黑龙江省新时代高中教育联合体2024-2025学年高二（上）期末数学试卷B（PDF版，含答案）

黑龙江省新时代高中教育联合体 2024-2025 学年高二（上）期末数学试
卷 B
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据2，4，6，8，10，12，14的第70百分位数是( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
2 2
2.已知直线 = 0是双曲线 = 1(2 > 0)的一条渐近线，则 =( ) 4
A. 1 B. 2 C. 4 D. 16
3.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为 ， ，则下列结论正确的是( )
A. “第一次出现的点数为1点”与“第二次出现的点数为2点”为互斥事件
B. “两次出现的点数之和大于6”与“两次出现的点数之和小于6”为对立事件
1
C. = 8的概率为
18
1
D. ≥ 3 的概率为
6

1
4.已知( ) 的展开式的第2项系数为 4，则下列结论中错误的是( )
2
A. = 8 B. 展开式的常数项为第5项
1
C. 展开式的各二项式系数的和为256 D. 展开式的各项系数的和为
32
5.某类汽车在今年1至5月销量 (单位：万辆)，如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
销量 5 4.5 4 3.5 2.5
若 与 线性相关，且线性回归方程为 = 0.6 + ，则下列说法不正确的是( )
A. 样本的相关系数 为负数 B. = 5.7
C. 当 = 5时，残差的绝对值为0.1 D. 可预测当 = 7时销量约为1.5万辆
6.今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人
生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相
同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A. 24 B. 28 C. 36 D. 12
7.已知点 是抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点，经过 的两条直线分别交抛物线于 ， 和 ， ，其中 ， 两
点在 轴上方.若 ⊥ ，则四边形 面积的最小值为( )
第 1 页，共 11 页
A. 2 2 B. 16 2 C. 4 2 D. 8 2
1 3 3
8.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知 ， ， 三个地区分别有 ， ， 的人患了流感，且这三个地区
20 50 100
的人口数之比是5: 8: 9，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自 地区的概率
是( )
A. 0.25 B. 0.27 C. 0.48 D. 0.52
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了提高身体素质，小伟今年12月份一直坚持运动，他将1 10日每天运动时长绘制成了折线图，如图
所示，则( )
A. 小伟1 10日每天运动时长的极差为39分钟
B. 小伟1 10日每天运动时长的中位数为34.5分钟
C. 小伟1 10日每天运动时长的众数为55分钟
D. 小伟1 3日每天运动时长的方差大于5 7日每天运动时长的方差
10.已知点 ( , )为圆 ：( + 1)2 + 2 = 4上的动点， (0,0)， (3,0)，则下列说法正确的是( )
A. 面积的最大值为3
B. 直线 = ( 1)， ∈ 与圆 相交或相切
| | 1
C. =
| | 2
D. ∠ 最大时，| | = 2√ 3
2 2
11.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点分别为 1， 2，左、右焦点分别为 1， 2， 是椭圆 上
异于 1， 2的一点，且| 1| = | | = | 2| = 1( 为坐标原点)，记 1， 2的斜率分别为 1， 2，设 为
△ 1 2的内心，记 1， 2，△ 1 2的面积分别为 1， 2， 3，则( )
A.
1
1 2 = 0 B. 椭圆 的离心率为 2
√ 3+1
C. 1 2 = 3 2√ 3 D. 1 + 2 = 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 2 页，共 11 页
2
12.若随机变量 (5, )，则 (3 1)的值为 ．
3
13.2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每
个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 ．
2 2 2 2
14.已知离心率为 1的椭圆 1： + = 1( > > 0)和离心率为 的双曲线 ： 2 2 1 1 2 2 2 2 = 1
( 2 > 0, 2 >
1 1 2 2
0)有公共的焦点，其中 1， 2分别为左、右焦点， 是 1与 2在第一象限的公共点.若线段 1的垂直平分线
经过坐标原点，则当2 2 + 2取最小值时， 21 2 2为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 ∈ ，直线 ： + ( 1) + 3 6 = 0与圆 ： 2 + 2 8 +2 3 = 0交于 ， 两点．
(1)证明 恒过定点，并求出原点 到直线 的最大距离；
(2)已知点 ( , )在圆 上，求√ ( 2)2 + 2的取值范围．
16.(本小题12分)
教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，该地区有小学生4500人，初中生4300人，高中生2200人，
按学段比例分层抽样，从中抽取220名学生，对其成绩进行统计频率分析，得到如下图所示的频率分布直方
图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)用样本估计总体，估计该地区成绩的中位数(保留小数点后两位)，并估计该地区学生成绩大于等于90分
的人数；
(3)教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数： 1, 2 , 3 , , 10，已知这10个分数的平均
数 = 90，方差 2 = 25，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差．
(参考数据：982 = 9604，862 = 7396，89. 52 = 8010.25)
17.(本小题12分)
第 3 页，共 11 页
目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车
的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车
3
的占 ，得到以下的2 × 2列联表：
5
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性用户 200 300
女性用户
合计 500
(1)根据以上数据，完成2 × 2列联表，依据小概率值 = 0.005的独立性检验，能否认为该市电动车用户对
这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从
这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率；
(3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女
性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为 ，求 的分布列．
2 ( )
2
参考公式： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
参考数据：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.(本小题12分)
某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取
部分人员进行该部门的面试. 2024年应聘该公司的学生的笔试成绩 近似服从正态分布 ( , 2)，其中 近似
为样本平均数， 2近似为样本方差 2 .已知 的近似值为76.5， 的近似值为5.5，以样本估计总体．
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少
(2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初
试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参
3
加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为 ，丙通过初试的
4
2 2 1
概率为 ，甲和乙通过复试的概率均为 ，丙通过复试的概率为 ．
3 3 2
①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；
第 4 页，共 11 页
②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为 ，求 的分布列以及数学期望
( )．
参考数据：若 ( , 2)，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545；
( 3 < ≤ +3 ) ≈ 0.9973．
19.(本小题12分)
2 2
已知 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点， 1， 2分别为其左、右焦点，实轴长
为4， ， 为双曲线 上异于顶点的任意两点，当 经过原点 时，直线 1 与直线 1 斜率之积为定值4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知直线 ： = + 4( ∈ )，交双曲线 的左、右两支于 ， 两点．
①求 的取值范围；
②设直线 1 与直线 2 交于点 ，求证：点 在定直线上．
第 5 页，共 11 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】14
1+√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】(1)
由直线 ： + ( 1) + 3 6 = 0，
得 ( + 3)+ ( 6) = 0，
+ 3 = 0 = 3
联立{ ，解得{ ,
6 = 0 = 3
所以 恒过定点(3, 3)，
设直线 恒过定点为 (3, 3)，
则当 ⊥ 时，原点 到直线 的 距离最大，最大距离为| | = √ (3 0)2 + ( 3 0)2 = 3√ 2．
(2)
点 ( , )在圆 上，√ ( 2)2 + 2的几何意义为点 ( , )到(2,0)的距离，
因为圆 ： 2 + 2 8 + 2 3 = 0，即( 4)2 + ( + 1)2 = 20，圆心 (4, 1), = 2√ 5，
又因为(2 4)2 + (0 + 1)2 < 20，所以(2,0)在圆内，
所以 ( , )到(2,0)的距离的最大值为√ (4 2)2 + ( 1 0)2 + 2√ 5 = 3√ 5，
( , )到(2,0)的距离的最大值为2√ 5 √ (4 2)2 + ( 1 0)2 = √ 5
所以√ 5 ≤ √ ( 2)2 + 2 ≤ 2√ 5，
第 6 页，共 11 页
所以√ ( 2)2 + 2的取值范围为(√ 5, 2√ 5)．
16.【答案】(1)
由10 × (0.010+ 0.015+ 0.015+ 0.025+ + 0.005) = 1，
解得 = 0.030．
(2)
因为0.1+ 0.15+ 0.15 = 0.4 < 0.5，0.1 + 0.15 + 0.15+ 0.3 = 0.7 > 0.5，
所以中位数为 满足70 < < 80，
由( )
220
70 × 0.030 = 0.5 0.4，解得 = ≈ 73.33，
3
即估计该地区成绩的中位数为73.33分；
估计该地区学生成绩大于等于90分的人数为(4500+ 4300+ 2200)× 0.05 = 550(人)．
【小问3详解】
10 98 86 10×90 98 86
由题意，剩余8个成绩的平均值为 0 = = = 89.5， 8 8
2
∑10 2 10
因为10个分数的方差 2 = =1 = 25，
10
所以 21 + +
2 2
10 = 10× 25 + 10 × (90) = 81250，
所以剩余8个分数的方差
( 21+ +
2 2 2 2
2 10
) 86 98 8×(89.5) 64250 64082 168
0 = = = = 21， 8 8 8
即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5,21．
17.【答案】(1)
被调查的女性市民人数为500 200 100 = 200，
3
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为200× = 120．
5
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200 120 = 80，
所以2 × 2列联表为：
第 7 页，共 11 页
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民 200 100 300
女性市民 80 120 200
合计 280 220 500
零假设 0：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的 数据可以求得
2 ( )
2 500×(200×120 80×100)2
= = ≈ 34.632，
( + )( + )( + )( + ) 300×200×280×220
由于 2 = 34.632 > 7.879，
根据小概率值 = 0.005的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
(2)
200 5
因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为 = ，
80 2
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
设“有女性市民参加座谈”为事件 ，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件 ，
2 1 12 1 5 2+
2
11
则 ( ) = = ， (2 ) =
2 = ，
7 21
2
7 21
1
( ) 1
所以 ( | ) = = 21 ×= ．
( ) 11 11
21
(3)
80 2
根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为 = ，
200 5
120 3
偏好铅酸电池电动车的 概率为 = ，
200 5
参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为 ， 可能取值为0，1，2，3，
0 3
(
2 3 27
= 0) = 03 ( ) ( ) = ， 5 5 125
1 2
2 3 54
( = 1) = 13 ( ) ( ) = ， 5 5 125
2 1
( ) 2 (2 3 36 = 2 = 3 ) ( ) = ， 5 5 125
3 0
2 3 8
( = 3) = 33 ( ) ( ) = ， 5 5 125
故 的分布列如下：
第 8 页，共 11 页
0 1 2 3
27 54 36 8

125 125 125 125
18.【答案】(1)
(
( 1 < ≤ +
)
由 > ) = + ≈ 0.84135，
2 2
又 的近似值为76.5， = 的近似值为5.5，
所以该公司预期的平均成绩大约是76.5 5.5 = 71(分)．
(2)
①记选出甲、乙参加面试为事件 1，选出甲、丙参加面试为事件 2，选出乙、丙参加面试为事件 3，这两
人本次面试的得分之和不低于16分为事件 ，
2 1
2 21 1
则 ( )= 2 = ， ( )= 21 2 2 2 = ， ( )=
2 = ，
3 3
3
3 3
2
3 3
( ) = ( 1 + 2 + 3 )
2 2
1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 1 2 1
= × ( ) × [( ) + 2× × ]+ × × × ( × + × + × )
3 4 3 3 3 3 4 3 3 2 3 2 3 2
1 3 2 2 1 1 1 2 1 1 5 5 4
+ × × × [ × + × + × ] = + + = .
3 4 3 3 2 3 2 3 2 6 36 36 9
② 的可能取值为0,6,10,12,16,20，
2
( 1 1 3 1 1 1故 = 0) = ( ) = ， ( = 6) = 2 × × × = ，
4 16 4 3 4 8
2 2
( 3 2 1 1 3 = 10) = 2 × × × = ， ( = 12) = ( ) × (
1) 1= ，
4 3 4 4 4 3 16
2 2 2
( 3 2 1 1 3 2 1 = 16) = ( ) × 2× × = ， ( = 20) = ( ) × ( ) = ．
4 3 3 4 4 3 4
故 的分布列为：
0 6 10 12 16 20
1 1 1 1 1 1

168 4 16 4 4
则 ( )
1 1 1 1 1 1
= 0× + 6 × + 10× + 12 × +16 × + 20 × = 13．
16 8 4 16 4 4
19.【答案】(1)
由题意可得| 1 2| = 4 = 2 ，则 = 2，
第 9 页，共 11 页
设 ( 0 , 0)，则 ( 0 , 0)，且 1( 2,0)，

由直线 1 的斜率
0 0
1 = ，直线 1 的斜率 2 = ， 0+2 0+2
2 2
则 1
0 0
2 = 2 = 2 = 4，可得
2
0 = 4(
2
0 4)， 4 0 0 4
2
2 2 2 4( 4)
由 0 0
0
= 1，则 0 = 1，解得 = 4，
4 2 4
2

2 2
所以 = 1．
4 16
(2)
2 2 1
①由 = 1，则渐近线方程为 = ±2 ，显然直线 = + 4，斜率存在，为 ，
4 16
1 1 1
易得 2 < < 2，解得 < 或 > ；
2 2
②设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +4
联立可得{ 2 2 ，消去 可得(4
2 1) 2 +32 +48 = 0，
= 1
4 16
由①可得4 2 1 ≠ 0， = (32 )2 4(4 2 1) 48 = 256 2 + 192 > 0，
32 48 1 1 2 1 2 1
则 1 + 2 = ， =4 2 1 1 2 4 2 ，两式相除可得 + = ，即 = ， 1 1 2 3 1 3 2
0 +2 +2
由 1( 2,0)， 2(2,0)，则直线 1 的方程为 = ，则 = ， 1 0 1+2 1 1+6
0 2 2
直线 2 的方程为 = ，则 = ， 2 0 2 2 2 2+2
+2 +2
= =
1 1+6 +6 { +2 2联立可得 ，则{ 1 2 1 2 2，即 = ，
2 2 1 2+6 2 1 2+2 = = 1
2 2+2 1 2 1 2+2 1
1 2 1
+6 +6( )
+2 1 2+6 所以 = 2
3
= 11 =
2
1 = 3，解得 = 1． 2 1 2+2 1 +2 +2 2 2
第 10 页，共 11 页
综上可得直线 1 与直线 2 的交点 在定直线 = 1上.
第 11 页，共 11 页