辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025届高三上学期期末考试 数学（PDF版，含答案）

2024—2025学年度上学期期末考试高三年级数学科答案
一、单项选择题：
1.A 2.C 3.D 4. C 5.B 6. A 7.B 8. C
二、多项选择题
9.AD 10.BC 11.BCD
三、填空题
12. ； 13.答案不唯一，4，5，6任写一个即可. 14.
四、解答题
15.解：
（I） ……5分
所以 …………………………………………………………6分
（II）由 = ，
所以 ………………………7分
设 ，由点 在 边上，且 为锐角三角形，所以 ，
所以 .……………………………………………………………9分
在 中，由 ，
所以 ，所以 ，
所以 …………11分
由 是定义域上的减函数，所以 ，
所以 的范围为 .…………13分（其它方法酌情给分）
16．解：（I）由椭圆离心率 ，所以 .………………………1分
所以椭圆方程化为 .
由直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，……………2分
由椭圆对称性，不妨设点
联立 ，解得 .…………………………………………4分
所以 ，解得 ，……6分
所以椭圆 的方程为 ……………………7分
（II）如图，延长 交 于点 ，
由（1）可知 ，
设 ，设 的方程为 ，
由 ，得 ，故 ………9分
设 与 的距离为 ，四边形 的面积为 ，
由 及椭圆的对称性可知，点 与点 关于原点对称.
所以 …11分
又因为 …13分
当且仅当 ，即 时，等号成立，…………………14分
故四边形 面积的最大值为 2.……………………………15分
17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有 种，
其中正确选项只有一个，设 M=“猜对本题得 6分”，故 .……………3分
（II）乙同学所有可能的选择答案有 种，即共有 10个样本点，
设乙同学本题可能得分为 ，则 的可能取值为 0，4，6.
， ， …………………………7分
所以乙同学可能得分的分布列为
0 4 6
所以期望 …………………………………9分
（III）由题意得丙得 0分的概率为 ，丁得 0分的概率为 ，…10分
丙丁总分刚好得 18分的情况包含：
事件 A：丙得 12分有 6+6一种情况，丁得 6分有 6+0，0+6，3+3三种情况，
则 ；
事件 B：丙得 9分有 6+3，3+6两种情况，丁得 9分有 6+3，3+6两种情况，
则 ；
事件 C：丙得 6分有 6+0，0+6，3+3三种情况，丁得 12分有 6+6一种情况，
则 ；…………………………………14分
所以丙丁总分刚好得 18分的概率 .…………15分
18.解：（I）由 ， ，所以 .
由 平面 ，所以 .
由 ， ， ，所以平面 平面 .…4分
（II）取 中点 ，连接 ，
在梯形 中，因为 ， ，所以 ， ，
则在 中， ，由 ，则 ，………………6分
易知 两两垂直，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
在四棱柱 中， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中， ，
则 ， ， ， ，
取 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，可得 ，则 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量 ，……………8分
设点 到平面 的距离 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即 ，
在四棱柱 中，因为 ，且 平面 ，
所以当直线 与 所成角为 时，其余弦值取得最大值，即为 .……10分
（III）由题意作图如下：由题可知
， ， ，
因为 ，所以 ，则 ， ，
，
设
平面 的法向量 ，可得 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量 ，可得 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量 ，…………………………14分
设二面角 的大小为 ，
则 ，
由二面角 的正弦值为 ，则 ，
可得 ，化简可得 ，解得 或 ，…………16分
由 ，则 ，故存在， .………………17分
19.解：
（I）因为 单调递增，不存在正数 ，使得 恒成立，
所以数列 不具有性质 .………………………………………………………2分
因为 ，又数列 为单调递减数列，所以数列 具有性质 .……4分
（II）因为 ，
若 为奇数的概率为 为偶数的概率为 ，
①………………
………………6分
② ，
……………………………………7分
，即 .………………………………………8分
所以当 时， ，故 随着 的增大而增大，且 .
故数列 具有性质 .……………………………10分
（III）令 ，则 ， ， ，
所以当 时， 在 上递减，而 ，
故 在 有唯一的零点 ，即 ，即 ………………12分
且当 时， ，即 ，
当 时， ，即
由 ，可知 ，
在 上单调递增；……………………………………………………………13分
由 ，
所以 ，
所以 ，……………………14分
假设 时， 成立，
则 ，即 成立，
结合 可得：对于任意 恒成立，
故 为递增数列， 为递减数列.…………………………………………16分
对数列 ，存在 ，使 ，所以数列 具有性质
对数列 ，存在 ，使 ，所以数列 也具有性质 ……17分