江苏省无锡市2025届高三上学期期终教学质量调研测试数学试卷（含答案）

江苏省无锡市2025届高三上学期期终教学质量调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.“”成立的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.在二项式的展开式中二项式系数的和是，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，满足，，且，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，是奇函数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从含有道代数题和道几何题的道试题中随机抽取道题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回，则( )
A. “第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”相互独立
B. “第次抽到代数题”与“第次抽到几何题”是互斥事件
C. “第次抽到代数题且第次抽到几何题”的概率是
D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是
10.在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则( )
A. 平面 B.
C. 存在点，使得 D. 三棱锥的体积为定值
11.函数下列说法中正确的有( )
A. 函数是偶函数
B. ，使为周期函数
C. 当，时，的极小值为
D. 当，时，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______．
14.数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去若使前次操作后所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下列联表．
男生 女生 合计
经常锻炼
不经常锻炼
合计
请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关；
为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取人，再从这人中抽取人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率；
用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取人，记其中经常锻炼的人数为，求的数学期望．
附表：
附：．
16.本小题分
如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，，，是线段的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若在处有极小值，求的单调递增区间；
若函数的图像与直线相切，求实数的值．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，且过点，直线与椭圆交于，两点．
求椭圆的方程；
若四边形是平行四边形，求直线的方程；
若的内心在直线上，求证：直线过定点．
19.本小题分
从数列中选取第项、第项、第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．
求的值，并判断数列的“连续子列”是否是等比数列；
证明：；
若数列满足，且，数列的“连续子列”所有项的和记为，求，并求出满足的所有和的值．
参考答案
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列联表如下表所示：
男生 女生 合计
经常锻炼
不经常锻炼
合计
，又，
所以有的把握认为是否经常锻炼与性别有关．
采用分层抽样的方法从调查的不经常的学生中随机抽取人，这人中男生的人
数为，女生的人数为，
再从这人中抽取人参加座谈会，“男生女生都有人参会”的概率为，
由知，任抽人经常锻炼的概率，依题意，∽，所以的数学期望是．
16.解：连接并交于点，连接如图，
由四棱柱可知，是平行四边形，
所以是线段的中点，
因为是线段的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
过作于点如图，
则，
所以是的中点，且．
因为，侧面底面，平面，平面平面，所以平面，
同理可证，平面，
以为原点，过与平行的直线为轴，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，取，
设平面的法向量为，因为，
所以，取，
由题意，，，
因此，二面角的余弦值为．
17.解：，
．
因为在处有极小值，所以，
所以时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增．
所以在处有极小值，即．
所以的单调递增区间为和
设函数的图像与直线相切与点，
则，得或．
若，则，不合题意
所以，即，
又，
两式相减得，解得舍去或，
，所以
18.解：由题意得，解得，，
所以的方程为．
因为是平行四边形，
所以线段的中点为，
设，，
则，两式相减得，
所以，，
所以，直线的斜率，
因此，所求直线的方程为，即．
因为的内心在直线上，所以，即直线和的斜率互为相反数，且直线的斜率存在．
设直线，联立，
消去得，，
于是，，
因为，
所以，
即，
整理得，
于是，，整理得，，
所以，直线的方程为，即过定点．
19.解：由题意，则，，是公比为的等比数列，且，
所以，，
又，，是公比为的等比数列，，，，不是等比数列．
由题意，，，是公比为的等比数列，所以，
所以，
因此，数列是常数列，
由题意得，，
所以．
，，令，，
则，又，
所以，
所以，数列的“连续子列”所有项的和，
，
因此，．
由，得，
解得，
所以，
逐一检验，可得所有和的值为或．
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