河北省张家口市2024-2025学年高二（上）期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

河北省张家口市 2024-2025 学年高二（上）期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 2√ 2 的焦点坐标为( )
√ 2 √ 2
A. ( √ 2, 0) B. ( , 0) C. (0, √ 2) D. (0, )
2 2
2.已知空间向量 = (2,1,1), = (0,2, 1)，则 与 的夹角的余弦值为( )
√ 30 √ 30 √ 6 √ 5
A. B. C. D.
30 10 6 5

3.已知直线 过点 (1,0)，将直线 绕点 逆时针旋转 与 轴重合，则直线 的方程为( )
3
√ 3 √ 3
A. = 1 B. = √ 3( 1) C. = ( 1) D. = √ 3( 1)
3 3

4.已知等差数列{ }的公差 ≠ 0，前 项和为 ,
6
1 = ，则 =( ) 3
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.已知过点 (2,1)的直线 分别与 , 轴的正半轴交于点 ( , 0), (0, ), 为坐标原点，则 的面积的最
小值是( )
A. 4 B. 2√ 2 C. 8 D. 5
6.已知正项数列{ }中， 1 = 3,
2
+1 1 = ( 1) ，则该数列的通项公式是( )
1
A. = 2 + 1 B. = 2
2 1 C. = 22 + 1 D. = 2
2 1
2 2
7.已知 1, 2分别是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点，过 1作垂直于 轴的直线交 于 , 两点，
若直线 2与直线 2互相垂直，则 的离心率为( )
1 1 √ 2 1
A. B. C. √ 2 1 D.
3 2 2
8.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1, 为侧面 1 1内的动点， 1 = √ 2, 在对角线 1 上，且

√ 2
1 = 1 ，则 的最小值为( ) 2
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2+√ 2 2 √ 2
A. B. C. 1 + √ 2 D. √ 2 1
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 ( 1,0), (2,0)，分别以点 , 为圆心，以1，2为半径作圆．若直线 与圆 和圆 相切，切点分别
为 1, 1，则( )
A. 若 1, 1重合，则直线 的方程是 = 0
B. 若 1, 1不重合，则| 1 1| = 2√ 2
C. 若直线 的斜率存在，则其斜率为±2√ 2
D. 若 1, 1不重合，则四边形 1 1的面积为3√ 2
10.圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴(双曲线的实轴，抛物线的对称轴)的焦点弦称为通
2 2 2 2
径．若点 是椭圆 + = 1，抛物线 2 = 2 ( > 0)和双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦点，且椭圆，4 3
抛物线和双曲线的通径长 1, 2, 3恰好成等差数列，则( )
A. = 2 B. 1, 2, 3可以是直角三角形三条边的长
5+√ 41 √ 3
C. 双曲线的离心率 = D. 点 到双曲线渐近线的距离为
4 2
11.如图，球 的两个截面圆 1和圆 2的圆心分别为 1(0,0, 1), 2(0,1,0)，半径均为2，且圆 1和圆 2所在
平面分别与 轴和 轴垂直．若动点 , 分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点 , 的起始点
分别为 (0, 2, 1)， (0,1,2)，点 , 按照图中指针方向运动，运动时间为 (单位：秒)，则( )
A. 球 的表面积为20
B. 当 = 6时，| | = √ 2
C. 存在时刻 ，使得点 , 在球面上相遇
D. | |的最大值为2√ 5，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项的乘积为 ，若 5 = 8 2，则 4 = ．
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13.已知直线 : 3 4 12 = 0，若 为抛物线 2 = 4 上的动点，则点 到直线 的距离最小时点 的坐标
为 ．
14.如图，正三棱柱 1 1 1的底面边长为2，侧棱长为3, 为 的中点，若 1 = 1 1 , =
1 (0 ≤ ≤ 1)，则| |的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知⊙ 1,⊙ 2的圆心分别为 1( 2,0), 2(2,0)，半径分别为 1, 2, 1 = 2, 2 = 6，⊙ 的圆心为点 ( , )，半
径为 ．
(1)写出⊙ 1,⊙ 2的标准方程，并判断其位置关系；
(2)若⊙ 与⊙ 1外切且⊙ 与⊙ 2内切，求圆心 的轨迹方程．
16.(本小题12分)
已知复数 = + ( ,

∈ , 是虚数单位， ∈ )，且 +1 = 3 + 2，其中 是 = + 的共
轭复数， 1 = 2 + 2 ．
(1)证明：数列{ + 1}和{ }均为等比数列．
(2)设数列{ }的前 项和为 ，求 ．
17.(本小题12分)
如图，已知在四棱锥 中，底面 是边长为2的 菱形，其中∠ = 60 , 是等腰直角三角
√ 3
形， = , = 2，点 在棱 上，且三棱锥 的体积为 ，点 是棱 的中点．
6
(1)判断 是否为棱 的中点，并说明理由；
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(2)求平面 与底面 所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，过点 (0, )( > 0)的直线 与抛物线 交于 , 两点，抛物线 在点 , 处
的切线分别为 1, 2，其斜率分别为 1, 2，交点为 ．
(1)当直线 过焦点 时，证明： 1, 2互相垂直．
(2)当 = 2时，设弦 的中点为 ．
①点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
| |
②求 的最大值．
| |
19.(本小题12分)
将向量 1 = ( 1, 1), 2 = ( 2, 2), , = (

, )( ∈ )组成的系列称为向量列，记作{ }.已知向量列
1 1 1 1
{ }满足 1 = (1,1), = ( , )( ∈ )，且 +1 = , +1 = + 2 2 2 2 ．
(1)求数列{| |}的通项公式．
2
(2)设 = | | 2| |，且

+1 = , +1 , = ．
①数列{ }中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
②若 ∈
1 1 1 1
，使得√ + √ + √ + + √ < (1 3 )成立，求实数 的取值范围．
+1 +2 +3

2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
3 9
13.【答案】( , )
2 16
14.【答案】[√ 3, 2√ 3]
15.【答案】解：(1)
⊙ 1,⊙ 2的圆心分别为 1( 2,0), 2(2,0)，半径分别为 1, 2, 1 = 2, 2 = 6，
所以⊙ 1的标准方程为( + 2)
2 + 2 = 4；
⊙ 2的标准方程为( 2)
2 + 2 = 36，
可得| 1 2| = 4，可知| 1 2| = 2 1 = 6 2 = 4，
所以⊙ 1,⊙ 2内切．
(2)
因为动圆 的半径为 ，
因为动圆 与与⊙ 1外切且⊙ 与⊙ 2内切，
则 < 6，且| 1| + | 2| = + 2 + (6 ) = 8 > | 1 2|，
由椭圆的定义可知，动点 在以 1( 2,0), 2(2,0)为焦点，8为长轴长的椭圆上，
2 2
设椭圆的方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，半焦距为 ，
则 = 4， = 2，则 2 = 16 4 = 12，
又因为⊙ 1,⊙ 2内切，则点 不能在切点处，即椭圆应去掉点( 4,0)，
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2 2
所以动圆的圆心 的轨迹方程为 + = 1( ≠ 4)．
16 12
16.【答案】解：(1)
因为复数 = + ( , ∈ , 是虚数单位， ∈
)，且 +1 = 3 + 2， = ，所以 +1 +
+1 = 3( ) + 2 = 3 + 2 3 ，
所以 +1 = 3 + 2, +1 = 3 ，
所以 +1 + 1 = 3( + 1)，又 1 = 2 + 2 可得 1 + 1 = 3, 1 = 2

所以 +1
+1
= 3, +1 = 3，
+1
所以：数列{ + 1}和{ }均是等比数列．
(2)
因为 1 = 2 + 2 ，所以 1 = 1 = 2，
所以 1 + 1 = 3 3 = 3 , ∴ = 3 1，
= 1 + 2 + 3 + + 1 +
+1
= (31 + 32 + 33 + + 3 1
3(1 3 ) 3 3
+ 3 ) = = ．
1 3 2 2
17.【答案】解：(1)
取 的中点 ，连接 , ，
因为 = = √ 2， = 2，所以 ⊥ ， = 1， = 1．
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又因为 是菱形，∠ = 60 ，所以 ⊥ ， = √ 3，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
1 1 1 √ 3
所以 = = = = × 1 × × 2 × √ 3 = ． 3 3 2 3
√ 3 1
因为 = = 6 2
，
1
所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 ，
2
所以 = ，所以 为棱 的中点．
(2)
因为 ⊥平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，又 ⊥ ，
如图，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 (0, 1,0)， (0,1,0)， (√ 3, 0,0)， (√ 3, 2,0)， (0,0,1)，
√ 3 1 1 1 √ 3 1 √ 3 3
所以 ( , 1, )， (0, , )， = ( , 1, )， = ( , , 0)，
2 2 2 2 2 2 2 2
底面 的法向量为 = (0,0,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√ 3 3
则{
= 0 + = 0，即{ 2 2 ,
= 0 √ 3 1 + = 0
2 2
取 = 1， = √ 3, = 5，得 = (√ 3, 1,5)．
设平面 与底面 所成角为 ，
5 5 5√ 29
所以cos = |cos , | = | | = = = ，
| | | | √ 3+1+25 √ 29 29
5√ 29
平面 与底面 所成角的余弦值为 ．
29
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18.【答案】解：(1)
由题意知，直线的 斜率存在，设直线 与抛物线 交于不同的两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由于焦点 (0,1)，设直线 的方程为 = + 1，
= + 1
联立{ ，消去 得， 22 4 4 = 0，且 = 16
2 + 16 > 0，
= 4
1 + 2 = 4 则{
1 2 = 4
2 2 2
设 ( , 1

1 )， (
2
2, )，则过点 的切线方程为
1 = 1( )， 4 4 4 1
2
1 =
联立方程组{ 4 1
( 1)，得 2 4 1 + 4
2
1 1 1 = 0。
2 = 4

则 = 16 21 4(4 1 1
2 1
1 ) = 0，解得 1 = ，同理 2 =
2，
2 2
1 1
∴ 1 2 = 1 2 = × ( 4) = 1，所以 , 互相垂直． 4 4 1 2
(2)
①当 = 2时，设直线 的方程为 = + 2，
= + 2
联立{ ，消去 得， 22 4 8 = 0，且 = 16
2 + 32 > 0，
= 4
+ = 4
则{ 1 2
1 2 = 8
直线 1与 2交于点 ，设 ( , )，
1 1 1 1
抛物线在点 处的切线 方程为 21 1 = 1( 1)，即 = 1
2，
4 2 2 4 1
1 1
同理，在点 处的切线 22方程为 = 2 ． 2 4 2
1 1 1
= 2 = ( + )
联立{ 2
1 4 1，解得{ 2
1 2
,
1 1 1
= 2
2
2 = 1 2 4 4 2
= 2
将 式代入化简得{ ,
= 2
则点 (2 , 2)在定直线 = 2上.
②线段 的中点为 ，
2 + 由(1)可得， 1 + 2 = ( 1 + 2) + 4 = 4( + 1)，
1 2 = 2( 2 + 1)，
2
则 (2 , 2( 2 + 1))．
| | = 2( 2 + 1) + 2 = 2( 2 + 2)，
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又| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 +
2√ ( 1 +
2
2) 4 1 2
将 式代入得，| | = √ 2 + 1√ (4 )2 + 32 = 4√ ( 2 + 1)( 2 + 2)，
2
| | 1 √ +2 1 1则 = 2 = √ 1 + 2 ， | | 2 +1 2 +1
由 2 2
1 | | 1 √ 2
≥ 0, + 1 ≥ 1,0 < 2 ≤ 1，则 ∈ ( , ]．
+1 | | 2 2
| | 1 √ 2
的取值范围为( , ]．
| | 2 2
19.【答案】解：(1)
1 1 1 1 1 1 1 1
由 +1 = , = + ，可得 = 2 2 +1 2 2 2 1 2 1, = 2 1 + 2 1，
1 √ 2 √ 2
根据题意得| | = √ 2 2 + = √ ( 1 1)2 + ( + 2
2 2
1 1) = √ 1 + 1 = | 1 |， 2 2 2
√ 2
所以数列{| |}是以 为公比的等比数列； 2
1
√ 2 2
又| 1 | = √ 2，所以| | = √ 2 ( ) = 2 2 ． 2
(2)
3 3
①结论：数列{ }中存在最小项 5 = 2 2；理由如下： 2
2 2 2
因为| | = 2 2 ，所以 = | | 2| | = 2 2 ； 2
√ 2
假设{ }中第 项最小，由 1 = ， 2 = 0，可知： ≤ 2时， ≥ 0； 2
2 2 2 ( +1) 2 ( +1)
当 ≥ 3时，有 < 0，由 < +1，可得： 2 2 < 2 2 ， 2 2
2 1 2 2 1
即 > 2 2；所以( ) > ，所以 2 6 + 7 > 0，
1 1 2
解得： > 3 + √ 2或 < 3 √ 2(舍)；所以 ≥ 5；即 5 < 6 < 7 < ；
所以，由 ≥ +1得3 ≤ ≤ 5；
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3 3
综上，数列{ }中存在最小项 5 = 2

2；
2
1 1
( )+ ( 1 2 1 1 1 2 1 1+ )②因为cos = =
1
| 1 || | √ 2 2|
2
1 |
1
( 2 1+
2
2 1
) √ 2 2
= = ，所以
√ 2 2 2 2
= ；所以 = ；
( + ) 4 4
2 1 1
1 4 2
因此√ = = ，
√ 2 + ( + ) +
1 1 1 1 2 2 2 2 2
所以√ + √ + √ + +√ = + + + + ≥ × = 1；
+1 +2 +3 2 +1 +2 +3 + +
1 1 1 1
又存在正整数 ，不等式√ + √ + √ + +√ < (1 3 )成立， +1 +2 +3 2
所以只需1 < (1 3 )，即 (1 3 ) > 1 = ；
> 1 0 < < 1
1 1
因此{1 3 > 0或{1 3 > 0，解得： ∈ ( , )；
4 3
1 3 > 1 3 <
1 1
即实数 的取值范围是( , )．
4 3
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