2024-2025学年湖北部分名校新高考协作体高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖北部分名校新高考协作体高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 + = (1 )( )，则| + 1| =( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 5 D. √ 10
2.设集合 = { ∈ | ≤ 4}， = {2,3}， = {3,4}，则( ) ∪ =( )
A. {4} B. {0,4} C. {1,3,4} D. {0,1,3,4}
3.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选
择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有( )
A. 7种 B. 8种 C. 9种 D. 10种
4.已知函数 ( ) = 2 + 1与函数 ( )的图象关于直线 = 1对称.若 ( )在区间( 2, 1)内单调递增，
则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 2] B. [4,+∞) C. ( ∞, 6] D. [8,+∞)
5.若sin tan = cos 4sin ，则sin4 =( )
2 4 2 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.作边长为3的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，
则前 个内切圆的面积之和为( )
1 1 1 1
A. (1 1) B. (1 ) C. (4 1) D. (4 4 4 4 4 +1
)
1
7.若 ( ) = ln| + | + 是奇函数，则 + 的值为( )
1
1 1
A. ln2 + B. 1 C. ln2 D. 1
2 2
2 2
8.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)上存在两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)( 1 ≠ 2)到点 ( , 0)的距离相等，则椭 4
圆离心率的取值范围为( )
√ 3 √ 3 1 1
A. (0, ) B. ( , 1) C. (0, ) D. ( , 1)
3 3 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆 的直径，∠ = 120 ， = 2，点 在圆 上，则( )
A. 该圆锥的侧面积为√ 3 B. 该圆锥的体积为
C. 三棱锥 体积的最大值为1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为2√ 3 3
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10.某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线 为：平面内动点 到定点 (0,5)的距离
与到定直线 = 1的距离之和为6，点 的轨迹为曲线 ，则下列说法中正确的有( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 点(4,3)在曲线 的内部
C. 若点( 0, 0)在 上，则 2√ 5 ≤ 0 ≤ 2√ 5
D. 曲线 上到直线 = 7和到点 的距离相等的点有无穷多个
11.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 1，则下列命题中正确的是( )
A. 0是 ( )的极小值点
B. ( )有可能有三个零点
C. 当 1 < < 0时， ( 1) > ( )
D. 若 ( )存在极大值点 1，且 ( 1) = ( 2)，其中 1 ≠ 2，则 1 + 2 2 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 3 8
12.对于随机事件 ， ，若 ( | ) = ， ( | ) = ， ( ) = ，则 ( ) = ．
3 8 15
13.如图所示，已知△ 中，点 ， ， 依次是边 上的三个四等分点，若 = 8， = 20，则
= ．
14.如图所示，四边形 ′ ′ ′ ′是边长为2的正方形 在平面 上的投影(光线 ′、 ′、 ′、 ′互相平
行)，光线 ′与平面 所成角为60 ，转动正方形 ，在转动过程中保持 //平面 且 ⊥ ′，若平面
与平面 所成角为 ，且 ′ = 2cos ，则多面体 ′ ′ ′ ′的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
已知数列{ }的前 项和为 ，若 = 2 + 1
(1)求 ;
, 为奇数
(2)若 = { ， 为数列{ }的前 项和，求 2 .
, 为偶数
16.(本小题15分)
记锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2cos + cos = 2 ．
(1)求 ;
√ 3 1
(2)已知边 = 4√ 3，求 + 的取值范围．
2
17.(本小题15分)
如图在多面体 中，四边形 是菱形，∠ = 60 ， ⊥平面 ， // ， = = 2 =
2．
(1)若 为 中点，证明： ⊥平面 ;
√ 3
(2)在棱 上有一点 ，且 到平面 的距离为 ，求二面角 的正弦值．
4
18.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 : = 1的上下顶点分别是 、 ，过其上焦点 的直线 与双曲线的上支交于 、 两点( 在
4 5
轴左侧)。
(1)求直线 斜率的取值范围;
(2)若 = 5 ，求直线 的方程;
(3)探究直线 和直线 的斜率之比是否为定值 若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由。
19.(本小题17分)
1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商
的极限，算法之一为：若函数 ( )和 ( )满足下列条件：
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①lim ( ) = 0，lim ( ) = 0;
→ →
②在点 的去心邻域内 ( )与 ( )可导，且 ′( ) ≠ 0;
′ ′
( ) ( ) ( )
③lim → ′ = ，那么lim → = lim → ′ = .据此回答下面问题： ( ) ( ) ( )
sin
(1)求lim →0 的值，并用导数的定义证明：(sin )′ = cos
sin
(2)已知 ( ) =
2+cos
(ⅰ).求函数 = ( )的单调递减区间;
(ⅰ).若 ( ) ≤ 对任意 ∈ [0,+∞)恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
13.【答案】8
16√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1) = 2 + 1，
当 = 1时， 1 = 1 = 1，
当 ≥ 2时， = 1，
∴ = 2( 1) + 1，
∴ = 2 1 1，
∴ 1 = 2( 1 1)，
又∵ 1 1 = 2 ≠ 0，
∴ { 1}是以 2为首项，2为公比的等比数列，
∴ 1 1 = 2 × 2 ，
∴ = 1 2
，
= 1时也满足上式，
∴ = 1 2
；
(2) ∵ = 1 2 = 2 + 1，
∴ 1 = 2 ，
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2 1, 为奇数
∴ = { ，
1 2 , 为偶数
∴ 2 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2 1 + 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
= ( 20 22 24 22 2) + (1 22 + 1 24 + + 1 2 )
1 (1 4 ) 4 (1 4 ) 5
= + = + (1 4 ).
1 4 1 4 3
16.【答案】解：(1)由 2cos + cos = 2 ，可得 2cos + cos = 2 cos ，
即 cos + cos = 2 cos ，所以sin cos + sin cos = 2sin cos ，sin = 2sin cos ，
1
因为sin > 0，所以cos = ，又0 < < ，所以 = ．
2 3
4√ 3
(2)由正弦定理可得 = = = = 8，
sin sin sin √ 3
2
√ 3 1 √ 3 1
∴ + = 8( sin + sin )
2 2
√ 3 1
= 8( sin + sin( + ))
2 3
√ 3 √ 3
= 8( sin + cos ) = 4√ 6sin( + )，
2 2 4

0 < <
2
因为△ 为锐角三角形，则{ 2 ，解得 < < ，
0 < < 6 2
3 2
5 3 √ 2
∴ < + < ，sin( + ) ∈ ( , 1]，∴ 4√ 6sin( + ) ∈ (4√ 3, 4√ 6]，
12 4 4 4 2 4
√ 3 1
所以 + 的取值范围是(4√ 3, 4√ 6].
2
17.【答案】(1)证明：连接 交 于 ，连接 ， ，
∵ 是菱形，∴ ⊥ ，且 是 的中点，
1
∴ // 且 = ， // ， = 2 = 2，
2
∴ // 且 = ，∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
又 ⊥平面 ，∴ ⊥ ，又因为 ∩ = ，且 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，又 平面 ，∴ ⊥
∵四边形 是菱形，∠ = 60，∴ = 2
∴ = 2， 为 中点
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∴ ⊥ .又因为 ∩ = ，且 、 平面
∴ ⊥平面
(2) ∵ // ， ⊥平面 ，∴ ⊥平面 且 ⊥
∴以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系
∴ ( 1,0,2)， (0,√ 3, 0)， (1,0,0)， (0, √ 3, 1)
( 1,0,0)， (0, √ 3, 0)
∴ = ( 2,0,2)， = (1, √ 3, 0)， = (0,0,1)
设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)
1 = 1 √ 3 则{ 1
= 0
，取 1 = 1 ∴ 1 = (√ 3, 1,0)
1 = 1 = 0
在棱 上，设 = = ( 2,0,2) = ( 2 , 0,2 )(0 < < 1)
1 2√ 3 ∴点 到平面 的距离 = | | = | |
| 1 | √ 2 (√ 3) +12
√ 3
= |√ 3 | =
4
1
∴ =
4
1 1
∴ = ( , 0, )，
2 2
又 =
1 1 1 1
+ = (1, √ 3, 0) + ( , 0, ) = ( , √ 3, )， = (0,2√ 3, 0)
2 2 2 2
设平面 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)
1 1
2 = + √ 3 + = 0∴ { 2 2 2 2 2
2 = 2√ 3 2 = 0
∴取 2 = 1 ∴ 2 = (1,0, 1)
又平面 的一个法向量为 3 = (0,0,1)
· √ 2
设二面角 的平面角为 ，则cos = |cos < 2 3 > | = |
1 3 | = (0 < < )
| 1|| 3| 2
√ 2
∴ sin =
2
√ 2
综上：二面角 的正弦值为 ．
2
18.【答案】解：(1)当直线 的斜率不存在时，此时直线 与双曲线交于上下顶点，与题意矛盾;
故直线 的斜率一定存在，可设直线 的方程为： = + 3; ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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= + 3
联立{ 2 2 得：(5 2 4) 2 + 30 + 25 = 0，
= 1
4 5
30
1 + 2 = 2
{ 5 4，
25
1 2 = 2
5 4
5 2 4 ≠ 0
2√ 5 2√ 5
令{ > 0 ，解得 < < ．
5 5
1 2 < 0

1
= 5 2
30 16
(2)依题 1 + 2 = 25 4，解得
2 = ．
6525
1 2 =
{ 25 4
4√ 65
由图形可以分析出 < 0，故 = ，
65
4√ 65
直线方程为 = + 3．
65
2 +2 ( 2) ( +1) +
(3) = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ， = ， = = = ． 1 2 ( 2+2) 1 ( 2+5) 1 1 2+5 1
30
1 + 2 = 2
由{ 5 4
5
可知
25 1
2 = ( + )， 6 1 2
1 2 = 2
5 4
5
+ ( 1+ 2)+ 2 1
代入上式得 = 1 2 2 = 6 = 为定值．
1 2+5
5
1 ( 1+ 56 2)+5 1
sin cos
19.【答案】解：(1)lim →0 = lim →0 = 1， 1
sin( + ) sin cos( + )
依据导数的定义：(sin )′ = lim →0 = lim△ →0 = cos . 1
sin
(2)( )因为 ( ) = ，定义域为 ，
2+cos
′ cos (2+cos ) sin ( sin ) 2cos +1所以 ( ) = 2 = 2，
(2+cos ) (2+cos )
2 4
令 ′( ) < 0，解之得：2 + < < 2 + ， ∈ ;
3 3
2 4
所以 ( )的单调递减区间为(2 + , 2 + )， ∈ .
3 3
(ⅰ)因为 ( ) ≤ 对任意 ∈ [0,+∞)恒成立，且当 = 0时，不等式显然成立，
( ) ( ) sin
所以，当 > 0时，原式可转化为 ≤ 恒成立，令 ( ) = = ，即 ≥ ( ) ，
2 + cos max
2 cos + 2sin sin cos
因为： ′( ) = 2 ，
(2 + cos )
令 ( ) = 2 cos + 2sin sin cos ，
′( ) = 2sin (sin )，
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当 ∈ (0, )时，0 < sin < ，∴ ′( ) < 0， ( )在(0, )上单调递减，
所以 ( ) < (0) = 0，即 ∈ (0, )时 ′( ) < 0，所以 ( )在(0, )上单调递减，
sin cos 1 1
lim →0 = lim →0 = ，所以 ( ) ≤ ， (2+cos ) 2+cos sin 3 3
sin 1 1 1
当 ∈ [ , +∞)时， ( ) = ≤ ≤ < ，
2 + cos 3
1
综上可知：实数 的取值范围为[ , +∞).
3
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