 满足 = 2，∠ = ，则 的最大值为( )
6
A. 4 B. 4√ 3 C. 2 D. 2√ 3
2 2
7.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为
2 2 2 2
1， 2，圆 : + = 与 在第一象限交
| |
于点 ，直线 2与 的另一个交点为 ，若
1 = 4，则直线 的斜率为( )
| 12|
1 1
A. 2 B. C. 2 D.
2 2
8.若四面体 的体积为4，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面
围成一个新的四面体，则新四面体的体积为( )
A. 12 B. 36 C. 54 D. 108
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全
知识竞赛活动.某高中采用分层抽样的方式从该校的高一、二、三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已
知该校高一、二、三年级的人数比例为4: 3: 3，统计并记录抽取到的10名同学的成绩(满分100分)为：90，85，
86，88，70，90，95，92，94，100，则( )
A. 这组数据的极差为30 B. 这组数据的70%分位数为92
C. 这组数据的方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人
10.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ( 2,0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)是 上不同的两点，则( )
A. 的方程为 2 = 4
B. 点 到 的准线距离为4
C. | | + | |的最小值为4
D. 若 ， ， 共线，则 1 + 2的最大值为 4
11.已知函数 ( )满足对任意 1， 2 ∈ ，都有 ( 1) = ( 1 2) + ( 2) + 1 2( 1 2)，且 (2) = 6，
则( )
A. (1) = 2
B. ( )是奇函数
C. (4 ) = ( ) + 16 3
( +1)( +2)
D. ∑ =1( ( + 1) ( )) = 2 + 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1+
12.若复数 = ，则|2 2023 + 2024| = ．
1

13.函数 ( ) = sin 3|sin |在[ , ]上的值域是[ 2,0]，则 的取值范围是 ．
2
14.现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞
里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要 天可以确保抓住狐狸．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
2
如图，在平面四边形 中， = 2， = 6， = 2√ 6， = 8， = ，点 在 上，且 = 19． 3 √
(1)求 ;
(2)求△ 的面积．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ln + 1 + + 1．
(1)若 = 0，过原点的直线 与 ( )的图象相切，求 的方程;
1
(2)若 = ，求 ( )的最大值．
3
17.(本小题15分)
如图，在几何体 中， ， ， 互相平行，四边形 与四边形 是全等的等腰梯形，
平面 ⊥平面 . = 4， = = 2，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
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2 √ 5
已知双曲线 : 22 = 1( > 0)的离心率为 ， 与 轴的正、负半轴分别交于 1， 2两点，过点 (2 , 0) 2
的直线 与 的右支交于 ， 两点．
(1)若直线 的斜率存在，求出 斜率的取值范围;

(2)探究： 2 是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由(其中 ， 分别表示直线 1 ， 1 2 2 1
的斜率);
(3)若直线 2 ， 1 交于点 ，且 △ ≥ △ ，求实数 的取值范围． 1 2
19.(本小题17分)
ln +ln
定义：若正项数列{ +2 }满足ln +1 > ，则称数列{ }具有性质 ． 2
(1)已知 = 2 1，证明：数列{ }具有性质 ;

(2)已知正项数列{ }的前 项和为 ，且满足
1 < 1，对任意不相等的正整数 1， 2， 3，存在唯一实数 ， 2
1 2 2 3 3 使得 1

+
3
+ = ．
3 1 1

2 2
(ⅰ)求数列{ }的通项公式;
(ⅱ)数列{ }是否具有性质 ，若是，请给出证明;若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 5
7
13.【答案】[ , ]
6
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即19 = 4 + 2 + 2 ，整理得 2 + 2 15 = 0，所以 = 3．
2
(2)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 84，
3
2+ 2 2 √ 6
所以cos = = ，
2 6
√ 30
sin = √ 1 cos2 = ，
6
1 1 √ 30
所以△ 的面积为 sin = × 6 × 2√ 6 × = 6√ 5．
2 2 6
1
16.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = ln + + 1，则 ′( ) = + 1，

设过原点的直线 与 ( )的图象在 = 处相切，
( )
则切线斜率 = ′( ) = ，

1 ln 1 ln
所以 + 1 = + 1 + ，即 = 0，

所以 = 1， = ′(1) = 2，
所以 的方程为2 = 0．
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1
(2)当 = 3时， ( ) = ln
4 + + 1，

1 1
所以 ′( ) = ( + 1) 4 + 1 = ( + 1)( 4)，

1
设 ( ) = 4，则 ( )在(0,+∞)上单调递减，

1 1 1 1
且 (2) = 2 > 0， (3) = < 0， 2 3
1
所以存在 0 ∈ (2,3)，使得 ( 0) = 0，即 =
0 4，
0
所以 0 40 = 1，ln 0 = 0 + 4，
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 0, +∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ ( 0) = ln 0 0
0 4 + 0 + 1 = 4，
所以 ( )的最大值为4．
17.【答案】(1)证明：如图，因为四边形 是等腰梯形，
点 为 的中点，点 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
取 的中点 ，连接 ， ， ，
则四边形 是边长为2的菱形，所以 ⊥ ，
因为 // ， // ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：由(1)知， ， ， 两两垂直，以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0)， (√ 3, 2,0)， (0, 2, √ 3)， (√ 3, 2,0)，
= (0, 1,√ 3)， = (√ 3, 1,0)， = (√ 3, 4, √ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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= 0, + √ 3 = 0,
则{ ，得{
= 0, √ 3 = 0,
取 = 1，得 = (1, √ 3, 1)，
设直线 与平面 所成的角为 ，
| | |1×√ 3+√ 3×4+1×( √ 3)| 2√ 330
则sin = = =| || | √ 12 2 2 2
55 ，
+(√ 3) +12×√ ( 2√ 3) +4 +( √ 3)
所以直线 与平面 所成角的正弦值为2√ 330．
55
1 √ 5
18.【答案】解：(1)依题意， = = √ 1 + 2 = ，解得 = 2， 2
易知直线 的斜率不为0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = + 4，
2
联立双曲线 : 2 = 1与直线 : = + 4得，( 2 4) 2 + 8 + 12 = 0，
4
= (8 )2 4( 2 4) × 12 = 16( 2 + 12) > 0
2
则{ 4 ≠ 0 ,
12
1 2 = 2 < 0 4
解得 2 < < 2，
1
再由斜率 存在以及 = 可得，

1 1
的取值范围为( ∞, ) ∪ ( ,+∞).
2 2
(2)依题意， 2( 2,0)， 1(2,0)，
8 12
由韦达定理可知， 1 + 2 = 2 ， = ， 4 1 2 2 4
于是2 1 2 = 3( 1 + 2)，
1
2 +2 ( 2)因此 = 1 = 1
2
2 1 2 2
( 2+2)
2
1( 2 + 2) 1 2 + 2 = = 1
+ 6 2( 1 + 6) 1 2 2
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3
( + ) + 2
= 2
1 2 1
3
( 1 + ) + 6 2 2 2
1 3

= 2 1

2 2 1
3 9 = ．
3
2 1
+
2 2
(3)由(2)可知， = 3 1 ， 2
设直线 2 与直线 1 的方程分别为 = 1( + 2)， = 3 1( 2)，
联立两直线方程可得交点 的横坐标为1，
1
△ ∠ 故 = 2
1
△ 1 2 1 2 ∠ 2 1 2
1 1 2 1
= =
2 1 3 1
( 1 + 3)( 2 + 3)=
3
2 1 2 + 3 ( = 1
+ 2) + 9
3
2 12 16 16
= 2 = 1 + 4 4 2 ≥ 1 + = 3， 4 0
当且仅当 = 0时等号成立，
故实数 的取值范围为( ∞, 3]．
19.【答案】(1)证明：易知 ∈ ， = 2 1 > 0，
要证数列{ }具有性质 ，
ln(2 1)+ln(2 +3)
即证ln(2 + 1) > ，
2
即证ln(2 + 1)2 > ln(2 1)(2 + 3)，
即证(2 + 1)2 > (2 1)(2 + 3)，
即证4 2 + 4 + 1 > 4 2 + 4 3，这显然成立，
故数列{ }具有性质 ．

(2)( )解：将 2 1 1 3 3 21， 2互换可得， = + + = ，所以 = 0， 3 2 13 2 1

令 = 1， = 2，得 3 = (2 ) + ( 1) 21 2 3 1 3 ， 3 2

所以 3 = + ( 1)( 2 )，
1 3 2 13

故数列{ }是等差数列，

2 = 2
1
1 > 0，所以
= + ( 1) 2 1，
2 2 1 2
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故 = 2
1 2 3 1 + 2 . 2 2

( )解：记 = 2 1 > 0，
2
, = 1,
又 1 = { 1, ≥ 2,
故 = 1 + 2 ( 1)，故 +1 = 2 > 0，
故{ }是单调递增的等差数列，
( + )
故 +1 > > 0， +2 + = 2 +1， =
1 ，
2
故4( 2 2 2 +1 +2) = ( + 1) ( 1 + +1) ( + 2)( 1 + )( 1 + +2)
( 1 + ) + ( 1 + +2)
> ( + 1)2( 1 +
2
+1) ( + 2)[ ]
2
2
= ( + 1)2( 2 21 + +1) ( + 2)( 1 + +1)
= ( 1 +
2
+1) > 0，
故数列{ }具有性质 ．
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