2024-2025学年上海实验学校高三上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

上海市实验学校2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.若全集,集合,则________.
2.不等式的解集为_______.
3.高三年级某8位同学的体重分别为（单位:kg），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位
数的概率是_______.
4.已知复数为纯虚数,若(其中i为虚数单位),则实数的值为_______.
5.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若函数是偶函数，则_______.
6.若圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.
7.在平面直角坐标系内,点的坐标满足,且都是集合,中的元素.又点到原点的距离,则这样的点的个数为_______.
8.设是展开式中的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是_______.
9.将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是_______.
10.如图,在中,为上一点,且满足,若,则的最小值为_______.
11.定义表示实数中的较大者，若是正实数，
则的最小值是_______.
12.椭圆的左焦点为，上顶点为A，若存在直线与椭圆交于不同两点的重心为，直线的斜率取值范围是_______.
二、选择题（本大题满分18分，第题每题4分，第题每题5分）
13.已知，则""是""的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
15.若点在圆上运动,为的中点.点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
16.已知函数,若有两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分78分）
17.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图。
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患该种疾病
的概率。（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
18.如图,在圆锥中,已知的直径是的中点,为的
中点.
(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
19.记的内角的对边分别为,已知.
（1）若,求;
（2）求的最小值.
20.若双曲线的一个焦点是,且离心率为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合）,
(1)求直线的倾斜角的取值范围;
(2)在轴上是否存在定点,使得直线和的斜率之积为常数,若存在,求出的坐标，若不存在，请说明理由。
21.已知函数。
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）若,求证:；
(3)若为正实数，且,
求证:
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.2； 11.； 12.；
11.定义表示实数中的较大者，若是正实数，
则的最小值是_______.
【答案】
【解析】按和分类:记,
当时,,
当且仅当时，等号成立；
当时,,
当且仅当时，等号成立。综上所述，的最小值是。
12.椭圆的左焦点为，上顶点为A，若存在直线与椭圆交于不同两点的重心为，直线的斜率取值范围是_______.
【答案】
【解析】设椭圆的半焦距为，由已知
设，因为重心为，所以，
所以,又,
两式相减可得:,所以，
所以直线的斜率,
又因为弦BC的中点应在椭圆内，故，解得，
即所以在上严格增，故，所以.
二、选择题
13.A； 14.A； 15.B； 16.D
15.若点在圆上运动,为的中点.点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】点在圆上运动,,
中点到圆心的距离为,
由圆的定义可知，点的运动轨迹为以，半径1的圆，
又点在圆的最小值为:.故选:B.
16.已知函数,若有两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】和差化积公式:,,
AB选项:
,故AB错误
D选项:
,故D正确
C选项:
,
矛盾,故舍去综上所述：选项D正确
三、解答题
17.（1） （2） （3）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20.若双曲线的一个焦点是,且离心率为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合）,
①求直线的倾斜角的取值范围;
②在轴上是否存在定点,使得直线和的斜率之积为常数,若存在,求出的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】（1） （2）① ②见解析
【解析】(1)由题意,
又,则,所以,双曲线的方程为.
（2）①（i）当直线斜率存在时，设直线,
联立，整理得:，
由题得:
解得或,此时，直线的倾斜角的范围为.
（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为。
综上可知，直线的倾斜角的范围为.
②(i)当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，
由（2）①得:,又得:
对于任意都成立，所以
解得:或，即当坐标为时，；
当坐标为时，。
（ii）当直线斜率不存在时，此时
当坐标为时，；当坐标为时，。
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数。
21.已知函数。
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）若,求证:；
(3)若为正实数，且,
求证:
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】(1)首先,,故,
设,则,由,
可知当时,在区间上单调递增,故,满足;
当时,由在区间上单调递增,且,
故存在,使得,且时,单调递减,
此时,,与题设矛盾.综上所述，实数的取值范围.
(2)
由,可知,即
故只要证
设,则，
在区间上单调递增，即，，
故原不等式成立。
(3)一方面,由于,
故可令,其中
,结合第（2）问的结论，
另一方面，
综上可得,.