4.2.1 随机变量及其与事件的联系 课件（共21张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册

(共21张PPT)
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
第四章 概率与统计
1.了解离散型随机变量的概念.
2能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义.
3.会借助随机变量间的关系解题.
某篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
(1)投进零个球——0分；
(2)投进1个球——1分；
(3)投进2个球——2分；
(4)投进3个球——3分．
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在34个省级行政区中，随机抽取6个进行突击检查，抽取到的省级行政区只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为Ω.
(1)Ω中包含的样本点数目是多少？
(3)X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？
(2)设抽得的省级行政区中直辖市个数为X，列举出一个样本点，此时X的值唯一确定吗？对于每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？
对于不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中任意一个.
因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这4个直辖市，而且随机选取的是6个省级行政区，因此对样本空间Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值.
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.
随机变量的概念
表示：①大写英文字母X，Y，Z，…
②小写希腊字母ξ，η，ζ，…
取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合.
随机变量的取值由随机试验的结果决定.
概念讲解
例1 判断下列各个量哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
(1)标准大气压下，水沸腾时的温度；
(2)王老师在某天内接电话的次数；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，一件确定获奖的作品获得
的奖次；
(4)体积为 的正方体的棱长.
解：(1)标准大气压下，水沸腾时的温度为 ，是定值，故不是随机变量.
(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量.
例1 判断下列各个量哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，一件确定获奖的作品获得
的奖次；
(4)体积为 的正方体的棱长.
(3)一件确定获奖的作品可能获一、二、三等奖，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.
(4)体积为的正方体的棱长是 ，为定值，因此不是随机变量.
(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.
(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
归纳总结
例2 写出下列随机变量的取值范围.
(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗的棵数为 ；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3只
球，被取出的球的最大号码数 ；
(3)某网页在一天内(即24h内)被浏览的次数ξ；
(4)某品牌节能灯的寿命ξ(单位：h).
{0,1,2,3，…}=N
[0,+∞)
第4个随机变量的取值范围与前3个有何不同？
离散型随机变量：其所有可能的取值，都可以一一列举出来.
连续型随机变量：其可取某一区间内的任意值，无法对其中的值进行一一列举.
特征：(1)可以用数值表示；
(2)实验之前可以确定可能出现的所有值；
(3)实验之前不能确定该次试验出现何值；
(4)试验的结果能一一列出.
概念讲解
变式：张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗的棵数为 ，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗ξ的关系，并指出Y的取值范围．
解：由题意可知Y＝5ξ，ξ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
故Y的取值范围为{0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50}．
随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则
也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b，因此
P(X=t)=P(Y=at+b).
Y=aX+b
归纳总结
问题：先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为Ω.用FZ表示第一枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上.
(1)X=1与样本空间Ω中样本点之间有什么关系？记事件A为“恰有一枚硬币正面朝上”，写出A所包含的样本点，X=1与事件A有什么关系？
X=1的充要条件是试验结果为FZ或ZF.根据题意有
A={FZ,ZF}.
因此，X=1表示的就是“恰有一枚硬币正面朝上”，所以X=1与事件A等价.
(2)X=2表示什么事件？X=1与X=2能同时成立吗？
因为X=2表示的是“两枚硬币都正面朝上”，所以X=1与X=2是不能同时成立的，即事件X=1与X=2互斥.
(3)0由于这里的随机变量X只能取0,1,2中的某一个，所以0随机变量与随机事件的联系：
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X=a，X≤b，X>b等都表示事件，而且:
(1)当a≠b时，事件X=a与X=b互斥;
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此
P(X≤a)+P(X>a)=1.
归纳总结
例3 一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到白球的个数为X，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y．
(1)求X的取值范围； (2)求最终得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)．
解：(1)由题意得，X可能的取值为0，1，2，3，
所以X的取值范围是{0，1，2，3}．
(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，
所以Y的可能取值为6，11，16，21．
例3 一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到白球的个数为X，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y．
(3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16)．
1.下列 是离散型随机变量的是( )
①某座大桥一天经过的车辆数 ；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的 粒子数 ；
③一天之内的温度 ；
④某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用 表示该射手在一次射击中的得分.
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④
B
2.某人练习射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 ，则“ ”表示的试验结果是( )
A.第10次击中目标 B.第10次未击中目标
C.前9次未击中目标 D.第9次击中目标
3.已知随机变量 ， 之间满足，若，则 ______.
C
0.5