7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课件（共23张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共23张PPT)
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
人教B版(2019)必修第三册
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．
2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．
如图是一种折叠扇.折叠扇打开、合拢的过程 可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
变化的量：弧长、圆心角；
没有变化的量：半径.
问题：是否可以用弧长来度量圆心角呢？
60°的圆心角，半径r为1，2，3，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比.
猜想：圆心角不变，则弧长与半径的比值不变.
问题一般化
问题1：观察下面两图，弧AB与弧A'B'都与什么有关？
将折叠扇抽象为如图所示的图形，可以看成弧AB与弧A'B'都与角α对应，但α≠0时，它们的弧长 与 始终不相等，其原因在于OA≠OA'.
问题一般化
问题2：那弧长与半径的比值有什么关系呢？
事实上，设α=n°，弧AB的长为l，半径OA=r，则 ，
因此 .
这个等式右边不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与α的大小有关.
1.弧度数定义：弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
2.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角, 记作1 rad.
以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
如图，因为 的长度等于r，所以 所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角.
问题3：通过对比角度制与弧度制的区别与联系，完成下列表格.
弧度制 角度制
区别
联系 无论弧度制还是角度制，
角的大小都是一个与半径大小无关的定值
弧度制以线段长度来度量角
角度制是“以角量角”
弧度制是十进制
角度制是六十进制
1弧度是等于半径长的弧
所对的圆心角的大小
1°的角是周角的
问题4：按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？
弧度与角度如何互化呢？
答：因为半径为r的圆周长为2πr，所以圆周的弧度数是 ，
于是360°=2π rad.
180°=π rad
角度与弧度的互化
思考：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，
正确的表示方法应为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．
例1 用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解:330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
归纳总结
1．终边相同的角
若α与β的终边相同，则β＝2kπ＋ α(k∈Z)，前后单位要一致．
2．象限角
第一象限角的集合：{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}；
第二象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}；
第三象限角的集合：{α|2kπ＋π<α<2kπ＋， k∈Z}；
第四象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋2π， k∈Z}．
常用角的弧度数表示
一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
0
π
2π
例2 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
解:(1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－＝－4π＋，
α2＝750°＝＝4π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.
例2 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
角度制 弧度制
弧长公式
扇形面积公式
l =
S = lR =
l = |α|·R
S = lR = ·|α|·R2
若用 R 表示圆的半径，n（ 0＜n＜360° ），α（0＜α＜2π）为圆心角，l 是扇形弧长，S 是扇形面积；结合前面所学，完成下面的表格：
思考:1.用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
1.应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2.若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．
例3 设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 rad B．2 rad
C．3 rad D．4 rad
分析 设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得
则圆心角α＝＝2 rad.
B
例4 已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝＋25(0＜r＜10)．
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝＝＝2 rad.
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
C
2.已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为(　　)
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4
C
D
1. 什么是角度制，什么是弧度制？怎么进行角度与弧度的互化？
2. 扇形的弧长及面积的计算公式.