(共16张PPT)
7.3.1 课时2
正弦函数的图象
人教B版(2019)必修第三册
1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图像.
2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心.
3.能利用正弦函数解决简单问题.
回顾：正弦函数的性质
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
R
[-1，1]
奇函数
2kπ,k∈Z，最小正周期2π
请根据正弦函数的性质设计一个方案作出正弦函数y=sin x的图象.
首先画哪个区间的图象呢？
y=sin x
x∈[0，π]
y=sin x
x∈[-π，π]
y=sin x
x∈R
奇函数
奇函数
0 π
0 1 0
描点法
0 π
0 1 0
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
1.y=sinx (x R)的对称轴是哪些？
2.两相邻对称轴之间的距离是多少？
3.y=sinx在对称轴上的函数值有什么特征？
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
1.y=sinx (x R)的对称中心是哪些？
2.相邻对称中心之间的距离是多少？
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
对称性
R
[-1，1]
2π
奇函数
单调递增区间：[- +2kπ， +2kπ](k∈Z)
单调递减区间：[ +2kπ， +2kπ](k∈Z)
对称轴：x= +kπ(k∈Z)
对称中心：( kπ，0)(k∈Z)
正弦函数的性质与图像的小结
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
x
O
1
-1
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
x 0 2
sin x 0 1 0 -1 0
例1 用“五点法”作出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的图像.
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=2-sin x 2 1 2 3 2
解：列表如下
描点、连线
变式：本例中除了用五点法作图之外，是否还有其它方法得到y＝2－sin x(0≤x≤2π)的图像.
解：作出y＝sin x(0≤x≤2π)的图像关于x轴对称的图像，
得到y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像，
再将y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像向上平移2个单位，
即得到y＝2－sin x(0≤x≤2π)的图像.
例2 利用正弦函数的图像，求满足sin x≥的x的集合.
解:作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，如图所示，
由图可知在[0，2π]上满足sin x≥的x的集合为{x|≤x≤}，
故满足sin x≥的x的集合为{x|+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}.
用三角函数图象解三角不等式的方法:
1.作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象(或者其它一个周期内图像）；
2.写出适合不等式在一个周期上的解集；
3.写出不等式的解集（端点+）．
方法总结
1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
B
2.(多选)下列各组函数中图象相同的是( )
A.y＝|sin x|与y＝sin|x| B.y＝sin(x－π)与y＝sin(x＋π)
C.y＝sin x与y＝sin(－x) D.y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
3.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是( )
A.(0，π) B.(，) C.(，) D.(，2π)
BD
C
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述正弦曲线的特征及“五点作图法”的操作步骤；
（2）说一说，函数解析式的变换与函数图像变换有什么内在联系？(共17张PPT)
7.3.1 课时1
正弦函数的性质
人教B版(2019)必修第三册
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.利用正弦线理解正弦函数的性质.
3.掌握正弦函数的性质及其应用.
如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 l m，点 P 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 x rad，点 P 离地面的高度为 y m，那么 y 是 x 的函数吗？
y = sin x
O
P
x
T
对于任意一个角 x，都有唯一确定的正弦 sin x 与之对应，因此 y = sin x是一个函数，一般称为正弦函数．
用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数值，
如图， 就是角 x 的正弦线.
O
P
x
1
M
思考：由正弦线得出正弦函数具有哪些性质吗？
1.定义域和值域
P
P
M
定义域：R
值域：[-1，1]
当且仅当 (k∈Z)时，ymax=1；
当且仅当 (k∈Z)时，ymin=-1.
2.奇偶性
sin(-x)=-sin x
sin(x+k·2π)=sin x，k∈Z
3.周期性
y=sin x是奇函数
如果存在非零常数T，使得对定义域内的每一个x都满足f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，周期为T .
2kπ(k∈Z，k≠0)都是y=sin x的周期
y=sin x的最小正周期是2π.
4.单调性
5.零点
大
小
观察一个周期内正弦线的变化规律.
选择哪个周期呢？说说理由.
单调递增区间：[- +2kπ， +2kπ](k∈Z)
单调递减区间：[ +2kπ， +2kπ](k∈Z)
kπ(k∈Z)
例1 函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈[-，π]的值域是( )
A．[1，3] B．[－1，3]
C．[－3，1] D．[－1，1]
解析：∵x∈[-，π]，∴sin x∈[－1，1]，
∴－2sin x＋1∈[－1，3]．
B
例2 下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.
又∵ y = sin x 在区间内递增知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，
即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
C
用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
方法总结
例3 y＝asin x＋b(a>0)的最大值为3，最小值为－1，则ab＝_____.
2
解析：∵sin x∈[－1,1]，且a>0，
∴ab＝2.
变式：y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为－1，则ab＝________.
2或－2
解析:当a>0时，由(1)知，ab＝2，
当a<0时，
asin x＋b∈[a＋b，－a＋b]，
所以ab＝－2，
综上有ab＝2或－2.
例4 求函数y＝cos2x＋sin x＋2的最大值，最小值及相应x的取值.
解:y＝cos2x＋sin x＋2＝－sin2x＋sin x＋3，
令t＝sin x，∴t∈[－1，1]，
∴y＝－t2＋t＋3＝－(t－)2＋，
当t＝，即sin x＝，即x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z时，即ymax＝；
当t＝－1，即sin x＝－1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，即ymin＝1.
(1)对于形如y＝asin x＋b的函数求最值(值域)时，要注意对a的讨论.
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先令sin x＝t，将原函数转化成关于t的二次函数，注意换元时t的范围.
方法总结
1.函数y＝－2sin x是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.已知2a－1－3sin x＝0，则a的取值范围是( )
A.(－1，2) B.[0，1] C.(0，1) D.[－1，2]
A
D
3.y＝sin x－1在下列区间递减的是( )
B
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
零点
R
[-1，1]
2π
奇函数
单调递增区间：[- +2kπ， +2kπ](k∈Z)
单调递减区间：[ +2kπ， +2kπ](k∈Z)
kπ(k∈Z)
正弦函数的性质
