2024-2025学年陕西省榆林市八校联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林市八校联考高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列，，，，，，，，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.若直线是圆的一条对称轴，则 ．
A. B. C. D.
4.现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种排塔松，第排栽种棵，第排比第排多栽种棵，第排比第排多栽种棵，，第排比第排多栽种棵且，则第排栽种塔松的棵数为( )
A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵
5.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，过圆柱其中一条母线上的点分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，设椭圆，，的离心率分别为，，，则 ．
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的各棱长均相等，点是的中点，点是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为 ．
A. B. C. D.
10.已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. D.
11.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交的右支于，两点，若，，则( )
A. 的离心率为 B.
C. 的面积为 D. 的周长为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.抛物线的焦点到准线的距离为 ．
13.在四面体中，，，点在棱上，，是的中点，若，则 点到平面的距离是 ．
14.已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知是数列的前项和，若，是等差数列，．
求
求数列的通项公式．
16.设，，，，圆的圆心在轴的正半轴上，且过，，，中的三个点．
求圆的方程
若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围．
17.如图，在直三棱柱中，，，，点，满足，，记．
当平面平面时，求的值；
当时，求直线与平面所成角的大小．
18.已知点，是椭圆的上、下顶点，点满足．
求点的轨迹方程
是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于，两点，且与的斜率之和为定值若存在，求点的坐标若不存在，请说明理由．
19.对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中为非零常数，则称数列是数列．
判断无穷数列和是不是数列若是，求出相应的常数的值若不是，请说明理由
若是数列，且．
记的前项和为，求证：
对任意的正整数，设求数列的前项和．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，
则由，得，
所以，即，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以．
由知，
所以时，，
上面这个式子对也适合，
所以时，．
16.解：若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意；
根据题意得圆只能过点，，三点，
由题意可求得线段的垂直平分线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为；
设，因为，
所以，
化简得，所以，
根据题意有，
解得．
所以实数的取值范围为，
17.解：在直三棱柱中，，，
又，故以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量，
则，即
令，解得，，所以，
设平面的一个法向量，
则，即
令，解得，，所以，
因为平面平面，所以，
所以，即，，
所以．
当时，，结合，得，，
设直线与平面所成角为，
所以，
又，所以．

18.解：由点，是椭圆的上、下顶点，则，，
设，由，得，
化简整理，得，
所以点的轨迹方程为．
假设存在点满足题意，由知，
设动直线的方程为，，，
由题意知，
联立和的方程，得消去并整理，
得，
所以，即，
，，
所以
．
由题意知为定值，设为，即，
所以，所以，所以，
所以令，得，所以
所以直线过定点，代入圆，
得，解得，
故存在点，其坐标为．
19.解：是数列，不是数列，理由如下：
令，则，，
因为为非零常数，
所以是数列，相应的常数的值为
令，则，，，
因为不是非零常数，
所以不是数列．
证明：因为是数列，且，
所以，是首项与公差都是的等差数列，
所以，．
，当且仅当时等号成立．
所以，即
解：由知，
当为奇数时，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有
，
，
，
两式相减得，
所以，
因此，．
所以数列的前项和为．
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