(共21张PPT)
7.2.4 课时1
诱导公式①~④
人教B版(2019)必修第三册
1.掌握诱导公式①②③④，并会用公式求任意角的三角函数值.
2.会用诱导公式①②③④，进行简单的三角求值与化简.
如果已知sin26°=m，你能用m表示出sin386°，sin（-26°），sin154°，sin206°吗？你还能用m表示出更多角的三角函数值吗？
探究一：sin 26°=m，sin 386°=？
提示：寻找26°与386°的终边的关系.
386°=360°+26°，
则26°与386°的终边相同，与单位圆交点坐标分别为P(cos 26°，sin 26°)和Q（cos 386°,sin 386°)，
所以sin 386°=m.
你能得到什么一般性的结论呢？
角α与α+2kπ(k∈Z)之间的三角函数值关系是：
sin (α + k·2π) = sin α
cos (α + k·2π) = cos α
tan (α + k·2π) = tan α
用途：可以把任意角的三角函数值转化为研究0—2π的角的三角函数值.
大化小
诱导公式①
如图所示，假设角a的终边是OA，射线OB 和 OC 关于 OA 对称，∠AOB = θ，那么射线 OB 是 角 α + θ 的终边，射线 OC 是角 α – θ 的终边；
由此可知，角 α + θ 的终边和角 α – θ 的终边关于角 α 的终边所在的直线对称.
小结：角 α 的终边和角 β 的终边关于角 的终边所在直线对称.
x
y
O
α
α – θ
α + θ
θ
θ
A
B
C
探究二：sin 26°=m，sin（-26°）=？
提示：寻找26°与（-26°）的终边的关系.
P(cos 26°，sin 26°)
P’(cos(-26°)，sin(-26°))
sin 26°=-sin(-26°)=-m
cos 26°=cos(-26°)
tan 26°=-tan(-26°)
y
x
O
(1，0)
．
．
．
26°
-26°
P
P’
诱导公式②
角α与-α之间的三角函数值关系是：
用途：可以把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.
y
x
o
P
(x，y)
(1，0)
α
-α
P’
(x，-y)
sin ( – α ) = – sin α
cos ( – α ) = + cos α
tan ( – α ) = – tan α
负化正
探究三：sin 26°=m, sin 154°=？
y
x
O
P
(1,0)
．
26°
154°
P’
26°与154°的终边关于y轴对称
P(cos 26°，sin 26°)
P’(cos 154°，sin 154°)
sin 26°=sin 154°=m
cos 26°=-cos 154°
tan 26°=-tan 154°
诱导公式③
角α与π-α之间的三角函数值关系是：
用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值.
sin ( π – α ) = + sin α
cos ( π – α ) = – cos α
tan ( π – α ) = – tan α
探究四：sin 26°=m, sin 204°=？
(x，y)
(-x，-y)
角α的终边与单位圆的交点P(x，y)
=tanα
y=sinα x=cosα
角π+α的终边与单位圆的交点P2(-x，-y)
sin(π+α)=-y=-sin α
tan(π+α)==tan αα
cos(π+α)=-x=-cos α
诱导公式④
角α与π+α之间的三角函数值关系是：
sin ( π + α ) = – sin α
cos ( π + α ) = – cos α
tan ( π + α ) = + tan α
用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值.
x
y
O
α
P1
P2
α + π
例1 求下列各三角函数值
(1)sin 1320°； (2)cos ； (3)tan(－945°)．
解：(1)法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)cos ； (3)tan(－945°)．
(2)法一：cos ＝cos＝cos ＝－cos ＝－
法二：cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－
(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°
＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
任意角三角函数求值步骤
任意负角的
三角函数
用公式
二或一
任意正角的
三角函数
用公式一
0 ~ 2π 的角
的三角函数
用公式
三或四
锐角的
三角函数
方法归纳
例2 已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝ .
变式：已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求cos(255°－α)的值．
解：cos(255°－α) ＝ cos[180° －(α－75°)]
＝ －cos (α－75°)
＝
例3 化简：.
解：原式＝
＝
＝－tan α
C
B
B
4.求值：tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°＋sin(－606°)＝________.
0
根据今天所学，回答下列问题：
（1）简述任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤；
（2）诱导公式在任意角三角函数求值过程中有什么作用？(共21张PPT)
7.2.4 课时2
诱导公式⑤~⑧
人教B版(2019)必修第三册
1.理解并掌握诱导公式⑤~⑧.
2.能运用诱导公式解决问题.
在如图的直角三角形中，写出角α与角 的正余弦.
你发现了什么？
α是锐角
如果将α推广到任意角，上述式子还成立吗？
如图，设 α 和 – α 的终边与单位圆分别交于 P1 和P2，则 P1 (cos α，sin α)，P2 (cos( – α)，sin( – α))；
又由 α 和 – α 的终边关于角 的终边所在的直线对称可知，P1 和 P2 关于 y = x 对称，因此：
sin ( – α ) = cos α，cos ( – α ) = sin α.
（公式⑤）
问题1：对于任意一个角 α 来说，α 与 – α 的终边有什么关系？它们的正弦、余弦、正切之间又有什么关系？
x
y
O
α
P1
P
– α
y = x
由公式②和⑤可知：
sin ( + α) = sin [ – (– α )] = cos (– α ) = cos α；
同理可得：
cos ( + α) = cos [ – (– α )] = sin (– α ) = – sin α.
sin ( + α ) = cos α，cos ( + α ) = – sin α.
公式⑥:
问题2：结合前面所学的诱导公式，说说任意一个角 α 来说，α 与 + α 的的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
问题3：根据相关诱导公式推导
（1）；（2）；（3）；
（4）分别等于什么？
(1)
(2)
（3）；（4）
(3)
(4)
公式⑦：
sin ( + α ) = – cos α，cos ( + α ) = sin α；
公式⑧：
sin ( – α ) = – cos α，cos ( – α ) = – sin α .
一、“函数名不变，符号看象限”
8组诱导公式我们可以分两种情况记忆:
sin -sinα sinα -sinα -sinα sinα
cos cosα -cosα -cosα cosα cosα
tan -tanα -tanα tanα -tanα tanα
对于的三角函数值，把看成锐角.
二、“函数名改变，符号看象限”
sin cosα cosα -cosα -cosα
cos sinα -sinα -sinα sinα
对于，的三角函数值，把看成锐角.
例1 已知cos 31°＝m，则sin 239°sin 121°＝_____.
－m2
解析：sin 239°sin 121°＝sin(270°－31°)sin(90°＋31°)
＝(－cos 31°)·cos 31°
＝－cos231°＝－m2.
例2 已知sin()＝，则cos()的值为________.
解析：cos()＝cos[()]
=sin()=.
变式1：已知sin()＝，求cos()的值.
解：cos()＝cos[]=-sin()=-.
变式2：已知sin()＝，α是第三象限角，求sin()的值.
解:因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，
又sin()=，所以是第二象限角，
所以cos()=-，
所以sin()=sin(π)=-sin()=-cos()=.
解决化简求值问题的策略
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
方法总结
例3 求证：.
证：左边=
==，
右边=，
所以原等式成立.
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
方法总结
1.若cos 65°=a，则sin 25°的值是( )
A.-a B.a C. D.
2.下列各式正确的是( )
A.
B.
C. 若 ，且 ，则α为第二象限角
D.
B
AC
3.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(3π－x)＝sin x B.sin＝cos
C.cos(+3x)＝sin 3x D.cos(+2x)＝-sin 2x
4.化简：sin(π+)cos()+sin()cos(π+)= .
AB
-1
角
的三角函数
诱导公式①~④
“函数名不变，符号看象限”
角，的三角函数
诱导公式⑤~⑧
“函数名改变，符号看象限”
要化的角的形式可统一为 （k为整数）
“奇变偶不变，符号看象限”
