人教版数学八年级下册同步练习18.2.2 菱形的性质（含解析）

18.2.2 菱形的性质
一、单选题：
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．菱形的两条对角线的长分别是和，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知菱形，，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．菱形的周长为，两个相邻的内角度数之比为，则较短的对角线长度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（　　）
A．21 B．65 C．42 D．56
8．如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（ ）
A． B． C． D．4cm
二、填空题：
9．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝_____．
10．如图，在荾形中，对角线，分别为和，于点，则______．
11．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______．
12．如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则______°．
13．如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______．
三、解答题：
14．已知：如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，沿对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．
15．如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
16．如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数．
17．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝5，求：
(1)∠BAC的度数；
(2)AC的长．
18．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于H，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
19．如图，已知菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上．
(1)求点的坐标；
(2)如图，对角线，相交于点，求，的长及点的坐标．
20．在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
(1)如图1，当是线段的中点时，和的数量关系是__________．
(2)如图2，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
答案
一、单选题：
1．D
【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．
【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
2．A
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为和，
∴面积为
故选：A．
3．D
【分析】过点作于点，根据题意求得，进而可得，勾股定理求得，根据菱形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∴，则，
∴，
∴菱形的面积为（cm2）．
故选D．
4．A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，所以x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的长．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的周长为24cm，
∴菱形的边长为6cm，AC⊥BD，∠ABC+∠BCD=180°，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角60°，
∴∠ABO=30°，AB=6cm，
∴最短边为AC，AO=AB=3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故选：A．
5．D
【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标．
【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°，
∵，∠AEO=90°
∴，
∴
∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°，
∴，即
解得：．
∴点A坐标为，
故选：D．
6．B
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
8．B
【分析】根据菱形的性质和周长，求出边长，利用勾股定理，分别求出利用等积法求出即可．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴，
∵，垂足为E，，
∴，
∴，
∴，
∵，即：，
∴；
故选B．
二、填空题：
9．25°
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AF＝BF，由等腰三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝50°，由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，即可求解．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝50°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝25°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝25°，
故答案为：25°．
10．
【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为O，
∵四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
11．48
【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为：48．
12．40
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBF，可得∠BAF=∠BCF，由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
13.
【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：
三、解答题：
14．解：∵菱形花坛ABCD的边长为10m，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝10m，＝，
∴△ABC是等边三角形，，
∴AC＝10m，
设交于点，
∴AO＝5m，
∴BO＝（m），
则BD＝10m，AC＝10m；
花坛的面积为：×10×10（）＝（），
答：两条小路的长分别为10m，10m；花坛的面积为（）．
15．解：在菱形ABCD中，有，且，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠ABC的度数为120°．
16．连接，
∵四边形是菱形，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴△ABE≌△ACF，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，且，
∴
17．
（1）
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，AC平分∠BAD，
∵AB＝BD＝5，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝30°；
（2）
∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC，BO＝OD＝BD＝，BD⊥AC，
在Rt△AOB中，OA＝，
∴AC＝2OA＝．
18．（1）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴
∴
∴
∴．
19.（1），的坐标分别为，，
，，
四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴；
（2）在中，由勾股定理得，，
∵，
，
四边形是菱形，
∴G为AC的中点
．
20.（1）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=60°．
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE．
∵CF=AE，
∴CE=CF，
∴，
∴∠CBE=∠F=30°，
∴BE=EF．
故答案为：BE=EF；
（2）
结论成立，证明如下：
如图，过点E作EG∥BC交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=120°．
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°．
∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，
∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF．
又∵CF=AE，
∴GE=CF．
即在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．