四川省眉山市东坡区2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

四川省眉山市东坡区 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆心为( 3,2)且过点 (1, 1)的圆的方程是( )
A. ( 3)2 + ( 2)2 = 5 B. ( + 3)2 + ( 2)2 = 5
C. ( 3)2 + ( 2)2 = 25 D. ( + 3)2 + ( 2)2 = 25
2 2
2.平面内，动点 的坐标( , )满足方程√ ( + √ 3) + 2 + √ ( √ 3) + 2 = 2√ 6，则动点 的轨迹方程
为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
24 21 6 3 6 9 9 6
2 2
3.已知椭圆 + = 1(0 < < 8)的左、右焦点分别为 1， 2，点 是椭圆上一个动点，若 1 2的面积16
的最大值为3√ 7，则 =( )
A. √ 7 B. 3 C. 9 D. 7
1
4.在如图所示的电路图中，开关 , , 闭合与断开的概率都是 ，且是相互独立的，则灯灭的概率是( )
2
1 3 5 7
A. B. C. D.
8 8 8 8
5.已知直线 1: 2 + 1 = 0与直线 2: + ( 1) 1 = 0，则 = 2
′′是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
6.已知直线 1: = 2 + 2过椭圆 ； 2 + 2 = 1( > > 0)的一个焦点，与 交于 ， 两点，与 1平行的直
4
线 2与 交于 ， 两点，若 的中点为 ， 的中点为 ，且 的斜率为 ，则 的方程为( ) 9
2 2 2 2 2 2 5 2 5 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
4 3 9 5 9 8 36 16
2 2
7.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 上一点 满足 1 ⊥ 2， 为线段 2的
7
中垂线与 的交点，若△ 1的周长为 ，则 的离心率为( ) 2
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√ 6 √ 10 √ 6 √ 3
A. B. C. D.
4 4 3 2
8.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为棱 1的中点，点 为面 1 1内一点， 1 ⊥ ，则( )
A. = 2 B. 2 = 1 1 1 1 1 1
C. 2 = 3 D. 3 1 1 1 1 1 = 2 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.若椭圆 + = 1的 焦距为2，则 =( )
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1内一点 (1,2)，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 为线段 的 中点，则下列结
4 8
论不正确的是( )
A. 的焦点坐标为(2,0)，( 2,0) B. 的长轴长为2√ 2
4√ 3
C. 直线 的方程为 + 3 = 0 D. | | =
3
11.已知直线 : + 1 = 0和圆 : 2 + 2 4 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 存在 ，使得直线 与圆 相切
B. 若直线 与圆 交于 , 两点，则| |的最小值为2√ 2
1
C. 对任意 ，圆 上恒有4个点到直线的距离为
2
D. 当 = 2时，对任意 ∈ ，曲线 : 2 + 2 + (2 4) = 0恒过直线 与圆 的交点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆 : 2 + 2 4 + 3 = 0和点 (3,2)，则过点 的⊙ 的切线方程为 ．
13.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个
小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
2 2 1
14.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，左焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得 3
16
的线段长为 ，则椭圆 的标准方程为 ．
3
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 的半径为2，圆心在第一象限，且与直线4 3 = 0和 轴都相切．
(1)求圆 的方程．
(2)过 (3,4)的直线 与圆相交所得的弦长为2√ 3，求直线 的方程．
16.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 : + = 1．
36 27
(1)若双曲线以椭圆 的两个顶点为焦点，且经过椭圆 的两个焦点，求双曲线的标准方程；
(2)求过点(2√ 2, 3)，焦点在 轴上且与椭圆 有相同的离心率的椭圆方程．
17.(本小题12分)
1
已知圆 过原点 ，圆心在射线 = ( ≥ 0)，且与直线
2 1
: + 2 + 5 = 0相切．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (1,0)的直线 与圆 相交于 ， 两点， 是 的中点，直线 与 1相交于点 .若 = 1,求直线
的方程．
18.(本小题12分)
如图1，在△ 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， = = 2√ 5， = 4.将△ 沿
折起到△ 1 的位置，使得平面 1 ⊥平面 ，如图2．
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(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)求直线 1 和平面 1 所成角的正弦值；
√ 5
(3)线段 1 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 若存在，求出
1 的值；若不存在，说
5 1
明理由．
19.(本小题12分)
2 2 2√ 3
已知 1、 2分别是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 ( , √ 2)在椭圆 上，且 1 3 2的面
积为√ 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 = + 1与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点， 轴上是否存在点 ，使得∠ = ∠ ，若
存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设 为椭圆 上非长轴顶点的任意一点， 为线段 1 2上一点，若 1与 2的内切圆面积相等，求
证：线段 的长度为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 3或3 4 1 = 0
3
13.【答案】
5
2 2
14.【答案】 + = 1
9 8
15.【答案】解：(1)
∵圆与 轴相切，且半径为2，圆心在第一象限，
∴圆心 的坐标可设为( , 2)， > 0，
又圆与直线4 3 = 0相切，
|4 6|
∴ = 2，解得 = 4，
√ 42+( 3)2
∴圆 的方程为( 4)2 + ( 2)2 = 4．
(2)
设直线 的方程为 4 = ( 3)，即 + 4 3 = 0，
2
2√ 3
易知圆心(4,2)到 的距离为√ 22 ( ) = 1，
2
|4 2+4 3 |
∴ = 1，
√ 2 +( 1)2
3
解得 = ，∴ 的方程为：3 + 4 25 = 0；
4
当 斜率不存在时， 方程为 = 3，此时圆心到 的距离为1，符合条件；
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综上所述， 的方程为3 + 4 25 = 0或 = 3．
16.【答案】解：(1)在椭圆 中， = 6， = 3√ 3， = √ 2 2 = 3，且椭圆 的焦点在 轴上，
2 2
设所求双曲线的标准方程为 2 2 = 1( 1 > 0, 1 > 0)，焦距为2 1， 1 1
由已知条件可得 1 = = 6， 1 = = 3，∴
2 2
1 = √ 1 1 = 3√ 3，
2 2
因此，所求双曲线的标准方程为 = 1；
9 27
1
(2)椭圆 的离心率为 = = ，
2
2 2 1
设所求椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1( 2 > 2 > 0)，焦距为2 2，则
2 = ，
2 2 22
2
2 2
2
所以， 2 = 2 2，∴ 2 = √ 2 2 = √ 3 2，则所求椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1， 4 2 3 2
8 9
将点(2√ 2, 3)的坐标代入所求椭圆的方程得 2 + = 1，解得 4 3 2 2
= √ 5，
2 2
2 2
因此，所求椭圆的标准方程为 + = 1．
20 15
1
17.【答案】解：(1) ∴圆心 在射线 = ( ≥ 0)上，
2
设 (2 , )，( ≥ 0)，
又圆 过原点 ，且与 1: + 2 + 5 = 0相切，
|2 2 +5|
∴ = ，即√ 4 2 + 2 =
√ 5
即√ 5| | = √ 5，∴ | | = 1．
∵ ≥ 0，∴ = 1，
∴ (2, 1)，半径 = √ 5，
∴圆 的方程为( 2)2 + ( + 1)2 = 5．
(2)①若 的斜率不存在，则 : = 1，
代入 + 2 + 5 = 0，得 = 3，即 (1, 3)．
代入( 2)2 + ( + 1)2 = 5，得 1 = 1， 2 = 3．
即 (1,1)， (1, 3)，∴ (1, 1)．
∵ (1,0)，∴ = (0, 3)， = (0, 1)，
∴ = 3 ≠ 1，不合题意．
②若 的斜率存在，设 : = ( 1)，
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2 5
= ( 1) = 1+2 2 5 6 由{ ，得{ ，即 ( , )，
+ 2 + 5 = 0 6 1+2 1+2 =
1+2
∵ 是 的中点，∴ ⊥ ，即 ⊥ ．
∴ = ( + ) = ．
又 = (1, 1)，
6 6
= ( , )，
1+2 1+2
6 6 6 6
∴ = + = = 1，
1+2 1+2 1+2
7
解得 = ．
4
7 7
∴ 的方程为 = ．
4 4
18.【答案】解：(1)
∵ = ，且 ， 分别为 ， 的中点，
所以 = ，即 1 = 1 ，又 为 的中点，
所以 1 ⊥ ，
又平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ，
所以 1 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以 1 ⊥ ．
(2)
过点 作 ⊥ 交 于点 ，
1
因为 = = 2√ 5， = 4，所以 = √ (2√ 5)2 22 = 2，
2
1 = = 2， = = 1， = = 2，
以点 为原点，分别以 , , 1方向为 , , 轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则 1(0,0,2)， (2,2,0)， (2, 2,0)， (0, 1,0)，
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1 = (2, 2, 2)， 1 = (0, 1, 2)， 1 = (2,2, 2)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 2 2 2 = 0则有{ ，即{ ,
1 = 0
2 = 0
令 = 1，则 = 2, = 1，则 = ( 1, 2,1)，
设直线 1 和平面 1 所成角为 ，
| |
则sin = cos ,
1 8 2√ 2
1 = = = ，
| | | 1 | 2√ 3×√ 6 3
2√ 2
所以直线 1 和平面 1 所成角的正弦值为 ． 3
【小问3详解】

设线段 1 上是否存在点 ，且
1 = (0 ≤ ≤ 1)，
1
1 = (0,1,2)， = (0,4,0)，
则 = + 1 1 = (2 , 1 + 2 , 2 2 )，
√ 5
因为直线 和 所成角的余弦值为 ，
5
| |
则|cos
√ 5
, | = = ，
| | | | 5
|4+8 | √ 5
即有 = ，
5
√ 2 2 2 4 +(1+2 ) +(2 2 ) ×4
解得： = 0或 = 3(舍)
√ 5
即点 与点 1重合时，直线 和 所成角的余弦值为 ， 5

此时： 1 = 0．
1
19.【答案】解：(1)设椭圆 的焦距为2 ( > 0)，因为 1 2的面积为√ 2，所以 = √ 2 = 1，设
2 2
椭圆 的方程为
2
+ 2 = 1， 1
2√ 3 4 2 1
将 ( , √ 2)代入方程得 2 + = 1 3
4 13 2 + 4 = 0 2 2
3 3 2 1 1
= 4， 2 = ， 3
2 2
易知 > = 1，所以 = 2，因此，椭圆 的方程为 + = 1；
4 3
(2)存在这样的点 为(0,3)，下面证明：
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， (0, )，所以要使得∠ = ∠ ，
+1 +1 +
即 + = 0
1 + 2 = 0 1 + 2 = 0 2 + (1 ) 1 2 = 0①；
1 2 1 2 1 2
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= + 1
联立{ 2 2 2 2 (3 + 4 ) + 8 8 = 0,
+ = 1
4 3
8 8
由韦达定理得 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
3+4 3+4
代入可将①化简为2 + (1 ) = 0，要使得式子关于 恒成立，即此时 = 3，
所以点 (0,3)；
(3)设点 ( 0, 0)， ( , 0) ( 1 < < 1)， = ，
( +1)| |
因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所以 0 =
+1+ 1+
(1 )| 0| 1+ + ，化简得 = 1 ，
1 + 2+ 1 2+
1+ √ (
2 2
0+1) + 0 +
故 = ，
1
√ ( 1)2+ 20 0 +

2 3
2 0+2+
因为 = 3 0
1+
0 ，代入得 =
2 = 0 ．
4 1 0+2+ 4+2
2
2 2
而 2
3
= ( )2 + 2 0 0 20 0 = ( 0 ) + 3 ，( 3)[(4 + 2 )
2 20 ] = 0， 4+2 4
而(4 + 2 )2 20 ≠ 0，所以 = √ 3，即线段 的长度为定值√ 3．
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