天津市和平区2024-2025学年高一（上）期末质量调查数学试卷（PDF版，含答案）

天津市和平区 2024-2025 学年高一（上）期末质量调查数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { 1,0,1,2,3}，集合 = { 1,1}， = {0,1,2}，则 ( ∪ ) =( )
A. {3} B. {0,3} C. { 1,0} D. { 1,0,2,3}
2.已知 ∈ ，则“ > 1”是“ > 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题“ ∈ ， 2 > 2 + 3”的 否定是( )
A. ， 2 < 2 + 3 B. ∈ ， 2 < 2 + 3
C. ， 2 ≤ 2 + 3 D. ∈ ， 2 ≤ 2 + 3
1
4 2 3 3
4.若 = ( ) ， = 32， = ( ) ，则 ， ， 的大小关系为( )
3 4
4
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.下列函数中，既是偶函数又在区间上( ∞, 0)是增函数的是( )
1 1 | |
A. = cos B. = C. = ( ) D. = ln| |
2
1
6.若 ∈ 且 < 1，则4 + 的最大值为( )
1
A. 2 B. 0 C. 2 D. 8
1
7.将函数 = sin (2 + )的图象向左平行移动 后得到函数 = ( )的图象，则 = ( )的对称轴为( )
2 3 3

A. = + ( ∈ ) B. = + ( ∈ )
4 2 12 2

C. = + ( ∈ ) D. = + ( ∈ )
4 12
8.方程 2 = 0( = 2.71828 )的一个根所在的区间为( , + 1)( ∈ )，则 的值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.已知函数 ( )是定义在[2 2 , ]上的函数，且满足 ( ) = ( )． 1， 2 ∈ [0, ]，当 1 ≠ 2时，有
[ ( 1) ( 2)]( 1 2) < 0，则不等式 (2 1) ≤ (3 )的解集是( )
1 1 1 1 1 1 2
A. [ 1, ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ]
2 2 5 5 2 5 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.cos330 = ．
11.幂函数 ( ) = ( 2) 的图像过点( , 9)，则 ( ) = ．
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2
12.已知某扇形的圆心角是 ，半径为3，则该扇形面积为 ．
3
13.若角 的终边经过点( 2 , )(其中 ∈ 且 > 0)，则sin + cos = ．
14.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的
能量 (单位：焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为lg = 4.8 + 1.5 .在2019年6月四川长宁发生里氏6.0级
的地震，它释放出来的能量是2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震释放出来能量的 倍.
3, ≤
15.已知 ( ) = { , ( ∈ )2 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 ( ) = 有两个不等实根，则实数 的 , >
取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
1 1 1 1 2
(1)计算：(4 4) ( 3 4 3) ÷ ( 6 2 3) (式中字母均为正数)；
(2)化简：lg4 + 2lg5 34 169 2
23．
17.(本小题12分)
已知全集 = ，若集合 = { | 2 + 7 8 > 0}， = { | 2 2 ≤ ≤ 1}( ∈ )．
(1)若 = 4，求集合 及 ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
3 16
已知 ∈ (0, )， ∈ ( , )，tan = ，cos( ) = ．
2 2 4 65
sin( ) cos( )
(1)求 的值；
sin( + )+cos( )
2 2
(2)求cos 的值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = sin (2cos 2sin ) + 1，
(1)求函数 ( )的最小正周期和对称中心坐标；
(2)求函数 ( )的单调递增区间；

(3)当 ∈ [0, ]时，求 ( )的最大值以及取得最大值时 的值．
2
20.(本小题12分)
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双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的
+
两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数： ( ) = ，双曲余弦函数： ( ) = ，
2 2
它们也有类似正余弦函数的性质，比如 2( ) 2( ) = 1， (2 ) = 2( ) + 2( )．
(1)判断 ( ) = ( ) ( )的奇偶性并证明；
+
(2)判断 ( ) = 在(0, +∞)的单调性并用定义法进行证明；
2
(3)关于 的方程 (2 ) + ( ) = 在 ∈ [0, ln3]有解，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
√ 3
10.【答案】
2
11.【答案】 2
12.【答案】3
3√ 5
13.【答案】
5
14.【答案】1000
15.【答案】( ∞, 0) ∪ (1, +∞)
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( )3 1
16. ( )【答案】解：(1) (4 4) ( 3 4 3) ÷ ( 6 + 2 3) = 2 4 4 2 3 = 2 3．
lg4 lg9
(2)lg4 + 2lg5 34 9 2
23
16 = lg4 + lg25 3 lg3 lg16
lg4 2lg3
= lg(4 × 25) 3 = 2 1 3 = 2．
lg3 2lg4
17.【答案】解：(1)
由 2 + 7 8 > 0可得( + 8)( 1) > 0，解得 < 8或 > 1，
所以 = { | < 8或 > 1}，
当 = 4时， = { | 10 ≤ ≤ 3}，
则 ∩ = { | 10 ≤ < 8或1 < ≤ 3}．
(2)
1
当 = 时， 2 2 > 1，即 < ，
3
此时满足 ∩ = ；
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当 ≠ 时，要使 ∩ = ，
2 2 ≤ 1
1
则{ 2 2 ≥ 8 ，解得 ≤ ≤ 2；
3
1 ≤ 1
综上所述，实数 的取值范围( ∞, 2]．
18.【答案】解：(1)
sin( ) cos( ) sin +cos tan +1 1
由题设 = = =
sin( + )+cos( ) cos +sin 1+tan 7
2 2
(2)
3 4 63
由题设易知sin = , cos = ，且 ∈ ( , 0)，则sin( ) = ，
5 5 65
4 16 3 63 5
则cos = cos[ ( )] = cos cos( ) + sin sin( ) = × + × ( ) = ．
5 65 5 65 13
19.【答案】解：(1)

由 ( ) = 2sin cos 2 2 + 1 = sin2 + cos2 = √ 2sin(2 + )，
4
2
所以最小正周期 = = ，
2

令2 + = ，则 = ， ∈ ，即对称中心为( , 0)， ∈ ．
4 2 8 2 8
(2)
3
令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，则 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 4 2 8 8
3
所以函数 ( )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ．
8 8
(3)
5 √ 2
由 ∈ [0, ]，则2 + ∈ [ , ]，故sin(2 + ) ∈ [ , 1]，
2 4 4 4 4 2

所以 ( ) ∈ [ 1, √ 2]，函数最大值为√ 2，此时 = ．
8
20.【答案】解：(1)
奇函数，证明如下：
+
由题设， ( ), ( )的定义域均为 ，且 ( ) = = ( )， ( ) = = ( )，
2 2
所以 ( ), ( )分别为奇函数、偶函数，
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所以 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )且定义域为 ，
所以 ( )为奇函数，得证．
(2)
+
( ) = 在(0, +∞)的单调递增，证明如下：
2
1+ 1 2+ 2 1 1
令 1 > 2 > 0，则 ( 1) ( 2) = = (
1 2)(1 + )， 2 2 2 1 2
1显然 1 2 > 0,1
+
> 0，故 ( ) ( ) > 0，即 ( ) > ( )，
1 2 1 2 1 2
+
所以 ( ) = 在(0, +∞)的单调递增．
2
【小问3详解】
2 + 2 + 2 + 2 + +
由题设 + = = ，
2 2 2
又 ∈ [0, ln3]，令 = + ，
10
结合(2)知 单调递增，故 ∈ [2, ]，
3
又 2 + 2 = ( + )2 2 = 2 2，
10
所以 2 + = 2 + 2在 ∈ [2, ]上有解，
3
10 130
又 = 2 + 在[2, ]上单调递增，故 ∈ [6, ]，
3 9
130 56
所以2 + 2 ∈ [6, ]，可得 ∈ [2, ]．
9 9
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