人教版数学八年级下册同步练习18.2.1 矩形的判定（含解析）

18.2.1 矩形的判定
一、单选题：
1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（　 ）
A．有三个角是直角 B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且相等 D．一组对边平行且相等，一个角是直角
2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．AB=BC
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（　　　）
A．48 B．24 C．32 D．12
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
二、填空题：
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）
9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．
11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
三、解答题：
14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．
16．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
18．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．
19．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．
(1)求AB与CE之间的距离；
(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
(3)当时，求t的值．
答案
一、单选题：
1．C
【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．
【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；
D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
2．A
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．C
【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵ 矩形ABCD，，，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，
∵，∴∠AOE=∠COE=90°，
∵OE=OE，
∴△AOE≌△COE，AE=CE，
设AE=x，则EC=x，DE=8-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
∴x=5，
∴AE=5，
故选C．
4．D
【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
故选：D．
5．D
【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EFBD，且EF=BD=3．
同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EFGH，FGHE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故选：D．
6．A
【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．
【详解】连接CM，
∵MEAC，MFBC，
∴MEC=MFC=90°,
∵C=90°，
∴四边形ECFM是矩形，
∴EF=CM，
当CMAB时，CM最短，如下图：
当CMAB，
，
∴，
∵在RtABC中，
=，
∴，
∴CM=2.4，
∴CM的最小值是2.4，
∴EF=CM=2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选：B．
二、填空题：
8.AC=BD（答案不唯一）
【分析】根据矩形的判定条件求解即可．
【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
9．三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）
【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形
【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案是三个角是直角的四边形是矩形．
10．
【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．
【详解】解：如图，连接，
分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则，
，
故答案为：．
11．矩形
【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，
∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，
∵∠APQ+∠BPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠APQ＝∠PQD，
∵QN平分∠PQD，
∴∠PQN＝∠PQD，
∴∠MPQ＝∠NQP，
∴PM∥QN，
同理QM∥PN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵∠NPM＝90°，
∴四边形PMQN是矩形．
故答案为：矩形．
12．44
【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
13．6
【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．
【详解】
如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，
∴DP2=36，
∴DP=6．
故答案为6．
三、解答题：
14．（1）证明：∵、，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形．
15．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
16．
（1）
证明：，
，
∵，
，
∴四边形是矩形．
（2）
解：在中，，
，
由（1）已证：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
则的面积为．
17．
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴ AEO≌ DFO，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18.（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19.（1）
解：在中，，，
．
如图，过作于，则由，
得．
，
与之间的距离为2.4．
（2）
，
当时，四边形是平行四边形．
为的中点，
为的中点．
．
（3）
，
，．
为的中点，
，
．
，
四边形为平行四边形．
，．
．
四边形为矩形．
．
在中，，，
．
．