2024-2025学年江苏省南通市通州区、启东市、如东县等地区高二上学期期末调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市通州区、启东市、如东县等地区高二上学期期末调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
2.若椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与，则“”是“”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知点为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，圆若圆平分圆的周长，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，若椭圆上存在关于轴对称的两点，，使得为正三角形，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，，则( )
A. 的长轴长为 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦距相同 D. 与的离心率互为倒数
10.已知数列满足，，设其前项和为，则( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，点满足，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，若，则 ．
13.双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为，则双曲线的方程为 ．
14.设数列的前项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，，．
求与
若数列满足，求的前项和．
16.本小题分
已知圆关于直线对称，且两点，在圆上．
求圆的标准方程
直线经过点，且与圆交于，两点若的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
求平面与平面夹角的余弦值
若点在线段上，平面，求的值．
18.本小题分
设数列的前项和为，，．
证明：数列为等比数列
求数列的通项公式，并求数列的最大项
是否存在正整数，，且，使得，，成等差数列若存在，求，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的短轴长为，离心率为，左、右焦点分别为，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线，与椭圆的交点分别为，和，，为坐标原点．
求椭圆的标准方程
设直线，的斜率分别为，．
求的值
若直线，，，的斜率之和为，求点的坐标．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，数列的公比为，
则由
可得
解得或舍，
所以
所以，．
由得，，
设数列的前项和为，
则
．
16.解：连接两点，线段的中垂线方程为，
由，解得
所以圆心，所以半径，
所以圆的标准方程为．
因为的面积，所以．
因为，所以，所以圆心到直线的距离为．
若直线的斜率不存在，则的方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意，舍去．
设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，解得或．
所以直线的方程为或．
17.解：
因为，，
所以．
又平面，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，．
设平面的法向量，则
得取．
平面的一个法向量，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
设，则
因为平面，
所以，即，解得，
所以
18.解：，
，
，，
，
而在中令，又，
，
是首项为，公比为的等比数列．
由得，，
则，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列．
所以，解得．
由，解得，
所以，
所以数列的最大项为．
由，，成等差数列，得．
因为，所以，所以．
又，，
显然，不成立，
，不成立，
所以，若存在，或．
当时，，即，．
当时，，即．
而，
根据数列的单调性，当时，，所以无解．
综上，存在，，使得，，成等差数列．
19.解：由解得
所以椭圆的标准方程为．
设，则，
因为，，
所以，，
则
；
联立直线与椭圆的方程，得
消去，得，
设，，，，
则
因为直线，的斜率存在，所以，，
又因为点不在轴上，所以，，
所以直线，的斜率之和
，
同理，直线，的斜率之和，
所以，
因为直线，，，的斜率之和为，
所以或．
当时，结合，解得．
联立，解得
所以点的坐标为．
当时，结合，解得或，
联立
解得，所以点的坐标为
联立，解得．
所以点的坐标为
综上，点的坐标为，，
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