2024-2025学年天津市西青区高二上学期期末学业质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市西青区高二上学期期末学业质量检测数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知空间向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦距，实轴长为，则曲线的渐近线为( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
5.已知等差数列中，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7.设等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则( )
A. B. C. D.
9.已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题若曲线，且点分别在曲线和圆：上，则两点间的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.已知直线，若，则实数 ．
12.经过、的方向向量为，则 ．
13.已知双曲线上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为 ．
14.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 ．
15.已知数列的通项公式为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则 ．
16.下列四个命题中．
若数列的前项和为满足，则是等比数列且通项公式为；
拋物线上两点、且为原点，则；
椭圆左、右焦点分别是、，左、右顶点分别、，点是椭圆上异于、的任意一点，则直线与直线的斜率之积为；
与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线．
其中正确命题序号为 写出所有的正确答案
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知圆的方程为：．
若直线与圆相交于两点，且，求实数的值；
过点作圆的切线，求切线方程．
18.如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.已知等比数列的公比大于；等差数列满足
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
20.已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为．
求椭圆的标准方程；
设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：
圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为，
直线与圆相交于，两点，且，
圆心到直线得距离，
，，解得或．
由已知得，点在圆外，
切线的斜率不存在时，直线，与圆相切；
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为；
综上所述，切线方程为或．

18.【答案】解：
连接，交于点，
由分别为和的中点，得，
而平面平面，
所以平面．
由直线平面，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系．
则
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成角的正弦值，则
．
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离

19.【答案】解：
设等比数列的公比为得
解得：或因为公比大于，所以，
代入得：．
设等差数列公差为，解得：
所以的通项公式为；的通项公式为．
由知
记
则
得，
所以

20.【答案】解：
由题意得圆方程为：圆心为，
即，．
又椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得：，
，则．
椭圆方程为．
，
设，
则直线的方程为．
令，得点的横坐标所以点
同理，点．
由得．
则．
所以
又，所以．
解得，此时，
所以直线经过定点．

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