重庆市长寿中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（含答案）

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重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一期末测试
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知集合，．若，则（）
A. 4 B. 2或2
C. 2 D. 2
3. 已知，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
4. 若且，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
5. 已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
6. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则函数的零点个数为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 为了得到函数的图象，只需（）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度
B. 将函数的图象向左平移个单位长度
C. 将函数的图象向左平移个单位长度
D. 将函数的图象向右平移个单位长度
10. 若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）
A. 是倒数函数
B. 是倒数函数
C. 若在上是倒数函数，则
D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
11. 已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则，，，
B. 设，若，则实数的取值范围为
C. 设，若，则实数的取值范围为
D. 已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________.
13. 已知函数，且，则______．
14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合．
（1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值；
（2）若，求．
16. 设函数.
（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
（2）解关于的不等式；
17. 某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
时间月 1 2 3 4
浮萍的面积 3 5 9 17
现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中均为常数，且.
（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
18. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．
19. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，．
（1）求并证明函数为奇函数；
（2）证明：函数在上单调递增；
（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
重庆市长寿中学校2024-2025学年上学期高一期末测试
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.
【答案】ACD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】 ①. ②.
13. 【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解】
【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解；
（2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解.
【小问1详解】
解：因为集合，且集合A恰有一个元素，
所以，解得；
【小问2详解】
因为集合，且，
所以，，
解得，，
所以，
则．
16.
【解】
【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值.
（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.
【小问1详解】
函数，又有且只有一个元素，
则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
【小问2详解】
依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17.
【解】
分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后计算可求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算可求解.
【小问1详解】
应选择函数模型②.
依题意，得，解得，
所以关于的函数解析式为.
【小问2详解】
，理由如下：
依题意，得，
，
，
，
.
18.
【解】
【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【小问1详解】
对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
【小问2详解】
因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
【小问3详解】
①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
19.
【解】
【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数；
（2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明；
（3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可.
【小问1详解】
因为，
令，则，得；
令，则，得；
，令，
依题意得，即，
所以是奇函数.
【小问2详解】
由得，即，
，，，则，则，
可得，
即，所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
因为，，且函数为奇函数，
则，可知是偶函数，
且，
因为，可得，
因为是偶函数，且，可得，
又因为函数在上单调递增，可得，
因为，则，可知，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：，
可得，解得，且，
所以的取值范围为.
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