2024-2025学年甘肃省临夏州高中高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省临夏州高中高二上学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知直线的倾斜角为，方向向量，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
3.过点，且与直线平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.圆与圆相交，则公共弦长为 ( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比( )
A. B. C. D.
7.已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则( )
A. B. C. D.
8.临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线是椭圆
B. 若，则曲线是双曲线
C. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上
D. 若，则曲线是两条平行于轴的直线
10.名学生，名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是( )
A. 任意站成一排，有种排法 B. 学生不相邻，有种排法
C. 教师相邻，有种排法 D. 教师不站在两边，有种排法
11.已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 抛物线的焦点到准线的距离为
C. 若，则的面积为
D. 若，点在轴上，则
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知数列的前项和公式为，则通项公式 ．
13.已知圆过三点，则圆的标准方程为 过圆上的一点的圆的切线方程为 填一般式方程．
14.如图，分别为椭圆的顶点与焦点，若，则椭圆的离心率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知抛物线，并且经过点．
求抛物线方程；
若直线与抛物线交于两点，求．
16.已知椭圆的右焦点为，点和点在上
求点的坐标；
过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积．
17.已知等比数列的各项均为正数，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为．
求的 方程；
过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程．
19.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点在同一象限内，称点为点的“仿射点”．
若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程．
若椭圆上的点的“仿射点”．
求椭圆及其“仿射圆”的方程；
设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点．
参考答案
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15.解：因为抛物线过点，
所以，解得，
所以抛物线方程为．
设，
联立消去可得，．
由一元二次方程根与系数的关系得，．
方法一：
．
方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点，
如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为．
由抛物线的定义可知，．
于是．
由方法一可得，
于是．

16.解：方法一：由题意得
解得
由，得，
所以右焦点．
方法二：由题意知，椭圆的上顶点为，显然，将点坐标代入椭圆方程得，
解得，
由，得，
所以右焦点．
由知椭圆的标准方程为．
过点的直线的方程为．
方法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组
解得，显然点位于第三象限，所以，
又因为，所以，
点到直线的距离，
所以．
所以的面积为．
方法二：由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称，
因为，所以，
所以．
所以的面积为．

17.解：设等比数列的公比为，因为，所以，
则．
因为等比数列的各项均为正数，所以．
又因为，所以，解得．
所以．
所以数列的通项公式为．
因为，
所以，
，
所以，
故数列的前项和．

18.解：
由题意知，
解得，故双曲线的方程为．
当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，
则点必在轴上，这与矛盾；
当过点的 直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，
设，因为点为线段的中点，
所以，
因为在双曲线上，所以
则，
所以，
则所求直线方程为，即经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意．

19.解：设点的坐标为，“仿射点”的坐标为，
因为点为线段的中点，则．
因为“仿射点”在圆上，所以．
把代入上述方程，
得，
即椭圆的标准方程为．
设椭圆，过点，
“仿射圆”过点，
所以解得．
所以椭圆的方程为，
“仿射圆”的方程为．
方法一：由知椭圆的左焦点的坐标为，
设，
由，得，解得．
又，
所以，
即又过点存在唯一的直线垂直于，
所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点．
方法二：由知椭圆的左焦点的坐标为，
设，
由，得，解得．
则，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，
当时，，所以直线过点，所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点．

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