人教版数学八年级下册同步练习18.2.3 正方形（含解析）

18.2.3 正方形
一、单选题：
1．如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
3．如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，把正方形放在直角坐标系中，直角顶点落在第二象限，顶点、分别落在轴、轴上，已知点、，则点的坐标为（ ）
A．（-4,0） B． C． D．
5．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，两直角边分别与OD，OC重叠，当三角板绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）时，两直角边与正方形的边BC，CD交于E、F两点，则四边形OECF的面积（　　）
A．先变小再变大 B．先变大再变小
C．始终不变 D．无法确定
7．如图所示，将一张长方形纸片分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在（在C的右侧），若，则的度数为（　　）
A．76° B．90° C．73° D．88°
二、填空题：
8．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件_____，则四边形AEDF是矩形；若添加条件_____，则四边形AEDF是菱形；若添加条件_____，则四边形AEDF是正方形．
9．如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=________．
11．如图，点E为正方形ABCD边CB延长线上一点，点F为AB上一点，连接AE，CF，AC，若BE=BF，∠E=70°，则∠ACF=_____．
12．如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴、 轴上， 是菱形 的对角线，若 ，，则点 的坐标是 ____．
13．如图，正方形的边长为4，点E在AB边上．四边形也为正方形，设的面积为S，则___________．
14．如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．
三、解答题：
15．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，，且．求证：矩形ABCD是正方形．
16．如图，已知是边长为1的正方形对角线上一点，且．求：
(1)度数；
(2)的长．
17．如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．
18．如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长．
19.如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．
20．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
21．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
答案
一、单选题：
1．D
【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案．
【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．
理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．
故选：D．
2．A
【分析】根据正方形的性质与判定，菱形的性质进行判断即可．
【详解】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的对角线互相垂直， 而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；
故选：A．
3．A
【分析】如图，首先将旋转到，然后利用三角形全等的性质得到，，结合题中条件可以得出，再根据，和勾股定理，可以求出的长即可求解．
【详解】如图所示，将绕顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴、、三点共线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴（SAS）
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴的长为
故选：A
4．B
【分析】如图，过点作轴于、轴于，则四边形是矩形可得、，再由A、B的坐标结合图形可得，然后再证明可得，进而确定OD的长即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于，轴于，
轴，轴，，
四边形是矩形，
，，
点、，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
点．
故选：B．
5．A
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接、，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，，，
∴，
在中，，
∵H是的中点，
∴ ．
故选A．
6．C
【分析】依据正方形的性质，即可得到△OEC≌△OFD（ASA），进而得出，根据四边形OECF的面积等于，即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，OC⊥OD，即∠COD＝90°，
∴∠EOF＝90°＝∠COD，
又∵OC＝OD，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∴△OEC≌△OFD（ASA），
∴，
∴
∴四边形OECF的面积始终不变．
故选：C．
7．A
【分析】根据折叠的性质有：，，再根据，，可得，问题随之得解．
【详解】根据折叠的性质有：，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题：
8． ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一）
【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形；
当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；
∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形．
,∠BAC＝90°，
故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC．
9．65
【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：∠CDE=∠CBF，即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，
，，，
又是的外角，
，
故答案为：65．
10．4
【分析】延长CB到E，使BE＝DC，连接AE，AC，推出∠ABE＝∠D，由BE＝DC，AB＝AD，证明△ABE≌△ADC，得到AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，∠EAC＝90°，由勾股定理得，又S△AEC＝S四边形ABCD＝12，求得＝12，计算出EC＝4，即可求出答案．
【详解】延长CB到E，使BE＝DC，连接AE，AC，
∵∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，
又∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°+90°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，
∴∠ABE＝∠D，
又∵BE＝DC，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC，
∴AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAC＝90°，
∵，
∴S△AEC＝AE2＝，
∵S△AEC＝S四边形ABCD＝12，
∴＝12，
∴EC＝4，
∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．
故答案为：4．
11．25°
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠BCF=∠EAB，再利用正方形的性质解答即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠EAB，
∵∠E=70°，
∴∠BCF=∠EAB=90°-70°=20°，
∵正方形ABCD，AC是对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°-20°=25°．
故答案为：25°．
12．
【分析】过点作轴于点，根据四边形是菱形可知，，可得出是等边三角形，由此求出及的长即可得出结论．
【详解】解：过点作轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，则，
∴，
∴．
13．8
【分析】连接，易得，利用等底等高将S转化成，代值计算即可．
【详解】解：连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．
【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，延长、交、于、．
四边形为正方形，
，
，，
则 ．
故答案为：．
三、解答题：
15．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△ABF和△DAE中，

∴，
∴，
∴矩形ABCD是正方形．
16．
（1）
解：∵是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）
解：∵是正方形，
∴
∴，
∵
∴．
17．
（1）
证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD，
∴EFAB，EFAB＝AD，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）
解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形，
理由如下：
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AF是△ABC的中线，
∴AF⊥BC，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴AF⊥DE，
∴平行四边形ADFE是菱形．
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是正方形．
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
18．解：连接，如图：
将正方形沿翻折，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
的长为．
19．（1）由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF=，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=．
20．（1）解：
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
21.（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，
．，
沿折叠得到，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2所示：
沿折叠得到，为的中点，
，，
，
，
，
，
即，
；
②解：设，则，，
正方形边长为6，为的中点，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
即线段的长为2．