2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高一上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高一上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
5.设，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.当时，函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于的不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值
C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是 ．
13.已知，，则 用表示
14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
设函数．
求的最小正周期，图象的对称中心；
求的单调递减区间．
17.本小题分
为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为米的矩形的面积．
求关于的函数；
若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
判断在上的单调性并利用定义法证明；
求在上的最大值．
19.本小题分
现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有且
当时，计算；
证明：，都有；
设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：由题意知，
，
若，则，所以，
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
则的取值范围是．

16.解：
的最小正周期为；
令，，解得，，
故的图象的对称中心为．
令，，
解得，，
故的单调递减区间为，．

17.解：
由题意可知，，
所以，又，所以，
所以．
法一：由，得，
解得，或舍去，所以，
当且仅当时，取得等号．
故小王设计的广告牌是长为米，宽为米的矩形，满足村委会要求．
法二：，
当且仅当，即时等号成立，
此时，
故小王设计的广告牌是长为米，宽为米的矩形，满足村委会要求．

18.解：
因为，所以，即，
因为，所以．
在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，由知在上单调递减，所以；
当时，由知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，．

19.解：当时，．
因，
，
所以．
由新运算可知，
，
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，
所以，则，
所以在上单调递增，则，即
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，，
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则解得
所以，
故实数的取值范围为．

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