(共20张PPT)
7.2.4 课时1
诱导公式①~④
第七章 三角函数
1.理解诱导公式①②③④的推导过程．
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
探究1：根据任意角的三角函数的定义(三角函数线)，终边相同角的同名三角函数值有什么关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等.
即sin(α＋2kπ)＝sin α，
cos(α＋2kπ)＝cos α，
tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
O
x
y
B
– 30°
330°
诱导公式①
角α与α+2kπ(k∈Z)之间的三角函数值关系是：
用途：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数值.
大化小
例1 求下列各值.
（1）sin ； （2）cos ； （3）tan 405°.
解：（1）sin = sin (6π + ) = sin = 1；
（2）cos = cos (6π + ) = cos = ；
（3）tan 405°= tan (45°+ 360°) = tan 45°= 1.
探究2：观察如图单位圆中角－α与角α的终边关于x轴对称，你能借助三角函数的定义探究出－α与α的同名三角函数值之间的关系吗？
角α的终边与单位圆的交点P(x，y)
y=sinα x=cosα =tanα
角-α的终边与单位圆的交点P’(-x，-y)
sin(-α)=-y=-sin α
tan(-α)==-tan αα
cos(-α)=x=+cos α
诱导公式②
角α与-α之间的三角函数值关系是：
用途：可以把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.
负化正
y
x
o
P
(x，y)
(1，0)
α
-α
P’
(x，-y)
例2 求下列各值.
（1）sin ()； （2）cos ()； （3）tan () ； （4）sin ().
解：（1）sin () = sin = ；
（2）cos () = cos = ；
（3）tan () = tan = ；
（4）sin () = sin = sin ( + 2π) = sin = .
探究3：借助终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究出π±α与α的同名三角函数值之间的关系吗？
所以sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.
诱导公式③
角α与π-α之间的三角函数值关系是：
用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值.
诱导公式④
角α与π+α之间的三角函数值关系是：
用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值.
sin (α + k·2π) = sin α
cos (α + k·2π) = cos α
tan (α + k·2π) = tan α
诱导公式①
诱导公式②
sin ( – α ) = – sin α
cos ( – α ) = + cos α
tan ( – α ) = – tan α
诱导公式③
sin ( π – α ) = + sin α
cos ( π – α ) = – cos α
tan ( π – α ) = – tan α
诱导公式④
sin ( π + α ) = – sin α
cos ( π + α ) = – cos α
tan ( π + α ) = + tan α
大角变小角，负角变正角，划到锐角为终了.
例3 已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )
A. B.
C. D．－
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝ ＝
解析：sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m
A
例4 设k为整数，化简： .
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝ ＝
＝ ＝－1；
解：法一：(分类讨论)
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，
故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，
sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝ ＝－1.
法二：(配角法)
例4 设k为整数，化简： .
练习：化简.
(2) .
(1) ；
原式＝
＝
＝－cos2α
原式＝
＝
利用公式①～④可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0-2π角的三角函数
锐角的
三角函数
用公式③或①
用公式①
用公式②或④
C
A
0
4.如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；
④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.
A.1 B.2 C.3 D.4
C
5.已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )
A. B．－ C．± D.
B(共16张PPT)
7.2.4 课时2
诱导公式⑤~⑧
第七章 三角函数
1.了解公式⑤、⑥的推导方法，能够准确记忆诱导公式⑤～⑧.
2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.
观察我们初中所学的锐角三角函数值，你能发现什么吗？
两个锐角时，其中角的对边是角的邻边，
因此，，.
思考：观察与的终边之间的关系，上述关系式对任意角是否也成立呢？
O
x
y
P(x,y)
P’(y,x)
如图所示，α与-α的终边关于角的终边所在直线(即)对称
设角α与-α的终边与单位圆分别交于点P和P’,
则P,P’
根据对称性与三角函数线可知，角α的余弦等于角-α的正弦；
角的正弦等于角-α的余弦.
诱导公式⑤
角α与角 之间的三角函数值关系是：
由公式⑤结合前面所学诱导公式请同学们尝试推导另外三组公式.
1.诱导公式⑤ 2.诱导公式⑥
3.诱导公式⑦ 4.诱导公式⑧
；
.
；
.
；
.
提示：注意观察角之间的关系.
思考：如何理解诱导公式⑤～⑧
cos α
-sin α
-cos α
sin α
-cos α
-sin α
如何理解诱导公式⑤～⑧
(1)角 的正弦(余弦)函数值，分别转化为角α的余弦(正弦)函数值.
(2)符号：函数名前面加上一个把角α看成锐角时原函数值的符号.
(3)作用：利用诱导公式⑤⑥⑦⑧，可以实现正弦函数式与余弦函数式的相互转化.
(4)简记：“函数名改变,符号看象限”.
⑤
⑥
⑦
⑧
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
例1 求下列各值.
（1）sin 120°； （2）cos 135°； （3）cos ().
解：（1）sin 120°= sin (90°+ 30°) = cos 30°= ；
（2）cos 135°= cos (90°+ 45°) = – sin 45°= – ；
（3）cos () = cos = cos ( + 4π) = cos = cos ( + ) = – sin = – .
例2 已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是 .
解析：sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°(－tan 31°)
＝sin 31°
＝
＝.
例3 求证：.
证：左边=
=+
=
===右边，
∴原等式成立.
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
方法总结
例4 已知：f(α)=.
(1)化简f(α).
(2)若角A是△ABC的内角，且f (A)＝，求tan A－sin A的值.
解：(1)f(α)==.
(2)∵f(A)=cos A=，
又A为△ABC的内角，∴由平方关系得sin A＝＝，
∴tan A==，∴tan A－sin A＝.
诱导公式有哪些？
⑤
⑥
⑦
⑧
1.sin 95°＋cos 175°的值为( )
A.sin 5° B.cos 5° C.0 D.2sin 5°
C
A
3.若sin()＜0，且cos()＞0，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4.(多选)已知sin()=，则正确的有( )
A.cos()＝ B.sin()＝
C.cos()＝ D.cos()＝
B
BC
