第十五章 整式全章教案-
文档属性
| 名称 | 第十五章 整式全章教案- |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 129.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-11-25 18:01:00 | ||
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文档简介
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第15章整式
15.1 整式的加减(1)
教学目标
①了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的联系与区别．
②掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项的概念，明确它们之间的区别与联系，并会把一个多项式按某个字母的升幂或降幂排列．
教学重点与难点
重点：单项式概念及其系数与次数、多项式概念及其次数、项之间的区别与联系．
难点：识别单项式系数与次数、多项式次数、项．
教学设计
创设情境引入课题
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长m m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
学生小组讨论，全班交流．
回答上面的问题要用到本章将要学习的新知识．
注：原长方形及其变化后的长方形，让学生从图形直观感受变化，并尝试用不同的方法表示扩大后的绿地面积．但这里重点在于激发学生的学习兴趣，鼓励他们找到不同的答案(包括书本外的答案)．对于不同表示方法之间的关系留待以后讨论．
探求新知
1．试一试
填空：
(1)若正方形的边长为x，那么正方形的周长为________．
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为________．
(3)小民从每月的零花钱中贮存一些钱准备捐给希望工程，若他每年能捐x元，三年半下来小民共捐款________元．
(4)一辆汽车的速度是v km／h，行驶t h所走过的路程是________km．
(5)若n表示一个数，则它的相反数是________．
(6)若正方体的棱长为a，它的表面积为________，体积为________．
(7)直径为m的圆面积是________．
注：在这里补充(7)的目的是为了接下去学习单项式的系数时让学生注意π是常数．
2．想一想
问题1：观察你所列出的这些式子有什么共同特点 (可以将式子中省略的乘号补上，启发学生观察)
指导学生一起分析这些式子，指出这些式子的共同点．
注：学生独立思考，互相交流思考的结果．
在学生交流的基础上，教师概括：所列的式子是4x，
它们都是数或字母的积，
这样的式子叫做单项式．特别地，单独的一个数或字母也是单项式．
你能再举一些单项式的例子吗 试试看．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
你能说出上述单项式的系数和次数吗
注意：
(1)圆周率π是常数；
(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如3x写成x
“注意”应该结合具体例子先讲解，再小结．
巩固新知
例1 判断下列各式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数．
自主学习
1．做一做
填空：(教科书第163页思考题)
在学习单项式时，我们研究了单项式的概念、单项式的系数和次数，类似地，对于上面写出的这些式子你能提出什么问题
问题2：观察你所列出的这些式子有什么共同特点 它们与单项式有什么关系
注：对于单项式、多项式同样都要研究它的次数等，所以在这里让学生自主提出要研究的问题，在生生交流、师生交流过程中，尝试得到结论．
2．讲一讲
师生共同概括：列出的式子3.14r2，x2+2x+18，都是由单项式的和组成的．
几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
注：让学生读一读这些多项式，注意每一项是什么，还要使学生注意单项式前的符号，有正号，也有负号．
先读一读，再说说看：上述多项式的项分别是什么
注意：多项式的每一项都包括它前面的符号．
问题：单项式的次数是怎么确定的 观察多项式x2+2x+18中各项的次数分别是多少 其中次数最高项的次数是多少
规定，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
试回答：多项式是几次多项式
注意：多项式的次数不是所有项的次数之和．
注：这里注意让学生讲一讲单项式与多项式次数之间的联系与区别．
巩固新知
例2指出下列多项式的项和次数：
(1)a3-3a2b+3ab2-b2；(2)4n4-3n2+2
练习：教科书第164页．
单项式和多项式统称整式．
说一说：你能说出单项式、多项式、整式三者间的关系吗
试一试
运用加法交换律，任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到__种不同的排列方式．在众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐
学生独立思考后交流．
注：学生体验单项式、多项式的联系与区别，单项式、多项式、多项式的项都有次数，要弄清它们之问的联系与区别．
概括：任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式．在众多的排列方式中，像x2+x+1与1+x+x2这样的排列方式比较整齐．
你认为是什么特点致使这两种排列比较整齐呢
学生独立思考，小组交流．师生共同分析得出结论：
这两种排列有一个共同的特点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的．其实，这样的写法除了整齐外对今后的计算也会带来便利．把多项式x+x2+1按x的指数从大到小的顺序排列，即x2+x+1，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；把多项式x+x2+1按x的指数从小到大的顺序排列，即1+x+x2，叫做这个多项式按字母x的升幂排列．
做一做：把多项式分别5-4x2+5x按x的升幂和降幂排列．
小结
挑战自我
1．请写出一个单项式，使它的系数为-4,次数为5；
2．请写出一个多项式，使它的项数是3，次数为3．
注：通过开放性问题的练习，进一步强化对单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数的认识，提高学生的综合思维能力．
课外巩固
1．必做题：
(1)教科书第164页练习1、2；
(2)教科书第167页习题15.1第1题．
2．备选题：
(1)判断下列各式是不是整式 如果是整式，那么它是单项式还是多项式
(2)判断下列说法是否正确．正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”：
①单项式a既没有系数，也没有次数． ( )
②单项式5×lO5x的系数是5． ( )
③-2005是单项式． ( )
④单项式的系数是，次数是3． ( )
(3)指出下列多项式的次数与项，并把它按字母a的升幂排列：
①3a2+5-3a+a3；
②2a3b-4b3+5a2．
设计思想
在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识．
本节课学习单项式与多项式及其相关的概念，是数学概念的学习．在教学设计中采用从实际问题中引入新课，让学生自己动手做一做，比较同一个问题的不同的表示方法，激起学生探索的兴趣．因为初一的学生观察、分析、归纳的能力还比较弱，在教学中从实例出发，展现数学知识的形成过程，组织学生小组讨论，在学生交流的基础上归纳出单项式与多项式的概念，在这个过程中逐步提高学生的抽象概括能力．单项式我们研究它的系数与次数，多项式也要研究它的次数，学生较容易把多项式的次数算成所有字母的指数和，在教学中组织学生讨论两者的联系与区别．在小结后让学生解决两个开放性问题，进一步强化了学生对单项式及多项式相关概念的区别与联系，达到了让学生在理解的基础上掌握单项式及多项式相关概念的目的．
背景资料
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系．算术是代数的基础，代数由算术演进而来．从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破．
一、代数学产生的历史必然性
代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数．初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础．
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算．算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步．算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以想像．
在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算．也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果．许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的．算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型．对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，再列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行．特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的．
算术自身运算的局限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展．随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法——代数解题法的产生也就成为历史的必然．
代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值．初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学．
初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外．如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算式完成对具体数字的演算．也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利．而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边．解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边．从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广．
由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代数中却能轻而易举地得到解决．不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关．例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现；对五次以上方程的求解，导致群论的诞生；把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等．正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志．
二、代数学体系结构的形成
“代数”一词，原意是指“解方程的科学”．因此，最初的代数学也就是初等代数．初等代数，作为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志．从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程；简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤；符号代数，即普遍使用抽象的字母符号．从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程．在这个过程中，17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献．他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人，他提出和使用的许多符号，同现代的写法基本一致．
随着数学的发展和社会实践的深化，代数学的研究对象不断得到扩大，其思想方法不断得到创新，代数学也就由低级形态演进到高级形态，由初等代数发展到高等代数．高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别．初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而高等代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数系统．因此，高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使高等代数的应用范围更加广泛．向抽象性和普遍性方向发展，是现代代数学的一个重要特征．
15.1 整式的加减(2)
教学目标
①在具体情境中认识同类项，理解同类项的概念，会判断同类项．
②使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并能熟练地合并同类项．
③掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号、添括号．
④学生能在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算．
⑤经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识与合作精神．
教学重点与难点:
重点：合并同类项．
难点：合并同类项．
教学设计
创设情境，提出问题
问题1：课前让学生看看家里的碗橱、衣柜，观察里面东西的摆放，上课后请学生交流．
说一说：请学生把自己看到的现象与同学交流(碗归碗，勺归勺；大碗小碗分开放；大小盘子也是的；大衣柜里面的衣服摆放也是这样等等)．
从学生生活中的实例出。发，创设情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来．
想一想：教师此时引导学生想一想东西这样摆放的好处(一种类型的东西放置在一起，既整齐，节约空间，如大碗叠放在一起比一个个散放要省地方，找起来又方便)．
注：学生从中自然而然的体会到生活中的分类思想，和“合并同类项”(把具有某种相同的特征的归为一类)的好处．
着重指出分类时是把具有相同特征的归为一类．
问题2：在第二章中曾经解决过的一个问题，某校前年、去年、今年购买的计算机台数分别是x，2x，4x，那么这个学校这三年购买的计算机台数是7x，即x+2x+4x=7x．教师要求学生仔细观察，从中能够得到什么结论
学生观察后进行交流．
大胆猜测，归纳提升
1．探索同类项概念
问题3：一个多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5，并问学生：
(1)这个多项式中含有哪些项
(2)各项的系数又是多少
(3)哪些项可以合并成一项 为什么
合并同类项以及整式的加减是建立在单项式、多项式相关概念的基础上的，所以在开始学习新知识前有必要对前面所学知识简单进行回顾．
学生独立思考，小组交流后全班讨论．在教师的启发下，学生经过小组讨论发现：除了-3与5，还有3x2y与5x2y，-4xy2与2xy2可以分别合并．学生自己给同类项命名：把这些可以合并的项叫做同类项．
教师追问：它们具有什么共同特征
通过讨论，学生总结：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．
2．建立同类项概念
游戏：一个学生任意说出一个单项式，另一个同学说出它的同类项．
注：学生接受同类项的定义并不难，做到判断无误却非易事．需要通过练习，反复强调同类项的两条判断标准，使学生通过甄别、比较、逐步达到判断准确、合并熟练的程度．游戏目的是让全体学生能够真正参与到课堂教学中来，让学生在较为轻松的情境中学会同类项概念，识别同类项．
深入探究
1．想一想
(1)从学生的回答中任意挑选几个同类项，组成多项式．如，问：x+2x+3x= 你是怎样得出结论的
(2)你知道2x2-4x2= -3xy2+5xy2=
说说你们的方法，并互相交流．
让学生先独立完成，再组织交流．
从学生自己的回答中选择一些式子组成多项式，通过观察思考自己总结出合并同类项的法则，增强学生参与的兴趣．
2．挑战自我(1)x+2x+2x2-4x2-4xy2+5xy2=
(2)x-4x2+5xy2+2x-3xy3+2x2=
(3)求多项式x-4x2+5xy3与2x-3xy3+2x2的和；
(4)求多项式x-4x2+5xy3+2x与3xy3-2x2的差．
在探索过程中，提醒学生注意合并同类项运用乘法的三个运算律时，要注意符号问题，即要移动任意一项必须连同项的符号一起移动．在解决挑战自我的(3)、(4)时，列式后第一步是去括号，注意括号内符号的变化．第二步是合并同类项．
3．得出结论：
(1)把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．
(2)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，再合并同类项．
注：合并同类项时，为避免发生漏项的错误，在解决问题时重视解题的步骤，先标出同类项，然后再根据法则，合并各组同类项，这样做，有利于巩固概念，准确掌握合并同类项的规律．使学生在计算中思维条理化，提高运算能力，减少计算上的错误．熟练后，可以减少中间过程，直接写出结果．
巩固新知
例1教科书第165页例1(实际应用问题)
例2教科书第166页例2补充：求2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy-2y+1的值，其中x=，y=-1．
例2及其补充题鼓励学生先独立完成，再交流不同的方法，以使学生体会合并同类项的作用．
学生独立思考后交流各自解决方法．
学生自己得出结论：解决这类问题先化简再求值更加简单．
比一比
规定时间内完成教科书第166页练习，看谁做得既快又对．
注：通过比一比使学生能够熟练地进行整式的加减运算，让学生对本小节知识的理解得到巩固．
小结
课外练习
1．必做题：教科书第167页习题15.1第3、4、5、6、7、8题．
2．备选题：
(1)请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个 它本身是自己的同类项吗
(2)合并同类项一3x2y3k与4x2y6的结果是多少
(3)若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与 n的值分别是______________
(4)课本第168页习题15.1第9、10题
设计思想
学生对新知识的学习不应该只是通过教师单纯地讲解与学生机械地模仿，而是应该通过学生参与数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解知识，掌握必要的技能，坚定学好数学的愿望与信心．
本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，从学生生活中的实例出发，让学生自己去观察家里的橱柜摆设，创设问题情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来，让学生对生活中的“同类项”和“合并同类项”有了直观的认识．在学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活动，自主地得到同类项的概念；利用分配律观察并归纳出合并同类项的法则，这样他们所学到的知识是真正属于自己的，而不是别人强加给他们的．
在教学活动中，教师鼓励学生自主探索与合作交流．学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感．
15.2 整式的乘法(1)
教学目标
①感受生活中幂的运算的存在与价值．
②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．
③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．
④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．
教学重点与难点
重点：幂的三个运算性质．
难点：幂的三个运算性质．
教学设计
创设情境导入新课
问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算 你能用学过的知识解决吗
从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．
学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103
根据乘方的意义可以知道：
探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：
从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．
学生独立思考后回答，教师板演．
2．猜一猜
问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗
学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．
3．说一说
am×an(m，n是正整数) 学生说出理由，教师板演共同得出结论：am×an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意性质中的m、n的取值范围．
注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
4．想一想
am×an×ap=
5．做一做
例1教科书第170页的例1(1)～(4)
(5)-a3·a5；
(6)(x+1)2·(x+1)3
同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．
在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．
6．自主学习
根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7．做一做
例2教科书第171页的例2(1)～(4)
(5) -(x3)4·x2
8．想一想
让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律 运算结果有什么规律
学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
那么，(abc)n=
注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．
9．做一做
例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3
例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2
比一比
这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．
深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．
在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．
议一议
下面的计算对不对 如果不对，应当怎样改正．
(1)a3·a3=a6；
(2)b4·b4=2b4；
(3)x5+x5=x10;
(4)y7·y=y8；
(5)(a3)5=a8；
(6)a3·a5=a15;
(7)(a2)3·a4=a9；
(8)(xy3)2=xy6；
(9)(-2x)3=-2x3
注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
小结
组织学生讨论和辨析三个运算性质．
课外巩固
1．必做题：教科书第177页习题15.2第1、2题．2．备选题：
(1)计算：
(2)计算：am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1
(3)已知：am=7，bm=4，则(ab)2m=______
(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________
设计思想
本节课需要掌握三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”，这三个运算性质是整式乘法运算的基石，又是在幂的意义的基础上发展的．教师以“计算与问题—观察与猜想—归纳与概括”为教学主线引导学生探索运算性质，淡化推理论证，强调留给学生探索与交流的空间，重视性质的探索过程和数学感受．通过设置问题情境和操作情境，运用乘方的意义进行有理数的幂的乘法，让学生在主动的探索中获得同底数幂的乘法运算性质，再通过学生的动手实践，运用乘方的意义、同底数幂的乘法运算性质和乘法运算律自主获得幂的乘方、积的乘方运算性质，突破难点，从而构建新的知识体系．
对于容易混淆的概念，诸如“a3+a3与a3·a3，a2·a3与(a2)3”之类的问题，通过组织学生讨论和辨析，加强对幂的运算的掌握，同时也培养了一定的思维批判性．
在课堂教学中，通过口答、动手做一做等，组织学生进行比赛，培养学生一定的计算能力．在具体实施中，采用小组学习的方式，培养学生的合作意识；引导全班同学一起探索、交流与讨论，在激发了学生的学习热情的同时，获得知识的提升．
15.2整式的乘法(2)
教学目标:
①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点与难点
重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学设计
复习引新
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n=amn(m，n都是正整数)
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n=anbn(n为正整数)
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．练一练
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．
创设情境引入新课
问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗
注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢 学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么 )
在此处再问学生更加规范的书写是什么 应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知
1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗
学生独立思考，小组交流．
注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
2．试一试：
类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算例1教科书第173页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩教科书第174页练习2
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
深入探究
1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．
2．试一试计算：2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教科书第174页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
小结
课外巩固
1．必做题：教科书第177页习题15.2第3、4、6题
2．备选题：
(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______
(2)计算：(a3b)2(a2b)3
(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)
(4)计算：
设计思想
单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法．因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位．所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项武相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力．因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，将新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15.2整式的乘法(3)
教学目标
①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点与难点
重点：多项式与多项式相乘．
难点：多项式与多项式相乘．
教学设计
复习引新
1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．
2．练一练：教科书第175页练习1、2
我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积 用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．
学生独立思考后交换各自的解法：
方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．
方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：
am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．
(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．
探究新知
引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．
进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．
1．做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
2．讲一讲
让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．试一试
例1 教科书第176页例6
教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
例2先化简，再求值：
(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6
4．练一练
教科书第177页练习1
深入探索
1．试一试
例3计算：(x+2)(x-3)
注：让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．
2．想一想问：结果中的x2，-6是怎样得到的 学生口答．继续完成教科书第177页练习2
问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗
(1)学生交流各自的发现．
(2)结合教科书第177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题．
3．练一练
(1)计算(口答)：
①(x+2)(x+3)；
②(x-1)(x+2)；
③(x+2)(x-2)；
④(x-5)(x-6)；
⑤(x+5)(x+5)；
⑥(x-5)(x-5)；
(2)口答：教科书第178页习题15.2第12题．
4．用一用
例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少
小结
课外巩固
1．必做题：教科书第178页第6、7、8、9、10、11题．
2．备选题：
(1)计算：(x+2y-1)2
(2)已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
(3)小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形
设计思想
本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”教学中充分利用直观的，几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bnam+an，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一．然后在性质推导中把(m+n)看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：整体思想．在教学过程中，学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15.3 乘法公式
15.3.1平方差公式
教学目标
①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．
③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点与难点
重点：平方差公式的推导及应用．
难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备
卡片及多媒体课件
教学设计
引入
同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：
探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗
(1)(x+1)(x-1)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么 让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例
再举几个这样的运算例子．
注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+b)(a-b)=
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．
注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．
概括
平方差公式及其形式特征．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．
应用
教科书第180页例1运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
填表：
(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后结果
(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22
(b+2a)(2a-b)
(-x+2y)(-x-2y)
对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．
(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．
(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．
教科书第180页例2计算：
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．
巩固
教科书第18l页练习1、2
练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．
解释
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗
多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．
注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．
(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．
小结
谈一谈：你这一节课有什么收获
注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．
作业
1．必做题：教科书第184页习题15.3第1题
2．选做题：计算：
(1)x2+(y-x)(y+x)
(2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)
(4)(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正
(1)(a-4)(a+4)=a2-4
(2)(2x+5)(2x-5)=2x2-25
(3)(-a-b)(a+b)=a2-b2
(4)(mn-1)(mn+1)=mn2-1
注：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
设计思想:
《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人．教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新．”在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用．自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习．
在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心．在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境．(2)促进学生发展是活动的目的．数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点．因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展．
1 5．3．2完全平方公式
教学目标
①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．
②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．
③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．
难点：公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备
投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学设计
引入
同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：
(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．
探究
计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
(2)(m+2)2=
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
(4)(m-2)2=
注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．
举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+6)2，(a-b)2．
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．
概括
完全平方公式及其形式特征．
注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释：(a-b)2={a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
(3)对公式(a-b)2=a2-2ab+b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一
应用教科书第182页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-)2
引导学生用如下的填空形式完成例3：
解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，
(2)∵(y-)2是__与__和的平方，
注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．
(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m2，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．
教科教科书第183页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．
巩固
教科书第183页练习1、2
练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。
解释
(1)现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
(2)你能根据下图(教科书第182页图15.3-3)说明(a-b)2=a2-2ab+b2吗
第(1)小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快 第(2)小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)= a2-2ab+b2.
(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．(2)此处将教科书的图15.3-2改为由学生自主拼图得到公式，是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法，利用这个拼图游戏，可进一步促使学生关注几何与代数的联系，增进学生的认知和对公式的记忆．(3)教科书的图15.3-3比较难读懂，可引导学生合作交流得出代数恒等式．
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
注：前两对算式可通过引导学生复习“互为相反数的两个数的同次偶次幂相等”得出结论，后面一对算式由于前面学习的(ab)2=a2b2等公式的负迁移作用，学生常出现(a-b)2=a2- b2、(a+b)2=a2+b2等错误，教学时有必要辨析．
拓展
教科书第184页例5运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2
讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中-2y+3=-(2y-3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．
注：在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
(1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力．
(2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想．其中第二小题的结果特征明显，可要求部分学有余力的学生与完全平方公式联系起来记忆，作为一个新的乘法公式．
小结
谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识 它与平方差公式有什么区别和联系
梳理知识，形成体系．
作业
1．必做题：教科书第185页习题15.3第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)；第三大题的(2)；第四大题．
2．选做题：教科书第185页习题15.3第二大题的(2)、(6)；第三大题的(1)、(3)、(4)；第六大题．
3．备选题：(1)运用乘法公式计算：
(D(1-2m)(-1-2m)； ②(x-y)(y-x)；
③(-3a-b)(3a+b)； ④(2x-1)2(2x+1)2．
书本上有关完全平方公式的习题量较多，层次也比较明显，故从中筛选出必做题与选做题，以满足不同程度的学生的学习需要．
备选题答案： (1)①4m2-1 ②-x2+2xy-y2 ③-9a2-6ab-b2 ④16x4-8x2+1
(2)阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2等图形的面积表示：
图1 图2 图3
①请写出图3所表示的代数恒等式；
②试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2；
③请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的图形．
(2004年山西临汾中考试题)
①(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2：
②只要几何图形符合题目要求即可．
③按题目要求写出一个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等式相对应的平面几何图形即可．
设计思想
本节课是在学习了《平方差公式》之后进行的，学习的方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也较多，所以对课堂教学的组织要求就更高．所以在设计活动时，紧紧围绕着“完全平方公式如何得到和应用”这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出了不同的要求，使知识层层深入，环环紧扣．
波利亚指出：“学习任何东西，最有效的途径是自己去发现．”布鲁纳也认为“学习者在一定的情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西”．因此，在教学设计时注意着力于改变学生单纯地依赖模仿与记忆的学习方式，积极引导他们自主探索与合作交流，更好地掌握重点和突破难点．同时小组交流——合作学习能增强学生学好数学的信心，使他们掌握更多的学习方法，并培养学生的团队精神与合作精神．合作学习有助于因材施教，可以弥补一个教师难以面向有差异的众多学生教学的不足，从而真正实现使每个学生都得到发展的目标．
15.4整式的除法
15.4.1 同底数幂的除法
教学目标
①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法则、公式的简洁美与和谐美．
教学重点与难点
重点：同底数幂的除法法则．
难点：同底数幂的除法法则_的推导．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
教科书第187页问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片 你是怎么计算的
该问题提出后，教师可以采取由学生个人独立思考完成，小组内交流，继而全班交流的方法，鼓励学生勇于利用已学知识解决实际问题，善于将陌生问题转化为熟悉问题．这里还应鼓励算法的多样化，同时强调算理的叙述．
注：教科书从实际问题引入同底数幂的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系．增加设问：“你是怎么计算的”既可促使学生重视算理，也可培养他们善于思考和小结的学习习惯．
探究新知根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律
注：教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底数幂的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可引导学生运用幂的意义和分数的约分对此加以说明．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．
归纳法则
一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
讨论为什么这里规定a≠0
应用新知
例1 计算：
(1)x8÷x2； (2)a4÷a；(3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4．
对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导．计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则．
注：在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题．
巩固新知
①你问我答：自主编题，同桌互答
②教科书第189页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行．
注：抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．
再探新知分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论 (1)32÷32=( )；(2)103÷103=( )；(3)am÷am=( )(a≠0)．
规定：
a0=1(a≠0)．
即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
注：使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0=1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数幂的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．并使学生体会：数的概念往往是由于运算的需要而扩展，概念扩展的结果又往往带来运算法则、性质在更大范围的适用，将法则扩展后的形式写出正是基于这个考虑．
解决问题1．教科书第189页练习3
注：可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生．
(1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果，可使他们获得成就感，树立学好数学的信心．
(2)列举实际问题中的例子，要求稍高，可以让学生合作完成，教师可先示范拟题举例．
2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子．
小结
回顾填写课堂评价表(见附页)
注：评价表的填写，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.4第一大题(1)、(2)、(3)；
2．选做题：教科书第193页习题15.4第七大题
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正
(1)(-xy)6÷(-xy)2=-x4y4
(2)62m+1÷6m=63=216
(3)x10÷x2÷x=x10÷x=x10
注：每节课后的练习坚持分层的原则，可以更好地调动各个层次学生的学习热情，使他们乐于完成．
设计思想
回顾整节课的设计，我主要着力于以下三个方面：
1．关于教材处理：为了给学生尽可能多地提供参与活动的机会，在本节课中主要做了这些努力：
(1)通过“你是怎么算的”“探究新知”两个活动，吸引学生参与活动；
(2)通过“你问我答”“再探新知”两个活动，鼓励学生主动参与活动；
(3)通过“解决问题”“填写评价表”两个活动，促进学生参与活动．
2．关于教与学方法的选择：在设计中始终关注：如何认真组织，让学生在丰富的活动中探索、交流与创新，因此我选择了“引导一发现教学法”，具体做法如下：
(1)应用乘除互逆、类比分数的思想，引导学生独立思考、小组协作，完成对同底数幂相除法则的自主建构，突出代数推理能力的养成；
(2)加强应用性，通过“情境引入”“解决问题”两个环节，密切同底数幂除法与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出解决实际、问题的能力的培养．
3．关于评价：在活动中注重运用态势、语言对学生进行即时性评价，在评价表的设计中安排多维评价：既关注学生合作交流的意识与能力、也关注学生数学思维能力与发展水平、还关注学生发现问题和解决问题的能力．
附：评价表(说明：在等级栏内打“√”)
内 容 自我评价 小组评价
优 良好 需加油 优 良好 需加油
能把自己的想法与他人分享
能认真倾听他人的想法、见解
会推导同底数幂的除法法则
会正确进行同底数幂的除法运算
能用同底数幂的除法解决实际问题
本节课你的独特见解
本节课你还有疑惑的问题
你对老师的评价和建议
15.4.2整式的除法
教学目标
①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．
②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点与难点
重点：整式除法的运算法则及其运用．
难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
教科书第189页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．
探究新知
(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗
8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2．
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗
注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．
归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．
应用新知
例2 计算：
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)-5a5b3c÷15a4b．
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
注：单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意，这些对刚刚接触整式除法的学生来讲，难免会出现照看不全的情况，所以更应督促学生细心解答问题．
巩固新知 教科书第191页练习1及练习2．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
注：在独立解题和同伴的相互交流过程中让学生自己去体会法则、掌握法则，印象更为深刻，也有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．
再探新知计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a2+ab)÷a；(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．
注：教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑．
归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
你能把这句话写成公式的形式吗
注：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．
解决问题
教科书第192页例3 计算
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．
注：通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．
巩固新知教科书第192页练习利用投影仪反馈学生解题过程．
注：本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．
小结
回顾填写课堂评价表(见附页)
注：评价表的填写，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.4第1题(4)；第2题；第3题；第4题；第5题；第6题．
2．选做题：教科书第193页习题15.4第8题
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确；应怎样改正
(1)-4ab2÷2ab=2b (2)(14a3-2a2+a)÷a=14a2-2a
注：易错题、改错题可以培养运算能力，加深对法则的理解．
设计思想
《数学课程标准》强调：要让学生经历知识的形成与应用的过程．通过课堂学习，我们不应只关心学生记住了多少性质，背出了几个公式，更应关注的是学生是否参与了知识的发现、形成过程，并从中体验成功的喜悦，掌握学习策略，发展能力．所以本节课我采用“自主探究性学习”．“自主探究性学习”是以学生自主探究为主的教学方式，在实践中我认为这样一些内容可以采用此教学方式：
1．规律的发现 2．方法的寻找 3．开放性的问题 4．知识的形成过程．本课的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，继而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构(熟悉分数的约分和幂的意义)基础上，建构整式的除法法则．同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率．
附：评价表(说明：在等级栏内打“√”)
内 容 自我评价 小组评价
优 良好 需加油 优 良好 需加油
会推导单项式除以单项式的运算法则
会正确进行单项式除以单项式的运算
会正确进行多项式除以单项式的运算
能用代数形式概括多项式除以单项式的法则
本节课你所学到的数学方法
你认为在整式除法运算中应注意的问题
本节课你还有疑惑的问题
15.5 因式分解
15.5 因式分解(1)
教学目标
①了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．
②会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．
③会利用因式分解进行简便计算．
④通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识．
教学重点与难点
重点：因式分解的概念．
难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．
教学准备
要求学生回忆整数的质因数分解的方法．
教学设计
问题讨论(探究)引入
同学们，我们先来看下面2个问题：
1．630能被哪些数整除，说说你是怎样想的
2．当a=101,b=99时，求a2-b2的值．
注：对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a=101,b=99代人进行计算，但如果应用平方差公式先把a2-b2变形成(a+b)(a-b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁．
通过对上面2个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．
从质因数的分解看，为了使运算更加简便和准确有时先把多项式进行变形再代入求值．这样的两个题学生都容易接受．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识．也渗透着数学中的类比思想．
探究
教科书第194页的探究题．
注：要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．
探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．
提出因式分解的概念．
注：利用书中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的2种不同的变形，并强调它们的特点．
练习
下列由左到右的变形，是否因式分解，为什么
1．(x+2)(x-2)=x2-4
2．x2-4=(x+2)(x-2)
3．x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
注：通过这个练习强化因式分解的概念．
因式分解方法研究
1．提公因式法
研究多项式：ma+mb+mc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．
注：公因式的概念是提公因式法的基础，必须予以重视．
让学生体验： ma+mb+mc=m(a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗
注：要说明公因式提出后，另一个因式是如何确定的．
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式
分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式 从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．
注：例1是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解，要让学生清楚地知道具体的方法和步骤．
练习
用提公因式法分解因式:1．3mx-6nx2 2．4a2b+10ab-2ab2
注：通过练习熟练和巩固提公因式法分解因式．
例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔
注：例2中公因式可以是多项式,这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这是对公因式概念的深入理解．这里隐含着换元的思想，教师应正确地讲解．
细观察从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c，再用提公因式法进行分解．
例3计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12
注：让学生观察并分析怎样计算更简单．
例3是因式分解在计算中的应用，学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识．
比较归纳说说例1例2和例3的公因式有什么不同
注：通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因式通俗地说就是多项式中的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从数、相同字母、相同字母的个数(即最低次数)这几个方面进行考虑，这个“东西”有时还可以是一个多项式．
巩固练习
1．做教科书第196页的练习．
建议：这是提公因式法的第1次练习，要求学生认真思考并完成，然后详细分析解答中的错误并认真改正．第1题中的第3小题的公因式如何确定要特别说明．
2．讨论：怎样检查因式分解是否正确 提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系
小结提高
1．举一个例子说说什么是因式分解．
2．什么是多项式的公因式 确定公因式该从哪几个方面进行考虑
3．说说提公因式法的一般步骤．
(1．确定提取的公因式 2．用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式 3．把多项式写成这两个因式的积的形式)
对因式分解概念的理解是本课的重点，公因式的确定和提公因式的具体方法是本课的关键，所以对知识的小结可从这些问题入手带领学生做深入的思考．
布置作业
1．必做题：教科书第200页习题15.5第1题，第4题的第1小题，第6题；
2．选做题：教科书第201页第7题；
3．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么 若不正确请写出正确答案．
①-25ax2-20a2x2=-5ax(5x-4ax)
②2a(x-y)3-3b(y-x)2=(x-y)2[2a(x-y)+3b]
(2)用提公因式法分解因式
①a2b-ab2;②-x2+xy;③-2p2(p2+q2)+6pq(p2+q2);④5a(x-y-z)-2bx+2by+2bz.
备选题答案
(1)①不正确 应该是：-5a2x2(5+4a)；②不正确 应该是：(x-y)2(2ax-2ay-3b);
(2)①ab(a-b)；②-x(x-2y)；③-2p(p2+q2)(p-3q)；④(x-y-z)(5a-2b)
设计思想
1．本节课是因式分解的第一节课，主要是建立因式分解的概念和用提公因式法进行因式分解．由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，是数学中对式的基本运算内容之一，也由于因式分解的能力在具体应用中会得到不断的提高，所以现在对因式分解的题目的难度不宜过高．
2．因式分解的结果和目的类似于质因数的分解，所以本课开始时“用630能被哪些数整除，说说你是怎样想的 ”进行引入，从知识的迁移角度来讲比较自然，学生也容易接受，对因式分解概念的建立很有好处，设计“当a=101,b=99时，求a2-b2的值．”的问题，是为了使学生认识到对多项式进行变形会给运算带来简便，从而增加对因式分解重要性的认识．
3．本课在提公因式法分解因式的教学中，要让学生理解好公因式的概念，这样有利于公因式的确定，对准确迅速地分解因式很有好处；对公因式的理解要到位，要全面，这里渗透着“整体”的思想，能把一个大的“东西”，繁的“东西”，难的“东西”看成一个小的简单的容易的“东西”是一种重要的能力和素质，所以在公因式的教学中我们教师应该有这样的观念．
4．对于有关概念的建立和提公因式方法的研究，要尽可能地让学生进行讨论和辨析．
15.5因式分解(2)
教学目标
①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点与难点
重点：运用公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备
要求学生对平方差公式和完全平方公式准确理解．
教学设计
问题思考(探究)引入
问题：1．什么叫因式分解
问题1使学生回忆因式分解的概念．
注：对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．
2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗 这两个多项式有什么共同的特点
问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行因式分解．
注：对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即：(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就是：
a2-b2=(a+b)(a-b)
注：要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．
利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差，这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、口以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)样的错误．
例1分解因式：(1)4x2-9;(2)x2-0.0ly2;(3)(x+p)2-(x+q)2
分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．
注：能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了．
平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．
因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识．
例2分解因式
(1)x4-y4 (2)a3b-ab
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解．
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
注：练习题要培养学生的观察能力和审题习惯．
巩固练习
做教科书第198页的练习．
第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注：注意要将因式分解进行到不能再分解为止．
用完全平方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．
问题探究·研究性学习
问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗 这两个多项式有什么特点
建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来．
注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会．
把多项式向公式的方向变形和转化．
例3分解因式
(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2
注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化．
例4分解因式
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公式的形式和特点上进行比较．(可把a+b看作一个整体，设a+b=m)
第2小题注意渗透换整体和换元的思想．
练习：教科书第200页的练习题．
小结提高
1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．
3．谈谈多项式因式分解的注意点．
注：对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．
布置作业
1．必做题：教科书第200页习题15.5第2、3题，第4题的第2小题，第5题，第9题；
2．选做题：教科书第201页第8、10题；
3．备选题：
(1)下面的因式分解是否正确，为什么 若不正确请写出正确答案．
①m2+n2=(m+n)2;②m2-n2=(m-n)2;③a2+2ab-b2=(a-b)2;④-a2-2ab-b2=-(a-b)2
(2)分解因式①x3-9x，②(a2+b2)2-4a2b2,③(y2-6)2-6(y2-6)+9
(3)用简便方法计算：
①;
②19992-3998×1998+19982;③2992+599
备选题答案
(1)①不能分解；②不正确，应是(m-n)(m+n)；③不能分解；④不正确，应是-(a+b)2．
(2)①x(x+3)(x-3)
②(a+b)2(a-b)2
③(y+3)2(y-3)2
(3)①255;②1
③90000
设计思想
本节课是因式分解的第一节课，主要是研究用平方差公式和完全平方公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法，教学设计有如下的特点：
1．由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础．课题的引入简单而紧扣主题．
2．在对因式分解的概念有较深刻理解的基础上，学习应用平方差公式和完全平方公式时，应把重点放在帮助学生观察和分析这两个公式的特点上来，弄清他们的特点是能否正确分解的关键，所以设计中突出体现了对公式的形式化的理解，教师应把公式中的字母看成一个“东西”，这个“东西”就是一个整体，体现着换元的思想，教学中要应用不同的符号体现这个思想．
3．多项式的因式分解方法多，技巧性也较强，本书只介绍最基本的因式分解方法，但对因式分解的思考方向和步骤有较强的统一性，一般是先提公因式再用公式法或其他的方法，对这些方法的综合应用是教学的难点之一，在教学中要注意渗透这些认识和处理问题的策略．
4．本课考虑到应用完全平方公式和平方差教学的相似性，所以把这两个公式放在一节课来学习，对学生来说增加了难度，实际教学中要充分认识到这一点，可视学生的实际情况安排教学内容，但对于完全平方公式要以学生的自主学习为主，教师要把精力放到适当的指导和总体方向的把握上来．
第15章能力测试题
(时间60分钟 满分100分)
一、精心选一选(每小题5分，共30分)
1．下列运算错误的是 ( )
A．x2+2x2=3x2 B．2x3(-x2)=-2x5 C．(x2)3=x5 D．6x2÷2x2=3x2．
2．按下面图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ( )
A．6 B．21 C．231 D．156
3．若x2+kx+9是完全平方式，则k等于 ( )
A．3 B．-6 C．6 D．6或-6
4．下列分解因式正确的是 ( )
A． B．3x3+2x2+x=x(3x2+2x)
C．x2-2xy-y2=(x-y)2 D．9m2-1=(9m+1)(9m-1)
5．如图，在矩形ABCD中，两个阴影部分都是矩形，依照右图中标出的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )
A．bc-ab+ac+c2 B．a2+ab+bc-ac
C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab
6．用火柴棒按如下图所示的方式搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒……按此规律搭下去，搭n个三角形需要火柴棒根数是 ( )
A．3n B．2n+1 C．n2+2n-1 D．n2+n+1
二、耐心填一填(每小题5分，共20分)
7．将-a2表示成若干个同底数幂的和：__________
8．如图是用4张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：________
9．分解因式：x4-81y4=_______________
10．若多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，则加上的单项式可以是______．(写出一个即可)。
三、细心算一算(共50分)
11．(1)(5分)计算：[4x2y2(x2-3xy)-(-2xy)3]÷2x2y2
(2)(6分)化简并求值：2(x-5)(x+1)+(x-3)2-(x-3)(x+3)，其中x=-1．
(3)(4分)利用乘法公式计算：20052-2004×2006
(4)(5分)写出一个三项式(要求：能先用提取公因式法分解，然后用公式法分解)，并将它分解因式．
12．(8分)做游戏，学数学：老师在课堂上给同学们出了一道猜数游戏题．她让同学们在心里想好一个不是0的数，然后按以下顺序进行计算：
(1)把这个数减去3后再平方；
(2)然后再减去9．
(3)再除以所想的那个数，你得到一个商．
最后把你所得到的商告诉老师，老师会立即猜出你所想的数，你能说出这其中的奥妙吗 请列式说明．
13．(10分)(1)已知x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么x=2时，求代数式ax3+bx+1的值．
(2)矩形一边长是5a+2b，另一边长比它小a-b，求矩形面积．
四、(12分)请你来推理：
分别计算下列各数的平方，并填在横线上：
52=25
152=(1×10+5)2=100×1×2+25;
252=( + )2= +25;
352=( + )2= + ;
将你发现的规律用仅含n的式子表示，并给出证明．
第15章能力测试题参考答案
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．-2a2+a2等
8．(a+b)2-4ab=(a-b)2 9．(x2+9y2)(x+3y)(x-3y)
10．-1或-4x2或4x4或4x或-4x
11．(1)2x2-2xy (2)原式=2x2-14x+8=24 (3)1 (4)略
12．设所想的数为a(a≠0)，根据题意，得：[(a-3)2-9]÷a=a-6，
则a-6即为告诉老师的数，老师只需把该数加上6，即可得到a．
13．(1)-4 (2)20a2+23ab+6b2
14．2×10，5，100×2×3，(3×10+5)2，100×3×4，25，(10n+5)2=100n(n+1)+25． 证略．
评价建议与测试题
评价建议
1．本章内容包括：整式及其相关概念，合并同类项和整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的乘法(单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式)，乘法公式(平方差公式、完全平方公式)，整式的除法(单项式除以单项式、多项式除以单项式)，因式分解(提公因式法、公式法)．其中整式的四则运算、因式分解的两种基本方法是教学的重点；整式的四则运算的灵活计算，因式分解的方法多，变化技巧性较高是教学的难点．确定评价内容时，应注意教学的主要内容，注意设计情景问题，使问题生活化，趣味化，便于发展学生的符号感和数感及观察几何图形的能力，并突出重点．
2．在设计测试题时，要注重对学生整式四则运算和因式分解的基本计算技能的考察；要注重培养学生的数感和符号感及空间观念；要注重实际问题的设计，要以问题情境——数学模型——求解模型为主要线索呈现整式及其运算和因式分解的内容，注重从问题情境中寻求数量关系，运用符号进行表示的过程；要注重利用数形结合的思想探究问题中包含的规律；要注意渗透数形结合的思想和化归的思想．
3．除了基本的试题测试以外，可以考虑设计形式多样的检测方式．如：为了检测学生探究与合作能力，可设计一些开放性、探究性的问题，以小组合作学习的形式开展课内外调查、分析、探究和评价．还可以开展教材中的“数学活动”，从而检测学生的分析、推理能力和开展数学活动的能力．
测试题
(时间：45分钟，满分：i00分)
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．下列各单项式中，与2x4y是同类项的为( )
(A)2x4． (B)2xy． (C)x4y． (D)2x2y3．
能理解同类项的含义，并会辨别同类项．
2．(x-a)(x2+ax+a2)的计算结果是( )
(A)x3+2ax2-a3． (B)x3-a3． (C)x3+2a2x-a3． (D)x2+2ax2+2a2-a3．
运用多项式乘以多项式的运算性质计算．
3．下面是某同学在一次测验中的计算摘录：
①3a+2b=5ab; ②4m3n-57mn3=-m3n； ③3x3·(-2x2)=-6x5；④4a3b÷(-2a2b)=-2a; ⑤(a3)2=a5；⑥(-a)3÷(-a)=-a2．其中正确的个数有( )
(A)1个．
第15章整式
15.1 整式的加减(1)
教学目标
①了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的联系与区别．
②掌握整式、单项式及其系数与次数、多项式的次数、项的概念，明确它们之间的区别与联系，并会把一个多项式按某个字母的升幂或降幂排列．
教学重点与难点
重点：单项式概念及其系数与次数、多项式概念及其次数、项之间的区别与联系．
难点：识别单项式系数与次数、多项式次数、项．
教学设计
创设情境引入课题
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长m m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
学生小组讨论，全班交流．
回答上面的问题要用到本章将要学习的新知识．
注：原长方形及其变化后的长方形，让学生从图形直观感受变化，并尝试用不同的方法表示扩大后的绿地面积．但这里重点在于激发学生的学习兴趣，鼓励他们找到不同的答案(包括书本外的答案)．对于不同表示方法之间的关系留待以后讨论．
探求新知
1．试一试
填空：
(1)若正方形的边长为x，那么正方形的周长为________．
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为________．
(3)小民从每月的零花钱中贮存一些钱准备捐给希望工程，若他每年能捐x元，三年半下来小民共捐款________元．
(4)一辆汽车的速度是v km／h，行驶t h所走过的路程是________km．
(5)若n表示一个数，则它的相反数是________．
(6)若正方体的棱长为a，它的表面积为________，体积为________．
(7)直径为m的圆面积是________．
注：在这里补充(7)的目的是为了接下去学习单项式的系数时让学生注意π是常数．
2．想一想
问题1：观察你所列出的这些式子有什么共同特点 (可以将式子中省略的乘号补上，启发学生观察)
指导学生一起分析这些式子，指出这些式子的共同点．
注：学生独立思考，互相交流思考的结果．
在学生交流的基础上，教师概括：所列的式子是4x，
它们都是数或字母的积，
这样的式子叫做单项式．特别地，单独的一个数或字母也是单项式．
你能再举一些单项式的例子吗 试试看．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
你能说出上述单项式的系数和次数吗
注意：
(1)圆周率π是常数；
(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如3x写成x
“注意”应该结合具体例子先讲解，再小结．
巩固新知
例1 判断下列各式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数．
自主学习
1．做一做
填空：(教科书第163页思考题)
在学习单项式时，我们研究了单项式的概念、单项式的系数和次数，类似地，对于上面写出的这些式子你能提出什么问题
问题2：观察你所列出的这些式子有什么共同特点 它们与单项式有什么关系
注：对于单项式、多项式同样都要研究它的次数等，所以在这里让学生自主提出要研究的问题，在生生交流、师生交流过程中，尝试得到结论．
2．讲一讲
师生共同概括：列出的式子3.14r2，x2+2x+18，都是由单项式的和组成的．
几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
注：让学生读一读这些多项式，注意每一项是什么，还要使学生注意单项式前的符号，有正号，也有负号．
先读一读，再说说看：上述多项式的项分别是什么
注意：多项式的每一项都包括它前面的符号．
问题：单项式的次数是怎么确定的 观察多项式x2+2x+18中各项的次数分别是多少 其中次数最高项的次数是多少
规定，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
试回答：多项式是几次多项式
注意：多项式的次数不是所有项的次数之和．
注：这里注意让学生讲一讲单项式与多项式次数之间的联系与区别．
巩固新知
例2指出下列多项式的项和次数：
(1)a3-3a2b+3ab2-b2；(2)4n4-3n2+2
练习：教科书第164页．
单项式和多项式统称整式．
说一说：你能说出单项式、多项式、整式三者间的关系吗
试一试
运用加法交换律，任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到__种不同的排列方式．在众多的排列方式中，你认为哪几种比较整齐
学生独立思考后交流．
注：学生体验单项式、多项式的联系与区别，单项式、多项式、多项式的项都有次数，要弄清它们之问的联系与区别．
概括：任意交换多项式x2+x+1中各项的位置，可以得到6种不同的排列方式．在众多的排列方式中，像x2+x+1与1+x+x2这样的排列方式比较整齐．
你认为是什么特点致使这两种排列比较整齐呢
学生独立思考，小组交流．师生共同分析得出结论：
这两种排列有一个共同的特点，那就是x的指数是逐渐变小(或变大)的．其实，这样的写法除了整齐外对今后的计算也会带来便利．把多项式x+x2+1按x的指数从大到小的顺序排列，即x2+x+1，叫做这个多项式按字母x的降幂排列；把多项式x+x2+1按x的指数从小到大的顺序排列，即1+x+x2，叫做这个多项式按字母x的升幂排列．
做一做：把多项式分别5-4x2+5x按x的升幂和降幂排列．
小结
挑战自我
1．请写出一个单项式，使它的系数为-4,次数为5；
2．请写出一个多项式，使它的项数是3，次数为3．
注：通过开放性问题的练习，进一步强化对单项式的系数、次数以及多项式的项数、次数的认识，提高学生的综合思维能力．
课外巩固
1．必做题：
(1)教科书第164页练习1、2；
(2)教科书第167页习题15.1第1题．
2．备选题：
(1)判断下列各式是不是整式 如果是整式，那么它是单项式还是多项式
(2)判断下列说法是否正确．正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”：
①单项式a既没有系数，也没有次数． ( )
②单项式5×lO5x的系数是5． ( )
③-2005是单项式． ( )
④单项式的系数是，次数是3． ( )
(3)指出下列多项式的次数与项，并把它按字母a的升幂排列：
①3a2+5-3a+a3；
②2a3b-4b3+5a2．
设计思想
在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识．
本节课学习单项式与多项式及其相关的概念，是数学概念的学习．在教学设计中采用从实际问题中引入新课，让学生自己动手做一做，比较同一个问题的不同的表示方法，激起学生探索的兴趣．因为初一的学生观察、分析、归纳的能力还比较弱，在教学中从实例出发，展现数学知识的形成过程，组织学生小组讨论，在学生交流的基础上归纳出单项式与多项式的概念，在这个过程中逐步提高学生的抽象概括能力．单项式我们研究它的系数与次数，多项式也要研究它的次数，学生较容易把多项式的次数算成所有字母的指数和，在教学中组织学生讨论两者的联系与区别．在小结后让学生解决两个开放性问题，进一步强化了学生对单项式及多项式相关概念的区别与联系，达到了让学生在理解的基础上掌握单项式及多项式相关概念的目的．
背景资料
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系．算术是代数的基础，代数由算术演进而来．从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破．
一、代数学产生的历史必然性
代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数．初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解．从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础．
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算．算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步．算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以想像．
在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算．也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果．许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的．算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型．对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，再列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行．特别是对于那些含有几个未知数的实际问题，要想通过建立已知数的算式来求解，有时甚至是不可能的．
算术自身运算的局限性，不仅限制了数学的应用，而且也影响和束缚了数学自身的继续发展．随着数学自身和社会实践的深入发展，算术解题法的局限性日益暴露出来，于是一种新的解题法——代数解题法的产生也就成为历史的必然．
代数解题法的基本思想是，首先依据问题的条件组成包含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值．初等代数的中心内容是解方程，因而通常把初等代数理解为解方程的科学．
初等代数与算术的根本区别，在于前者允许把未知数作为运算的对象，后者则把未知数排斥在运算之外．如果说在算术中也论及某个未知数的话，那么，这个未知数也只能起运算结果符号等价物的作用，只能单独地处在等式的左边，静等等式右边的算式完成对具体数字的演算．也就是说，在算术中，未知数没有参加运算的权利．而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着其中所包含的已知数和未知数有着同等的运算地位，即未知数也变成了运算的对象，和已知数一样，它们可以参与各种运算，并可以依照某种法则从乘式的一边移到另一边．解方程的过程，实质上就是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，已知数置于等式的另一边．从这种意义上看，算术运算不过是代数运算的特殊情况，代数运算是算术运算的发展和推广．
由于代数运算具有较大的普遍性和灵活性，因而代数的产生极大地扩展了数学的应用范围，许多算术无能为力的问题，在代数中却能轻而易举地得到解决．不仅如此，代数学的产生对整个数学的进程产生巨大而深远的影响，许多重大发现都与代数的思想方法有关．例如，对二次方程的求解，导致虚数的发现；对五次以上方程的求解，导致群论的诞生；把代数应用于几何问题，导致解析几何的创立等等．正因为如此，我们把代数的产生作为数学思想方法发生第一次重大转折的标志．
二、代数学体系结构的形成
“代数”一词，原意是指“解方程的科学”．因此，最初的代数学也就是初等代数．初等代数，作为一门独立的数学分支学科，其形成经历了一个漫长的历史过程，我们很难以某一个具体的年代作为它问世的标志．从历史上看，它大体上经过了三个不同的阶段：文词代数，即用文字语言来表述运算对象和过程；简字代数，即用简化了的文词来表示运算内容和步骤；符号代数，即普遍使用抽象的字母符号．从文词代数演进到符号代数的过程，也就是初等代数由不成熟到较为成熟的发育过程．在这个过程中，17世纪法国数学家笛卡尔做出了突出贡献．他是第一个提倡用x、y、z代表未知数的人，他提出和使用的许多符号，同现代的写法基本一致．
随着数学的发展和社会实践的深化，代数学的研究对象不断得到扩大，其思想方法不断得到创新，代数学也就由低级形态演进到高级形态，由初等代数发展到高等代数．高等代数与初等代数在思想方法上有很大的差别．初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而高等代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数系统．因此，高等代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，这就使高等代数的应用范围更加广泛．向抽象性和普遍性方向发展，是现代代数学的一个重要特征．
15.1 整式的加减(2)
教学目标
①在具体情境中认识同类项，理解同类项的概念，会判断同类项．
②使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并能熟练地合并同类项．
③掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号、添括号．
④学生能在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算．
⑤经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识与合作精神．
教学重点与难点:
重点：合并同类项．
难点：合并同类项．
教学设计
创设情境，提出问题
问题1：课前让学生看看家里的碗橱、衣柜，观察里面东西的摆放，上课后请学生交流．
说一说：请学生把自己看到的现象与同学交流(碗归碗，勺归勺；大碗小碗分开放；大小盘子也是的；大衣柜里面的衣服摆放也是这样等等)．
从学生生活中的实例出。发，创设情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来．
想一想：教师此时引导学生想一想东西这样摆放的好处(一种类型的东西放置在一起，既整齐，节约空间，如大碗叠放在一起比一个个散放要省地方，找起来又方便)．
注：学生从中自然而然的体会到生活中的分类思想，和“合并同类项”(把具有某种相同的特征的归为一类)的好处．
着重指出分类时是把具有相同特征的归为一类．
问题2：在第二章中曾经解决过的一个问题，某校前年、去年、今年购买的计算机台数分别是x，2x，4x，那么这个学校这三年购买的计算机台数是7x，即x+2x+4x=7x．教师要求学生仔细观察，从中能够得到什么结论
学生观察后进行交流．
大胆猜测，归纳提升
1．探索同类项概念
问题3：一个多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5，并问学生：
(1)这个多项式中含有哪些项
(2)各项的系数又是多少
(3)哪些项可以合并成一项 为什么
合并同类项以及整式的加减是建立在单项式、多项式相关概念的基础上的，所以在开始学习新知识前有必要对前面所学知识简单进行回顾．
学生独立思考，小组交流后全班讨论．在教师的启发下，学生经过小组讨论发现：除了-3与5，还有3x2y与5x2y，-4xy2与2xy2可以分别合并．学生自己给同类项命名：把这些可以合并的项叫做同类项．
教师追问：它们具有什么共同特征
通过讨论，学生总结：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．
2．建立同类项概念
游戏：一个学生任意说出一个单项式，另一个同学说出它的同类项．
注：学生接受同类项的定义并不难，做到判断无误却非易事．需要通过练习，反复强调同类项的两条判断标准，使学生通过甄别、比较、逐步达到判断准确、合并熟练的程度．游戏目的是让全体学生能够真正参与到课堂教学中来，让学生在较为轻松的情境中学会同类项概念，识别同类项．
深入探究
1．想一想
(1)从学生的回答中任意挑选几个同类项，组成多项式．如，问：x+2x+3x= 你是怎样得出结论的
(2)你知道2x2-4x2= -3xy2+5xy2=
说说你们的方法，并互相交流．
让学生先独立完成，再组织交流．
从学生自己的回答中选择一些式子组成多项式，通过观察思考自己总结出合并同类项的法则，增强学生参与的兴趣．
2．挑战自我(1)x+2x+2x2-4x2-4xy2+5xy2=
(2)x-4x2+5xy2+2x-3xy3+2x2=
(3)求多项式x-4x2+5xy3与2x-3xy3+2x2的和；
(4)求多项式x-4x2+5xy3+2x与3xy3-2x2的差．
在探索过程中，提醒学生注意合并同类项运用乘法的三个运算律时，要注意符号问题，即要移动任意一项必须连同项的符号一起移动．在解决挑战自我的(3)、(4)时，列式后第一步是去括号，注意括号内符号的变化．第二步是合并同类项．
3．得出结论：
(1)把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．
(2)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，再合并同类项．
注：合并同类项时，为避免发生漏项的错误，在解决问题时重视解题的步骤，先标出同类项，然后再根据法则，合并各组同类项，这样做，有利于巩固概念，准确掌握合并同类项的规律．使学生在计算中思维条理化，提高运算能力，减少计算上的错误．熟练后，可以减少中间过程，直接写出结果．
巩固新知
例1教科书第165页例1(实际应用问题)
例2教科书第166页例2补充：求2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy-2y+1的值，其中x=，y=-1．
例2及其补充题鼓励学生先独立完成，再交流不同的方法，以使学生体会合并同类项的作用．
学生独立思考后交流各自解决方法．
学生自己得出结论：解决这类问题先化简再求值更加简单．
比一比
规定时间内完成教科书第166页练习，看谁做得既快又对．
注：通过比一比使学生能够熟练地进行整式的加减运算，让学生对本小节知识的理解得到巩固．
小结
课外练习
1．必做题：教科书第167页习题15.1第3、4、5、6、7、8题．
2．备选题：
(1)请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个 它本身是自己的同类项吗
(2)合并同类项一3x2y3k与4x2y6的结果是多少
(3)若2amb2m+3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式，则m与 n的值分别是______________
(4)课本第168页习题15.1第9、10题
设计思想
学生对新知识的学习不应该只是通过教师单纯地讲解与学生机械地模仿，而是应该通过学生参与数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解知识，掌握必要的技能，坚定学好数学的愿望与信心．
本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，从学生生活中的实例出发，让学生自己去观察家里的橱柜摆设，创设问题情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来，让学生对生活中的“同类项”和“合并同类项”有了直观的认识．在学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活动，自主地得到同类项的概念；利用分配律观察并归纳出合并同类项的法则，这样他们所学到的知识是真正属于自己的，而不是别人强加给他们的．
在教学活动中，教师鼓励学生自主探索与合作交流．学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感．
15.2 整式的乘法(1)
教学目标
①感受生活中幂的运算的存在与价值．
②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．
③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．
④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．
教学重点与难点
重点：幂的三个运算性质．
难点：幂的三个运算性质．
教学设计
创设情境导入新课
问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算 你能用学过的知识解决吗
从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．
学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103
根据乘方的意义可以知道：
探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：
从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．
学生独立思考后回答，教师板演．
2．猜一猜
问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗
学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．
3．说一说
am×an(m，n是正整数) 学生说出理由，教师板演共同得出结论：am×an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意性质中的m、n的取值范围．
注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
4．想一想
am×an×ap=
5．做一做
例1教科书第170页的例1(1)～(4)
(5)-a3·a5；
(6)(x+1)2·(x+1)3
同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．
在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．
6．自主学习
根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7．做一做
例2教科书第171页的例2(1)～(4)
(5) -(x3)4·x2
8．想一想
让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律 运算结果有什么规律
学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
那么，(abc)n=
注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．
9．做一做
例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3
例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2
比一比
这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．
深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．
在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．
议一议
下面的计算对不对 如果不对，应当怎样改正．
(1)a3·a3=a6；
(2)b4·b4=2b4；
(3)x5+x5=x10;
(4)y7·y=y8；
(5)(a3)5=a8；
(6)a3·a5=a15;
(7)(a2)3·a4=a9；
(8)(xy3)2=xy6；
(9)(-2x)3=-2x3
注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
小结
组织学生讨论和辨析三个运算性质．
课外巩固
1．必做题：教科书第177页习题15.2第1、2题．2．备选题：
(1)计算：
(2)计算：am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1
(3)已知：am=7，bm=4，则(ab)2m=______
(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________
设计思想
本节课需要掌握三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”，这三个运算性质是整式乘法运算的基石，又是在幂的意义的基础上发展的．教师以“计算与问题—观察与猜想—归纳与概括”为教学主线引导学生探索运算性质，淡化推理论证，强调留给学生探索与交流的空间，重视性质的探索过程和数学感受．通过设置问题情境和操作情境，运用乘方的意义进行有理数的幂的乘法，让学生在主动的探索中获得同底数幂的乘法运算性质，再通过学生的动手实践，运用乘方的意义、同底数幂的乘法运算性质和乘法运算律自主获得幂的乘方、积的乘方运算性质，突破难点，从而构建新的知识体系．
对于容易混淆的概念，诸如“a3+a3与a3·a3，a2·a3与(a2)3”之类的问题，通过组织学生讨论和辨析，加强对幂的运算的掌握，同时也培养了一定的思维批判性．
在课堂教学中，通过口答、动手做一做等，组织学生进行比赛，培养学生一定的计算能力．在具体实施中，采用小组学习的方式，培养学生的合作意识；引导全班同学一起探索、交流与讨论，在激发了学生的学习热情的同时，获得知识的提升．
15.2整式的乘法(2)
教学目标:
①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点与难点
重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学设计
复习引新
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n=amn(m，n都是正整数)
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n=anbn(n为正整数)
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．练一练
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．
创设情境引入新课
问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗
注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢 学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么 )
在此处再问学生更加规范的书写是什么 应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知
1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗
学生独立思考，小组交流．
注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
2．试一试：
类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算例1教科书第173页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩教科书第174页练习2
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
深入探究
1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．
2．试一试计算：2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教科书第174页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
小结
课外巩固
1．必做题：教科书第177页习题15.2第3、4、6题
2．备选题：
(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______
(2)计算：(a3b)2(a2b)3
(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)
(4)计算：
设计思想
单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法．因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位．所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项武相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力．因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，将新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15.2整式的乘法(3)
教学目标
①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点与难点
重点：多项式与多项式相乘．
难点：多项式与多项式相乘．
教学设计
复习引新
1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．
2．练一练：教科书第175页练习1、2
我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积 用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．
学生独立思考后交换各自的解法：
方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．
方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：
am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．
(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．
探究新知
引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．
进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．
1．做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
2．讲一讲
让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．试一试
例1 教科书第176页例6
教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
例2先化简，再求值：
(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6
4．练一练
教科书第177页练习1
深入探索
1．试一试
例3计算：(x+2)(x-3)
注：让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．
2．想一想问：结果中的x2，-6是怎样得到的 学生口答．继续完成教科书第177页练习2
问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗
(1)学生交流各自的发现．
(2)结合教科书第177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题．
3．练一练
(1)计算(口答)：
①(x+2)(x+3)；
②(x-1)(x+2)；
③(x+2)(x-2)；
④(x-5)(x-6)；
⑤(x+5)(x+5)；
⑥(x-5)(x-5)；
(2)口答：教科书第178页习题15.2第12题．
4．用一用
例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少
小结
课外巩固
1．必做题：教科书第178页第6、7、8、9、10、11题．
2．备选题：
(1)计算：(x+2y-1)2
(2)已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
(3)小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形
设计思想
本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”教学中充分利用直观的，几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bnam+an，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一．然后在性质推导中把(m+n)看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：整体思想．在教学过程中，学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15.3 乘法公式
15.3.1平方差公式
教学目标
①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．
③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点与难点
重点：平方差公式的推导及应用．
难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备
卡片及多媒体课件
教学设计
引入
同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：
探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗
(1)(x+1)(x-1)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么 让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例
再举几个这样的运算例子．
注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+b)(a-b)=
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．
注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．
概括
平方差公式及其形式特征．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．
应用
教科书第180页例1运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
填表：
(a+b)(a-b) a b a2—b2 最后结果
(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22
(b+2a)(2a-b)
(-x+2y)(-x-2y)
对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．
(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．
(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．
教科书第180页例2计算：
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．
巩固
教科书第18l页练习1、2
练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．
解释
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗
多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．
注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．
(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．
小结
谈一谈：你这一节课有什么收获
注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．
作业
1．必做题：教科书第184页习题15.3第1题
2．选做题：计算：
(1)x2+(y-x)(y+x)
(2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)
(4)(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正
(1)(a-4)(a+4)=a2-4
(2)(2x+5)(2x-5)=2x2-25
(3)(-a-b)(a+b)=a2-b2
(4)(mn-1)(mn+1)=mn2-1
注：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
设计思想:
《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人．教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新．”在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用．自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习．
在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心．在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境．(2)促进学生发展是活动的目的．数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点．因此，本节课我组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展．
1 5．3．2完全平方公式
教学目标
①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．
②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．
③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．
难点：公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备
投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学设计
引入
同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：
(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．
探究
计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
(2)(m+2)2=
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
(4)(m-2)2=
注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．
举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+6)2，(a-b)2．
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．
概括
完全平方公式及其形式特征．
注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释：(a-b)2={a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
(3)对公式(a-b)2=a2-2ab+b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一
应用教科书第182页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-)2
引导学生用如下的填空形式完成例3：
解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，
(2)∵(y-)2是__与__和的平方，
注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．
(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m2，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．
教科教科书第183页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．
巩固
教科书第183页练习1、2
练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。
解释
(1)现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
(2)你能根据下图(教科书第182页图15.3-3)说明(a-b)2=a2-2ab+b2吗
第(1)小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快 第(2)小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)= a2-2ab+b2.
(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．(2)此处将教科书的图15.3-2改为由学生自主拼图得到公式，是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法，利用这个拼图游戏，可进一步促使学生关注几何与代数的联系，增进学生的认知和对公式的记忆．(3)教科书的图15.3-3比较难读懂，可引导学生合作交流得出代数恒等式．
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么
组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
注：前两对算式可通过引导学生复习“互为相反数的两个数的同次偶次幂相等”得出结论，后面一对算式由于前面学习的(ab)2=a2b2等公式的负迁移作用，学生常出现(a-b)2=a2- b2、(a+b)2=a2+b2等错误，教学时有必要辨析．
拓展
教科书第184页例5运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2
讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中-2y+3=-(2y-3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．
注：在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
(1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力．
(2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想．其中第二小题的结果特征明显，可要求部分学有余力的学生与完全平方公式联系起来记忆，作为一个新的乘法公式．
小结
谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识 它与平方差公式有什么区别和联系
梳理知识，形成体系．
作业
1．必做题：教科书第185页习题15.3第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)；第三大题的(2)；第四大题．
2．选做题：教科书第185页习题15.3第二大题的(2)、(6)；第三大题的(1)、(3)、(4)；第六大题．
3．备选题：(1)运用乘法公式计算：
(D(1-2m)(-1-2m)； ②(x-y)(y-x)；
③(-3a-b)(3a+b)； ④(2x-1)2(2x+1)2．
书本上有关完全平方公式的习题量较多，层次也比较明显，故从中筛选出必做题与选做题，以满足不同程度的学生的学习需要．
备选题答案： (1)①4m2-1 ②-x2+2xy-y2 ③-9a2-6ab-b2 ④16x4-8x2+1
(2)阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2等图形的面积表示：
图1 图2 图3
①请写出图3所表示的代数恒等式；
②试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2；
③请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的图形．
(2004年山西临汾中考试题)
①(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2：
②只要几何图形符合题目要求即可．
③按题目要求写出一个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等式相对应的平面几何图形即可．
设计思想
本节课是在学习了《平方差公式》之后进行的，学习的方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也较多，所以对课堂教学的组织要求就更高．所以在设计活动时，紧紧围绕着“完全平方公式如何得到和应用”这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出了不同的要求，使知识层层深入，环环紧扣．
波利亚指出：“学习任何东西，最有效的途径是自己去发现．”布鲁纳也认为“学习者在一定的情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西”．因此，在教学设计时注意着力于改变学生单纯地依赖模仿与记忆的学习方式，积极引导他们自主探索与合作交流，更好地掌握重点和突破难点．同时小组交流——合作学习能增强学生学好数学的信心，使他们掌握更多的学习方法，并培养学生的团队精神与合作精神．合作学习有助于因材施教，可以弥补一个教师难以面向有差异的众多学生教学的不足，从而真正实现使每个学生都得到发展的目标．
15.4整式的除法
15.4.1 同底数幂的除法
教学目标
①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法则、公式的简洁美与和谐美．
教学重点与难点
重点：同底数幂的除法法则．
难点：同底数幂的除法法则_的推导．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
教科书第187页问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片 你是怎么计算的
该问题提出后，教师可以采取由学生个人独立思考完成，小组内交流，继而全班交流的方法，鼓励学生勇于利用已学知识解决实际问题，善于将陌生问题转化为熟悉问题．这里还应鼓励算法的多样化，同时强调算理的叙述．
注：教科书从实际问题引入同底数幂的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系．增加设问：“你是怎么计算的”既可促使学生重视算理，也可培养他们善于思考和小结的学习习惯．
探究新知根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律
注：教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底数幂的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可引导学生运用幂的意义和分数的约分对此加以说明．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．
归纳法则
一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
讨论为什么这里规定a≠0
应用新知
例1 计算：
(1)x8÷x2； (2)a4÷a；(3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4．
对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导．计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则．
注：在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题．
巩固新知
①你问我答：自主编题，同桌互答
②教科书第189页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行．
注：抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．
再探新知分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论 (1)32÷32=( )；(2)103÷103=( )；(3)am÷am=( )(a≠0)．
规定：
a0=1(a≠0)．
即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
注：使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0=1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数幂的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．并使学生体会：数的概念往往是由于运算的需要而扩展，概念扩展的结果又往往带来运算法则、性质在更大范围的适用，将法则扩展后的形式写出正是基于这个考虑．
解决问题1．教科书第189页练习3
注：可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生．
(1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果，可使他们获得成就感，树立学好数学的信心．
(2)列举实际问题中的例子，要求稍高，可以让学生合作完成，教师可先示范拟题举例．
2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子．
小结
回顾填写课堂评价表(见附页)
注：评价表的填写，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.4第一大题(1)、(2)、(3)；
2．选做题：教科书第193页习题15.4第七大题
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正
(1)(-xy)6÷(-xy)2=-x4y4
(2)62m+1÷6m=63=216
(3)x10÷x2÷x=x10÷x=x10
注：每节课后的练习坚持分层的原则，可以更好地调动各个层次学生的学习热情，使他们乐于完成．
设计思想
回顾整节课的设计，我主要着力于以下三个方面：
1．关于教材处理：为了给学生尽可能多地提供参与活动的机会，在本节课中主要做了这些努力：
(1)通过“你是怎么算的”“探究新知”两个活动，吸引学生参与活动；
(2)通过“你问我答”“再探新知”两个活动，鼓励学生主动参与活动；
(3)通过“解决问题”“填写评价表”两个活动，促进学生参与活动．
2．关于教与学方法的选择：在设计中始终关注：如何认真组织，让学生在丰富的活动中探索、交流与创新，因此我选择了“引导一发现教学法”，具体做法如下：
(1)应用乘除互逆、类比分数的思想，引导学生独立思考、小组协作，完成对同底数幂相除法则的自主建构，突出代数推理能力的养成；
(2)加强应用性，通过“情境引入”“解决问题”两个环节，密切同底数幂除法与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出解决实际、问题的能力的培养．
3．关于评价：在活动中注重运用态势、语言对学生进行即时性评价，在评价表的设计中安排多维评价：既关注学生合作交流的意识与能力、也关注学生数学思维能力与发展水平、还关注学生发现问题和解决问题的能力．
附：评价表(说明：在等级栏内打“√”)
内 容 自我评价 小组评价
优 良好 需加油 优 良好 需加油
能把自己的想法与他人分享
能认真倾听他人的想法、见解
会推导同底数幂的除法法则
会正确进行同底数幂的除法运算
能用同底数幂的除法解决实际问题
本节课你的独特见解
本节课你还有疑惑的问题
你对老师的评价和建议
15.4.2整式的除法
教学目标
①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．
②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点与难点
重点：整式除法的运算法则及其运用．
难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
教科书第189页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．
探究新知
(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗
8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2．
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗
注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．
归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．
应用新知
例2 计算：
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)-5a5b3c÷15a4b．
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
注：单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意，这些对刚刚接触整式除法的学生来讲，难免会出现照看不全的情况，所以更应督促学生细心解答问题．
巩固新知 教科书第191页练习1及练习2．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
注：在独立解题和同伴的相互交流过程中让学生自己去体会法则、掌握法则，印象更为深刻，也有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．
再探新知计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a2+ab)÷a；(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．
注：教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑．
归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
你能把这句话写成公式的形式吗
注：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．
解决问题
教科书第192页例3 计算
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．
注：通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．
巩固新知教科书第192页练习利用投影仪反馈学生解题过程．
注：本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．
小结
回顾填写课堂评价表(见附页)
注：评价表的填写，可以使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.4第1题(4)；第2题；第3题；第4题；第5题；第6题．
2．选做题：教科书第193页习题15.4第8题
3．备选题：下列计算是否正确 如不正确；应怎样改正
(1)-4ab2÷2ab=2b (2)(14a3-2a2+a)÷a=14a2-2a
注：易错题、改错题可以培养运算能力，加深对法则的理解．
设计思想
《数学课程标准》强调：要让学生经历知识的形成与应用的过程．通过课堂学习，我们不应只关心学生记住了多少性质，背出了几个公式，更应关注的是学生是否参与了知识的发现、形成过程，并从中体验成功的喜悦，掌握学习策略，发展能力．所以本节课我采用“自主探究性学习”．“自主探究性学习”是以学生自主探究为主的教学方式，在实践中我认为这样一些内容可以采用此教学方式：
1．规律的发现 2．方法的寻找 3．开放性的问题 4．知识的形成过程．本课的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，继而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构(熟悉分数的约分和幂的意义)基础上，建构整式的除法法则．同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率．
附：评价表(说明：在等级栏内打“√”)
内 容 自我评价 小组评价
优 良好 需加油 优 良好 需加油
会推导单项式除以单项式的运算法则
会正确进行单项式除以单项式的运算
会正确进行多项式除以单项式的运算
能用代数形式概括多项式除以单项式的法则
本节课你所学到的数学方法
你认为在整式除法运算中应注意的问题
本节课你还有疑惑的问题
15.5 因式分解
15.5 因式分解(1)
教学目标
①了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．
②会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．
③会利用因式分解进行简便计算．
④通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识．
教学重点与难点
重点：因式分解的概念．
难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．
教学准备
要求学生回忆整数的质因数分解的方法．
教学设计
问题讨论(探究)引入
同学们，我们先来看下面2个问题：
1．630能被哪些数整除，说说你是怎样想的
2．当a=101,b=99时，求a2-b2的值．
注：对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a=101,b=99代人进行计算，但如果应用平方差公式先把a2-b2变形成(a+b)(a-b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁．
通过对上面2个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．
从质因数的分解看，为了使运算更加简便和准确有时先把多项式进行变形再代入求值．这样的两个题学生都容易接受．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识．也渗透着数学中的类比思想．
探究
教科书第194页的探究题．
注：要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．
探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．
提出因式分解的概念．
注：利用书中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的2种不同的变形，并强调它们的特点．
练习
下列由左到右的变形，是否因式分解，为什么
1．(x+2)(x-2)=x2-4
2．x2-4=(x+2)(x-2)
3．x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
注：通过这个练习强化因式分解的概念．
因式分解方法研究
1．提公因式法
研究多项式：ma+mb+mc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．
注：公因式的概念是提公因式法的基础，必须予以重视．
让学生体验： ma+mb+mc=m(a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗
注：要说明公因式提出后，另一个因式是如何确定的．
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式
分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式 从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．
注：例1是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解，要让学生清楚地知道具体的方法和步骤．
练习
用提公因式法分解因式:1．3mx-6nx2 2．4a2b+10ab-2ab2
注：通过练习熟练和巩固提公因式法分解因式．
例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔
注：例2中公因式可以是多项式,这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这是对公因式概念的深入理解．这里隐含着换元的思想，教师应正确地讲解．
细观察从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c，再用提公因式法进行分解．
例3计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12
注：让学生观察并分析怎样计算更简单．
例3是因式分解在计算中的应用，学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识．
比较归纳说说例1例2和例3的公因式有什么不同
注：通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因式通俗地说就是多项式中的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从数、相同字母、相同字母的个数(即最低次数)这几个方面进行考虑，这个“东西”有时还可以是一个多项式．
巩固练习
1．做教科书第196页的练习．
建议：这是提公因式法的第1次练习，要求学生认真思考并完成，然后详细分析解答中的错误并认真改正．第1题中的第3小题的公因式如何确定要特别说明．
2．讨论：怎样检查因式分解是否正确 提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系
小结提高
1．举一个例子说说什么是因式分解．
2．什么是多项式的公因式 确定公因式该从哪几个方面进行考虑
3．说说提公因式法的一般步骤．
(1．确定提取的公因式 2．用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式 3．把多项式写成这两个因式的积的形式)
对因式分解概念的理解是本课的重点，公因式的确定和提公因式的具体方法是本课的关键，所以对知识的小结可从这些问题入手带领学生做深入的思考．
布置作业
1．必做题：教科书第200页习题15.5第1题，第4题的第1小题，第6题；
2．选做题：教科书第201页第7题；
3．备选题：(1)下列提公因式法分解因式是否正确，为什么 若不正确请写出正确答案．
①-25ax2-20a2x2=-5ax(5x-4ax)
②2a(x-y)3-3b(y-x)2=(x-y)2[2a(x-y)+3b]
(2)用提公因式法分解因式
①a2b-ab2;②-x2+xy;③-2p2(p2+q2)+6pq(p2+q2);④5a(x-y-z)-2bx+2by+2bz.
备选题答案
(1)①不正确 应该是：-5a2x2(5+4a)；②不正确 应该是：(x-y)2(2ax-2ay-3b);
(2)①ab(a-b)；②-x(x-2y)；③-2p(p2+q2)(p-3q)；④(x-y-z)(5a-2b)
设计思想
1．本节课是因式分解的第一节课，主要是建立因式分解的概念和用提公因式法进行因式分解．由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，是数学中对式的基本运算内容之一，也由于因式分解的能力在具体应用中会得到不断的提高，所以现在对因式分解的题目的难度不宜过高．
2．因式分解的结果和目的类似于质因数的分解，所以本课开始时“用630能被哪些数整除，说说你是怎样想的 ”进行引入，从知识的迁移角度来讲比较自然，学生也容易接受，对因式分解概念的建立很有好处，设计“当a=101,b=99时，求a2-b2的值．”的问题，是为了使学生认识到对多项式进行变形会给运算带来简便，从而增加对因式分解重要性的认识．
3．本课在提公因式法分解因式的教学中，要让学生理解好公因式的概念，这样有利于公因式的确定，对准确迅速地分解因式很有好处；对公因式的理解要到位，要全面，这里渗透着“整体”的思想，能把一个大的“东西”，繁的“东西”，难的“东西”看成一个小的简单的容易的“东西”是一种重要的能力和素质，所以在公因式的教学中我们教师应该有这样的观念．
4．对于有关概念的建立和提公因式方法的研究，要尽可能地让学生进行讨论和辨析．
15.5因式分解(2)
教学目标
①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点与难点
重点：运用公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备
要求学生对平方差公式和完全平方公式准确理解．
教学设计
问题思考(探究)引入
问题：1．什么叫因式分解
问题1使学生回忆因式分解的概念．
注：对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．
2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗 这两个多项式有什么共同的特点
问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行因式分解．
注：对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即：(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就是：
a2-b2=(a+b)(a-b)
注：要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．
利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差，这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、口以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)样的错误．
例1分解因式：(1)4x2-9;(2)x2-0.0ly2;(3)(x+p)2-(x+q)2
分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．
注：能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了．
平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．
因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识．
例2分解因式
(1)x4-y4 (2)a3b-ab
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解．
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
注：练习题要培养学生的观察能力和审题习惯．
巩固练习
做教科书第198页的练习．
第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注：注意要将因式分解进行到不能再分解为止．
用完全平方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．
问题探究·研究性学习
问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗 这两个多项式有什么特点
建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来．
注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会．
把多项式向公式的方向变形和转化．
例3分解因式
(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2
注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化．
例4分解因式
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公式的形式和特点上进行比较．(可把a+b看作一个整体，设a+b=m)
第2小题注意渗透换整体和换元的思想．
练习：教科书第200页的练习题．
小结提高
1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．
3．谈谈多项式因式分解的注意点．
注：对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．
布置作业
1．必做题：教科书第200页习题15.5第2、3题，第4题的第2小题，第5题，第9题；
2．选做题：教科书第201页第8、10题；
3．备选题：
(1)下面的因式分解是否正确，为什么 若不正确请写出正确答案．
①m2+n2=(m+n)2;②m2-n2=(m-n)2;③a2+2ab-b2=(a-b)2;④-a2-2ab-b2=-(a-b)2
(2)分解因式①x3-9x，②(a2+b2)2-4a2b2,③(y2-6)2-6(y2-6)+9
(3)用简便方法计算：
①;
②19992-3998×1998+19982;③2992+599
备选题答案
(1)①不能分解；②不正确，应是(m-n)(m+n)；③不能分解；④不正确，应是-(a+b)2．
(2)①x(x+3)(x-3)
②(a+b)2(a-b)2
③(y+3)2(y-3)2
(3)①255;②1
③90000
设计思想
本节课是因式分解的第一节课，主要是研究用平方差公式和完全平方公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法，教学设计有如下的特点：
1．由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础．课题的引入简单而紧扣主题．
2．在对因式分解的概念有较深刻理解的基础上，学习应用平方差公式和完全平方公式时，应把重点放在帮助学生观察和分析这两个公式的特点上来，弄清他们的特点是能否正确分解的关键，所以设计中突出体现了对公式的形式化的理解，教师应把公式中的字母看成一个“东西”，这个“东西”就是一个整体，体现着换元的思想，教学中要应用不同的符号体现这个思想．
3．多项式的因式分解方法多，技巧性也较强，本书只介绍最基本的因式分解方法，但对因式分解的思考方向和步骤有较强的统一性，一般是先提公因式再用公式法或其他的方法，对这些方法的综合应用是教学的难点之一，在教学中要注意渗透这些认识和处理问题的策略．
4．本课考虑到应用完全平方公式和平方差教学的相似性，所以把这两个公式放在一节课来学习，对学生来说增加了难度，实际教学中要充分认识到这一点，可视学生的实际情况安排教学内容，但对于完全平方公式要以学生的自主学习为主，教师要把精力放到适当的指导和总体方向的把握上来．
第15章能力测试题
(时间60分钟 满分100分)
一、精心选一选(每小题5分，共30分)
1．下列运算错误的是 ( )
A．x2+2x2=3x2 B．2x3(-x2)=-2x5 C．(x2)3=x5 D．6x2÷2x2=3x2．
2．按下面图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ( )
A．6 B．21 C．231 D．156
3．若x2+kx+9是完全平方式，则k等于 ( )
A．3 B．-6 C．6 D．6或-6
4．下列分解因式正确的是 ( )
A． B．3x3+2x2+x=x(3x2+2x)
C．x2-2xy-y2=(x-y)2 D．9m2-1=(9m+1)(9m-1)
5．如图，在矩形ABCD中，两个阴影部分都是矩形，依照右图中标出的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )
A．bc-ab+ac+c2 B．a2+ab+bc-ac
C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab
6．用火柴棒按如下图所示的方式搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒……按此规律搭下去，搭n个三角形需要火柴棒根数是 ( )
A．3n B．2n+1 C．n2+2n-1 D．n2+n+1
二、耐心填一填(每小题5分，共20分)
7．将-a2表示成若干个同底数幂的和：__________
8．如图是用4张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：________
9．分解因式：x4-81y4=_______________
10．若多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，则加上的单项式可以是______．(写出一个即可)。
三、细心算一算(共50分)
11．(1)(5分)计算：[4x2y2(x2-3xy)-(-2xy)3]÷2x2y2
(2)(6分)化简并求值：2(x-5)(x+1)+(x-3)2-(x-3)(x+3)，其中x=-1．
(3)(4分)利用乘法公式计算：20052-2004×2006
(4)(5分)写出一个三项式(要求：能先用提取公因式法分解，然后用公式法分解)，并将它分解因式．
12．(8分)做游戏，学数学：老师在课堂上给同学们出了一道猜数游戏题．她让同学们在心里想好一个不是0的数，然后按以下顺序进行计算：
(1)把这个数减去3后再平方；
(2)然后再减去9．
(3)再除以所想的那个数，你得到一个商．
最后把你所得到的商告诉老师，老师会立即猜出你所想的数，你能说出这其中的奥妙吗 请列式说明．
13．(10分)(1)已知x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么x=2时，求代数式ax3+bx+1的值．
(2)矩形一边长是5a+2b，另一边长比它小a-b，求矩形面积．
四、(12分)请你来推理：
分别计算下列各数的平方，并填在横线上：
52=25
152=(1×10+5)2=100×1×2+25;
252=( + )2= +25;
352=( + )2= + ;
将你发现的规律用仅含n的式子表示，并给出证明．
第15章能力测试题参考答案
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．-2a2+a2等
8．(a+b)2-4ab=(a-b)2 9．(x2+9y2)(x+3y)(x-3y)
10．-1或-4x2或4x4或4x或-4x
11．(1)2x2-2xy (2)原式=2x2-14x+8=24 (3)1 (4)略
12．设所想的数为a(a≠0)，根据题意，得：[(a-3)2-9]÷a=a-6，
则a-6即为告诉老师的数，老师只需把该数加上6，即可得到a．
13．(1)-4 (2)20a2+23ab+6b2
14．2×10，5，100×2×3，(3×10+5)2，100×3×4，25，(10n+5)2=100n(n+1)+25． 证略．
评价建议与测试题
评价建议
1．本章内容包括：整式及其相关概念，合并同类项和整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的乘法(单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式)，乘法公式(平方差公式、完全平方公式)，整式的除法(单项式除以单项式、多项式除以单项式)，因式分解(提公因式法、公式法)．其中整式的四则运算、因式分解的两种基本方法是教学的重点；整式的四则运算的灵活计算，因式分解的方法多，变化技巧性较高是教学的难点．确定评价内容时，应注意教学的主要内容，注意设计情景问题，使问题生活化，趣味化，便于发展学生的符号感和数感及观察几何图形的能力，并突出重点．
2．在设计测试题时，要注重对学生整式四则运算和因式分解的基本计算技能的考察；要注重培养学生的数感和符号感及空间观念；要注重实际问题的设计，要以问题情境——数学模型——求解模型为主要线索呈现整式及其运算和因式分解的内容，注重从问题情境中寻求数量关系，运用符号进行表示的过程；要注重利用数形结合的思想探究问题中包含的规律；要注意渗透数形结合的思想和化归的思想．
3．除了基本的试题测试以外，可以考虑设计形式多样的检测方式．如：为了检测学生探究与合作能力，可设计一些开放性、探究性的问题，以小组合作学习的形式开展课内外调查、分析、探究和评价．还可以开展教材中的“数学活动”，从而检测学生的分析、推理能力和开展数学活动的能力．
测试题
(时间：45分钟，满分：i00分)
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．下列各单项式中，与2x4y是同类项的为( )
(A)2x4． (B)2xy． (C)x4y． (D)2x2y3．
能理解同类项的含义，并会辨别同类项．
2．(x-a)(x2+ax+a2)的计算结果是( )
(A)x3+2ax2-a3． (B)x3-a3． (C)x3+2a2x-a3． (D)x2+2ax2+2a2-a3．
运用多项式乘以多项式的运算性质计算．
3．下面是某同学在一次测验中的计算摘录：
①3a+2b=5ab; ②4m3n-57mn3=-m3n； ③3x3·(-2x2)=-6x5；④4a3b÷(-2a2b)=-2a; ⑤(a3)2=a5；⑥(-a)3÷(-a)=-a2．其中正确的个数有( )
(A)1个．