4.1.3 独立性与条件概率的关系 课件（共18张PPT）2024-2025学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册

(共18张PPT)
4.1.3 独立性与条件概率的关系
第四章 概率与统计
1.了解独立性与条件概率的关系，会求相互独立事件同时发生的概率；
2.能利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解决实际问题.
假设P(A)>0且P(B)>0 ，在A与B独立的前提下，由条件概率的计算公式求:
(1)P(A|B)与P(A)之间有什么关系？
当P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)时，由条件概率计算公式有
所以P(A|B)=P(A). 即事件B的发生，不会影响事件A发生的概率.
反之，若P(A | B)=P(A)，且P(B)>0，
当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是
P(A|B)=P(A).
则
(2)P(A|)与P(A)之间有什么关系？事件A，有什么关系？
由条件概率计算公式可得：
即事件A与事件独立.
A与B独立的另一个充要条件是
P(A|)=P(A).
因此无论事件B是否发生，都不会影响事件A发生的概率.
即如果事件A、B独立，则事件A与，与B，与都独立.
例1 (多选题)， 两个学习小组各有2名男生、2名女生，从，两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．事件表示从 组中选出的是男生小明，事件表示从组中选出的是1名男生，事件表示从 ，两组中选出的是2名男生，事件表示从， 两组中选出的是1名男生和1名女生，则( )
A.与独立 B.与独立
C.与独立 D.与独立
BCD
解析：由已知得，， ，
.
，而，故与不独立.
，而，故与独立.
，而，故与独立.
，而，故与独立.故选 .
判断两个事件是否相互独立的方法有:
（1）当时，利用(或当 时，利用)判断事件与 是否相互独立;
（2）利用判断事件与 是否相互独立.
方法归纳
例2 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动.在每一
轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，
若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该 小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概 率是 ，丙猜对歌名的概率是 ，甲、乙、丙猜对与否互不影响.求：
(1)该小组未能进入第二轮的概率；
(2)该小组能进入第三轮的概率；
(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.
解:(1)设事件 表示该小组未能进入第二轮，则 ，
故该小组未能进入第二轮的概率为 ．
(2)设事件 表示该小组能进入第三轮，则 ，
故该小组能进入第三轮的概率为 ．
(3)设事件 表示乙猜歌曲的次数不小于2，则 ，
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为 ．
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
①确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
方法归纳
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：由题目可获取以下主要信息：
①3个开关并联；②每个开关闭合的概率都是0.7，且闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论．
解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C．
由题意知，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，
根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是
即这段时间内线路正常工作的概率是0.973．
变式：本例中每个开关闭合的概率不变，求如图所示的线路正常工作的概率．
相互独立事件概率的综合问题的解题方法
1.判断简单事件是否相互独立；
2.选用合适的符号表示简单事件；
3.用简单事件来表示复杂事件；
4.由互斥事件概率加法公式及独立性进行计算.
方法归纳
根据本节课所学内容，回答下列问题：
1.事件独立性与条件概率有怎样的关系？
2.事件独立性的充要条件是什么？
1.已知P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立，则P(AB)等于(　　)
A.0.18 B.0.9 C.0.3 D.无法求解
2.抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A.互斥事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.不相互独立事件
C
A
3.甲、乙两人罚球的命中率分别为， ，两人分别罚球2次，则他们共命中3次的概率为( )
A. B. C. D.
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
A
0.98