3．2 古典概型
3．2.1 古典概型
1．问题导航
(1)什么叫基本事件？它有什么特点？
(2)什么叫古典概率模型？它有什么特点？
2．例题导读
通过对例1的学习，学会如何求基本事件；
通过对例2，3，4，5的学习，学会如何求古典概型的概率．
1．基本事件
(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．
(2)特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)定义：如果一个概率模型满足：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．
(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为P(A)＝.
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件；( )
(2)为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件；( )
(3)从甲地到乙地共n条路线，且这n条路线长短各不相同，求某人正好选中最短路线的概率．( )
解析：根据古典概型的两个特征知：(1)×；(2)×；(3)√.
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A. B.
C. D.
(链接教材P130练习3)
解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为，故选B.
3．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________．
(链接教材P130练习1)
解析：基本事件共有20个，事件发生占2个，故所求概率为＝.
答案：
4．“在区间[0，10]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
解：不是．因为在区间[0，10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥．试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的．
2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用．
基本事件及其计算
从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
(链接教材P125例1)
[解] 所求的基本事件共有6个：
( http: / / www.21cnjy.com )
即A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}．
[互动探究] 本例中，若将“任意取出两个”改为“任意取出三个”，有哪些基本事件？
解：所求的基本事件共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．
方法归纳
基本事件的两个探求方法：
(1)列表法：将基本事件用表格的形式 ( http: / / www.21cnjy.com )表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)．
(2)树状图法：树状图法是 ( http: / / www.21cnjy.com )用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)．
1．(1)做试验“从0，1，2这3个数 ( http: / / www.21cnjy.com )字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
①写出这个试验的基本事件；
②求出这个试验的基本事件的总数；
③写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．
解：①这个试验的基本事件为(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)．
②基本事件的总数为6.
③“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2，0)，(2，1)．
(2)口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，求出这个试验的基本事件个数．
解：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白 ( http: / / www.21cnjy.com )球编上序号1，2，把两黑球也编上序号1，2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如下：
从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.
简单的古典概型的计算
(2014·高考天津卷)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
[解] (1)从6名同学中随机选出2人参加 ( http: / / www.21cnjy.com )知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名 ( http: / / www.21cnjy.com )男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
方法归纳
(1)本题关键是通过分析得出公式中的分子、分母，即某事件所含基本事件数和基本事件的总数，然后代入公式求解．
(2)使用古典概型概率公式应注意：
①首先确定是否为古典概型；
②A事件是什么，包含的基本事件有哪些．
2．(1)设集合M＝{b，1}，N＝{c，1，2}，M N，若b，c∈{2，3，4，5，6，7，8，9}．
① 求b＝c的概率；
②求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解：①因为M N，所以
当b＝2时，c＝3，4，5，6，7，8，9；
当b＞2时，b＝c＝3，4，5，6，7，8，9.基本事件总数为14；
其中b＝c的事件数为7种，
所以b＝c的概率为.
②记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4，5，6，7，8，9，共6种．
故P(A)＝＝.
(2)从分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，求下列事件的概率：
①两个数的和为奇数；
②两个数的积为完全平方数．
解：假设抽取卡片有先后顺序，不放回 ( http: / / www.21cnjy.com )，则基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤9，1≤y≤9且x≠y}中的元素一一对应，而S中的点有72个，所以基本事件总数为72个，而本题中抽取卡片无序，所以基本事件总数为36个．
①和为奇数的条件是当且仅当两个数的奇偶性不同，即从1，3，5，7，9中取1个数和从2，4，6，8中取1个数的情况．
从1，3，5，7，9中抽取1个数的情况有 ( http: / / www.21cnjy.com )5种，从2，4，6，8中抽取1个数的情况有4种，由列举可知“两个数的和为奇数”的基本事件共有20个．∴概率P＝＝.
②当且仅当所取两个数为1×4，1×9，2×8，4×9时，两个数的积为完全平方数．
∴两个数的积为完全平方数共有4种情况．
∴概率P＝＝.
较复杂的古典概型的计算
某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是8的概率；
(2)头两位数字都不超过8的概率．
(链接教材P128例4)
[解] 电话号码每位上的数字都可以由0，1，2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成，故试验基本事件总数为n＝108.
(1)记“头两位数字都是8 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A，则若事件A发生，头两位数字都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝106.所以由古典概型概率公式，得P(A)＝＝＝＝0.01.
(2)记“头两位数字都不超过8 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件B，则事件B的头两位数字都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×106.所以由古典概型概率公式，得P(B)＝＝＝0.81.
方法归纳
(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可为0；
(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．
3．(1)一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1 000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：
①有一面涂有色彩的概率；
②有两面涂有色彩的概率；
③有三面涂有色彩的概率．
解：在1 000个小正方体中，一面涂有色彩的有82×6个，两面涂有色彩的有8×12个，三面涂有色彩的有8个，所以
①一面涂有色彩的概率为P1＝＝0.384；
②两面涂有色彩的概率为P2＝＝0.096；
③三面涂有色彩的概率为P3＝＝0.008.
(2)储蓄卡的密码是一个六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取．
①如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？
②若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？
解：①由储蓄卡的密码是六 ( http: / / www.21cnjy.com )位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有106个，由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正好按对密码的概率P＝.
②按六位号码的后两位数字共有100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝.
规范解答 用列举法求古典概型的概率
(本题满分12分)箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)请列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
[解] (1)分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2.a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．?2分
从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)；
(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)；
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)；
(b2，c1)，(b2，c2)；
(c1，c2)．共15个基本事件．?6分
(2)①事件A包含12个基本事件，?
故P(A)＝＝(或能配对的只有3个基本事件，P(A)＝1－＝)；8分
②事件B包含6个基本事件，
故P(B)＝＝；10分
③事件C包含6个基本事件，
故P(C)＝＝.12分
[规范与警示]
?设事件是解决此类问题的首要步骤；极易忽视指明a1，b1，c1及a2，b2，c2的意义；
?要按规律列出所有基本事件，否则容易遗漏或重复计算；
?找准事件A所包含的基本事件的个数是关键．
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下三个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．
(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏．
常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．
(3)利用事件间的关系
在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互 ( http: / / www.21cnjy.com )斥的简单事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)(A为A的对立事件)求得．
1．(2014·高考江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B.掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为＝.
2．(2015·泰安模拟)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.从两个集合中各选一个 ( http: / / www.21cnjy.com )数有15种选法，满足b>a的选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，所以b>a的概率是＝.
3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
解析：甲、乙两名运动员选择运动服 ( http: / / www.21cnjy.com )颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．
而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．
所以所求概率P＝＝.
答案：
4．(2014·高考广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________．
解析：总的取法有：ab，ac，ad ( http: / / www.21cnjy.com )，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为＝.
答案：
[A.基础达标]
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.
2．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限 ( http: / / www.21cnjy.com )个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
解析：选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
3．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：选C.依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．
4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.点(a，b)取值的集合共 ( http: / / www.21cnjy.com )有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
6．据报道：2014年我国高校 ( http: / / www.21cnjy.com )毕业生为727万人，创历史新高，就业压力进一步加大．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
解析：记事件A：甲或乙被录用 ( http: / / www.21cnjy.com )．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件A的概率为P(A)＝，
∴P(A)＝1－P(A)＝.
答案：
7．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：数字a，b的所有取法有36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，所以其概率为P＝＝.
答案：
8．(2015·石家庄高一检测)一只蚂蚁在 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
答案：
9．(2014·高考山东卷)海关对同时从 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商 ( http: / / www.21cnjy.com )品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
10．(2015·长沙联 ( http: / / www.21cnjy.com )考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解：(1)设“一次停车不 ( http: / / www.21cnjy.com )超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1， ( http: / / www.21cnjy.com )1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，
所以所求概率为.
[B.能力提升]
1．(2014·高考湖北卷)随机掷两枚质地 ( http: / / www.21cnjy.com )均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2
解析：选C.随机掷两枚质地均匀的 ( http: / / www.21cnjy.com )骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝＝.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1＜p3＜p2.
2．设a是从集合{1，2，3，4}中随机取 ( http: / / www.21cnjy.com )出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.试验发生包含的事件是分别从两 ( http: / / www.21cnjy.com )个集合中取两个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2，3，4，当b＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
解析：两本不同的数学书用a1，a2表示 ( http: / / www.21cnjy.com )，语文书用b表示，由Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为＝.
答案：
4．已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l ( http: / / www.21cnjy.com )2：ax－by－1＝0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则直线l1∩l2＝ 的概率为________．
解析：∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴a，b各有6种取法，
∴总事件数是36，
而满足条件的只有两组数a＝2，b＝4；a＝3，b＝6.
∴P＝＝.
答案：
5．某班体育兴趣小组共有12名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学(学号为1到12)，要从中选出一个同学去参加某项比赛，由于1号同学受伤，只好从2至12号同学中选出．因为这11位同学水平相当，所以有人提议用如下的办法选出：用两台完全相同的计算机各随机产生1到6中的一个整数，这两个整数的和是几就选择几号．你认为这种方法公平吗？若公平，说明理由；若不公平，说明这种方法最有可能选中几号？几号同学被选中的可能性最小？
解：
所以基本事件空间中共有36个基本事件．
其中，选中2号与12号的概率都为，选中3号与11号的概率都为＝，
选中4号与10号的概率都为＝，选中5号与9号的概率都为＝，
选中6号与8号的概率都为，选中7号的概率为＝，
所以这种方法不公平，最有可能选中7号，2号和12号同学被选中的可能性最小．
6．(选做题)甲、乙二人用4张扑 ( http: / / www.21cnjy.com )克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 ( http: / / www.21cnjy.com )4用4′表示)为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．
(2)甲抽到红桃3，则乙抽到的牌只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)不公平．由甲抽到的牌的牌面数 ( http: / / www.21cnjy.com )字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.∵＜，∴此游戏不公平．3．2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生
1．问题导航
(1)什么叫随机数、伪随机数？
(2)随机数如何产生？
(3)随机模拟方法又叫什么方法？随机模拟有什么好处？
2．例题导读
通过对例6的学习，学会如何用随机模拟的方法求解非古典概型的概率．
1．随机数
要产生1～n(n∈N*)之间的随机整数， ( http: / / www.21cnjy.com )把n个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法 ( http: / / www.21cnjy.com )产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
3．随机数产生的方法
(1)用计算器产生；(2)用计算机产生；(3)抽签法产生．
1．用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率 B．小于概率
C．等于概率 D．是概率的近似值
解析：选D.频率是概率的近似值，故D正确．
2．用计算器或计算机的随机函数可以产生从整数a到整数b的取________值的随机数．( )
A．实数 B．有理数
C．整数 D．小数
答案：C
3．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，给出下列步骤：
①统计甲的编号出现的个数m；
②将6名同学编号1，2，3，4，5，6；
③利用计算机或计算器产生1到6之间的整数随机数，统计个数为n；
④则甲被选中的概率近似为.
其正确步骤顺序为________(写出序号)．
解析：正确步骤顺序为：②③①④.
答案：②③①④
4．随机模拟方法的基本思想是什么？
解：随机模拟方法是通过将一次试验所有 ( http: / / www.21cnjy.com )可能发生的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果，其基本思想是：用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率．
1．利用计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决非古典概型的概率求解问题．
2．对于某些试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间．
3．随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
随机数的产生方法
某校高一全年级共25个班1 200人，期末考试时，如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1 200人分到40个考场中去 ( http: / / www.21cnjy.com )，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，…，人数太多，如果用随机数表法给每个学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数，然后再按号数用计算机排序即可．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数RANDBETWEEN(1，1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每个人的都不同)．
(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排 ( http: / / www.21cnjy.com )列，即可得到考试号从1到1 200人的考试序号(注：1号应为0001，2号应为0002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可)．
方法归纳
(1)解决此题的关键是用随机函数给每个学生一个随机数作为序号．
(2)常见产生随机数的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优 保证机会均等 操作简单，省时省力
劣 耗费大量人力，物力 由于是伪随机数，不能保证等可能性
1．全班50人，试用随机数把他们排成一列．
解：给50名同学编号1，2，3，…，50 ( http: / / www.21cnjy.com )，用计算器的RANDI(1，50)或计算机的RANDBETWEEN(1，50)产生50个不重复的取整数值的随机数，排成一列，即为50名学生的排列顺序(如10，5，21，7，…，表示10号在第一位，5号在第二位，21号在第三位，…)．
随机模拟法估计概率
种植某种树苗，成活率为0.9，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生30组随机数：
69 801 66 097 77 124 22 961 74 235 31 516
29 747 24 945 57 558 65 258 74 130 23 224
37 445 44 344 33 315 27 120 21 782 58 555
61 017 45 241 44 134 92 201 70 362 83 005
94 976 56 173 34 783 16 624 30 344 01 117
据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为________．
(链接教材P132例6)
[解析] 由题意知模拟5次种植 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果，经随机模拟产生了30组随机数，在30组随机数中表示种植5棵恰好4棵成活的有：69 801，66 097，74 130，27 120，61 017，92 201，70 362，30 344，01 117，共9组随机数，
∴所求概率约为＝0.30.
[答案] 0.30
[互动探究] 在本例中，若树苗成活的概率是0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率约是多少？
解：利用计算器或计算机可以产生0到 ( http: / / www.21cnjy.com )9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生20组随机数：
23 065 37 052 89 021 34 435 77 321 33 674
01 456 12 346 22 789 02 458 99 274 22 654
18 435 90 378 39 202 17 437 63 021 67 310
20 165 12 328
这就相当于做了20次试验，在这些数组中 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20＝0.75.
方法归纳
估计非古典概型的概率要设计恰当的试验方法，并且使试验次数尽可能多，这样才与实际概率更接近．
2．某人玩射击游戏，每次击中目标的概率都是0.8，他射击4次，求至少击中3次的概率．
解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值 ( http: / / www.21cnjy.com )的随机数，我们用0、1代表没有击中目标，2到9代表击中目标，这样体现击中目标的概率是0.8.因为射击4次，所以每4个随机数作为一组，可产生N组随机数，在这些数组中，至少有3个大于1的数的数组的个数为N1，然后计算fn(A)＝，即为至少击中目标3次概率的近似值．
易错警示 随机模拟数含义不明致误
天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966
191 925
271 932
812 458
569 683
631 257
393 027
556 488
730 113
137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知模拟三天中恰有两 ( http: / / www.21cnjy.com )天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为.
[答案] B
[错因与防范]
本题易错点有两处：一是错误的理 ( http: / / www.21cnjy.com )解数字的代表意义，将1，2，3，4理解为不下雨，5，6，7，8，9，0理解为下雨；二是理解随机数的意义出错或数据统计错误．
(1)解决此类题目时正确设计试验，准确理解随机数的意义是解题的基础和关键．
(2)认真统计数据，确保数据准确是解题的保证．
3．(1)在利用整数随机数进行随机模拟试验中，a到b之间的每个整数出现的可能性是________．
解析：[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
答案：
(2)抛掷两颗骰子，计算：
①事件“两颗骰子点数相同”的概率；
②事件“点数之和等于7”的概率；
③事件“点数之和等于或大于11”的概率；
④设计一个用计算器或计算机模拟前三小题试验的方法，估计它们的概率．
解：分别记①，②，③中的事件为A、B、C，抛掷两颗骰子共有36个不同结果，对应36个基本事件．
①因为事件A含有(1，1)；(2，2)；(3，3)；(4，4)；(5，5)；(6，6)共6个基本事件，所以P(A)＝＝.
②因为事件B含有(1，6)；(2，5)；(3，4)；(4，3)；(5，2)；(6，1)共6个基本事件，所以P(B)＝＝.
③因为事件C含有(5，6)；(6，5)；(6，6)共3个基本事件，所以P(C)＝＝.
④因为抛掷两次相当于一次试验 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以应把用计算器随机函数RANDI(1，6)或计算机随机函数RANDBETWEEN(1，6)产生的1到6之间的随机整数且连续产生两个作为一组．
重复上面试验过程，统计出产生的n组随机数，再统计出这几组中满足事件A、B、C中各自所含的基本事件的组数N1，N2，N3.
计算，，就分别得到了P(A)，P(B)，P(C)的近似值．
1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
解析：选B.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于产生的随机数的个数．故选B.
2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计点数 ( http: / / www.21cnjy.com )和为7的概率，共进行了两次试验，第1次产生了60组随机数，第2次产生了200组随机数，那么两次估计的结果相比较( )
A．第1次准确 B．第2次准确
C．两次的准确率相同 D．无法比较
解析：选B.用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．故选B.
3．某班有6个小组，每个小组内有8人，每个小组被分配去做不同的事情，其中第4小组被分配去绿化浇水(共有6个不同任务)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.有6个小组，被分配去做6件不同的事情，每个小组做某事的概率相同，都是.故选B.
4．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟方法估计甲被选中的概率，按下面步骤：
①把6位同学编号为1～6；②利用计算器或计 ( http: / / www.21cnjy.com )算机产生1到6的整数随机数；③统计总试验次数N及甲的编号出现的次数N1；④计算频率fn(A)＝，即为甲被选中的概率的近似值；⑤一定等于.其中步骤错误的是( )
A．②④ B．①③④
C．⑤ D．①④
解析：选C.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，频率不一定等于概率，不一定等于.故选C.
[A.基础达标]
1．某银行储蓄卡上的密码是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为.
2．袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“ ( http: / / www.21cnjy.com )快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13，43，23，13，13共5个基本事件，故所求的概率为P＝＝.
3．(2015·临沂高一检测)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设Ω＝{(a，b)|a∈{1，2 ( http: / / www.21cnjy.com )，3，4，5}，b∈{1，2，3}}，包含的基本事件总数n＝15，事件“b>a”为{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，包含的基本事件数为3，其概率P＝＝.
4．已知某射击运动员每次击 ( http: / / www.21cnjy.com )中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至多击中1次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5 727 0 293 7 140 9 857 0 347
4 373 8 636 9 647 1 417 4 698
0 371 6 233 2 616 8 045 6 011
3 661 9 597 7 424 6 710 4 281
据此估计，该射击运动员射击4次至多击中1次的概率为( )
A．0.95 B．0.1
C．0.15 D．0.05
解析：选D.该射击运动员射击4次至多击中1次 ( http: / / www.21cnjy.com )，故看这20组数据中含有0和1的个数多少，含有3个或3个以上的有1组数，故所求概率为＝0.05.
5．甲、乙两人一起去游某公园，他们 ( http: / / www.21cnjy.com )约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.甲、乙最后一小时他们所在的 ( http: / / www.21cnjy.com )景点共有36种情况，甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是P＝＝.
6．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2， ( http: / / www.21cnjy.com )3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为.
答案：
7．抛掷两枚相同的骰子，用随机模拟方法 ( http: / / www.21cnjy.com )估计向上面的点数和是6的倍数的概率时，用1，2，3，4，5，6分别表示向上的面的点数，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足向上面的点数和是6的倍数：________．(填“是”或“否”)
解析：16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则向上的面的点数和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．
答案：否
8．从集合{a，b，c，d}的子集中任取一个，这个集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．
解析：集合{a，b，c，d}的 ( http: / / www.21cnjy.com )子集有 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16个，{a，b，c}的子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，故所求概率为.
答案：
9．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．
解：利用计算器或计算机生成0 ( http: / / www.21cnjy.com )到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．
034 743 738 636 964 736 614
698 637 162 332 616 804 560
111 410 959 774 246 762 428
114 572 042 533 237 322 707
360 751
就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个 ( http: / / www.21cnjy.com )数在6，7，8，9中，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.
10．试用随机数把a，b，c，d，e五位同学排成一列．
解：要把五位同学排成一列，就要确定这五位同学所在的位置．可以赋给每位同学一个座号，让他们按照座号排成一列即可．
(1)用计算器的随机函数RANDI(1， ( http: / / www.21cnjy.com )5)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，5)产生5个不同的1到5之间的取整数值的随机数，即依次为a，b，c，d，e五名同学的座号．
(2)按照座号由小到大的顺序排成一列即为一种排法．
[B.能力提升]
1．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是相邻自然数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.从六个数中任取2个，则有15个基本事件，其中取出的两个数是相邻自然数有5种情况，故P＝1－＝.
2．已知某运动员每次投篮命中的 ( http: / / www.21cnjy.com )概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
解析：选B.该随机数中，表示三次投篮，两次命中的有：191，271，932，812，393，共5组，故所求概率约为＝＝0.25.
3．(2015·山东烟台模拟)设集合P＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )x，1}，Q＝{y，1，2}，P Q，x，y∈{1，2，3，…，9}．在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(x，y)所表示的点中任取一个，其落在圆x2＋y2＝r2内的概率恰为，则r2可取的整数是________．
解析：满足条件的点有(2， ( http: / / www.21cnjy.com )3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)，(8，8)，(9，9)，共14个．欲使其点落在x2＋y2＝r2内的概率为，则这14个点中有4个点在圆内，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32.
答案：30，31，32
4．通过模拟试验产生了20组随机数：
6830 3013 7055 74 ( http: / / www.21cnjy.com )30 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
解析：因为表示三次击中目标分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是3013，2604，5725，6576，6754，共5个数．随机数总共20个，所以所求的概率近似为＝25%.
答案：0.25
5．一个学生在一次竞赛中要回答的9 ( http: / / www.21cnjy.com )道题是这样产生的：从20道物理题中随机抽4道；从15道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～20，化学题的编号为21～35，生物题的编号为36～47)．
解：用计算器的随机函数RANDI(1，20) ( http: / / www.21cnjy.com )或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，20)产生4个不同的1到20之间的整数随机数(如果有一个重复，重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(21，35)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(21，35)产生3个不同的21到35之间的整数随机数；用计算器的随机函数RANDI(36，47)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(36，47)产生2个不同的36到47之间的整数随机数，就得到9道题的题号．
6．(选做题)某人有5把钥 ( http: / / www.21cnjy.com )匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，问第三次才打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
解：用计算器或计算机产生1到5之间的整数随机数，1，2表示能打开门，3，4，5表示打不开门．
(1)三个一组(每组数字不重复)，统计 ( http: / / www.21cnjy.com )总组数N及前两个大于2，第三个是1或2的组数N1，则即为不能打开门，即扔掉，第三次才打开门的概率的近似值．
(2)三个一组(每组数字可 ( http: / / www.21cnjy.com )重复)，统计总组数M及前两个大于2，第三个为1或2的组数M1，则即为试过的钥匙不扔掉，第三次才打开门的概率的近似值．3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
1．问题导航
(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？
(2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？
(3)几何概型有几种模型？
2．例题导读
通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率．
1．几何概型的定义与特点
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．
2．几何概型中事件A的概率的计算公式
P(A)＝．
1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；( )
(2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；( )
(3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；( )
(4)向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．( )
解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由|x|≤1，得－1≤x≤1，所以|x|≤1的概率为P(|x|≤1)＝.
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
解析：设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR2，阴影的面积S阴＝·2R·R＝R2，故所求概率P＝＝＝.
答案：
4．古典概型与几何概型有何区别？
解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．
2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型．
3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积．
与长度有关的几何概型
(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
[答案] B
[互动探究] 本例中，若将“X≤1”改为“|X|≤1”，则概率为多少？
解：由|X|≤1，得－1≤X≤1，由几何概型概率计算公式可得，|X|≤1的概率为P＝＝.
方法归纳
(1)本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有关的几何概型．
(2)将每个事件理解为从某个特定 ( http: / / www.21cnjy.com )的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
1．(1)某人从甲地去乙地 ( http: / / www.21cnjy.com )共走了500米，途经一条宽为x米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是，则河宽为( )
A．80米 B．100米
C．40米 D．50米
解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x米，由几何概型知，＝，解得x＝100米，故选B.
(2)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
(链接教材P136例1)
解：设A＝{等待的时间不多于10分钟} ( http: / / www.21cnjy.com )，我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为.
与面积有关的几何概型
(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，
则P(A)＝＝＝.
[答案] B
方法归纳
(1)与面积有关的几何概型的概率公式
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
③套用公式，从而求得随机事件的概率．
2．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解：如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 ( http: / / www.21cnjy.com ) m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
所以P(A)＝＝.
即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为.
与体积有关的几何概型
一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．
[解] 满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝＝.
方法归纳
“体积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．
3．(1)如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水，
∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.
(2)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10毫升，则其含有麦锈病种子的概率是多少？
解：1升＝1 000毫升，记 ( http: / / www.21cnjy.com )事件A＝“取10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”，则P(A)＝＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率是0.01.
数学思想 数形结合思想在求解几何概型中的应用
(2014·高考重庆卷)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)
[解析] 设小王到校时间为x，小张到校时间为 ( http: / / www.21cnjy.com )y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.
[答案]
[感悟提高]
数形结合思想的实质就是把抽象的数 ( http: / / www.21cnjy.com )学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．
本题的难点是把两个时间分别用x、y两 ( http: / / www.21cnjy.com )个坐标轴表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法．
1．如图，在边长为25 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形中挖去边长为23 cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，则粒子落在中间带形区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为均匀的粒子 ( http: / / www.21cnjy.com )落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2××23×23＝529，带形区域的面积为625－529＝96，故所求概率为P(A)＝.
2．如图所示，四边形ABCD为矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形， AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.连结AC，交弧DE于P(图略 ( http: / / www.21cnjy.com ))．由题意知，∠BAC＝.弧PE的长度为，弧DE的长度为，则直线AP与线段BC有公共点的概率是P＝÷＝.
3．已知方程x2＋3x＋＋1＝0，若p在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为总的基本事件是[0，1 ( http: / / www.21cnjy.com )0]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×≥0，得p≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为＝.
4．一个球型容器的半径为3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9病毒的概率是________．
解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．
故含有病毒的概率为P＝.
答案：
[A.基础达标]
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.
当OC在∠DOE内时，使得∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )C和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝.
3．在2015年春节期间，3路公交车由原来 ( http: / / www.21cnjy.com )的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.记“乘客到达站台立即 ( http: / / www.21cnjy.com )乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝.
4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )
A．0.6 B．0.8
C．1.2 D．1.6
解析：选C.记“豆子落入圆内 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的，这是一个几何概型，P(A)＝，所以S圆＝P(A)×S正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2.
5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由于满足条件的点P发 ( http: / / www.21cnjy.com )生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝.
6．(2015·西安质检)在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1 ABC内的概率是______．
解析：设正方体的棱长为a，
则所求概率P＝＝＝.
答案：
7.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
答案：
8.(2014·高考福建卷)如图，在边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
解析：由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
答案：0.18
9．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P ( http: / / www.21cnjy.com )这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当S点落在阴影部分时， ( http: / / www.21cnjy.com )△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝××42－×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.
10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外 ( http: / / www.21cnjy.com )向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？
解：因为射中靶面内任一点都是等可能的，
所以基本事件总数为无限个．
此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积，
总的基本事件为整个箭靶的面积，
它的面积为π cm2；
记事件A＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π cm2，
P(A)＝＝＝，
所以射中“黄心”的概率为.
[B.能力提升]
1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )
解析：选A.根据几何概型的面积比，A游戏盘 ( http: / / www.21cnjy.com )的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，故A游戏盘的中奖概率最大．
2．(2015·郑州六校 ( http: / / www.21cnjy.com )联考)如图，扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中所有扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.题图中共有10个不同的扇形， ( http: / / www.21cnjy.com )分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于.
3．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为________．
解析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x－y|≤15.如图，
平面直角坐标系下，(x，y)的 ( http: / / www.21cnjy.com )所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝＝.
答案：
4．如图，正方形OABC的边长为2.
(1)在其四边或内部取点P(x，y)，且x，y∈Z，则事件“|OP|>1”的概率为________．
(2)在其内部取点P(x，y)，且x，y∈R，则事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率是________．
解析：(1)在正方形的四边和内部 ( http: / / www.21cnjy.com )取点P(x，y)，且x，y∈Z，则所有可能的事件是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n＝9个，其中满足|OP|>1的事件是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m＝6个，所以满足|OP|>1的概率为P＝＝.
(2)在正方形内部取点， ( http: / / www.21cnjy.com )其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于，应该三角形的高大于，所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，其面积为×＝，所以满足条件的概率为＝.
答案：(1) (2)
5．2013年度世界新闻人物——斯诺 ( http: / / www.21cnjy.com )登，他揭露了美国的监听丑闻．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上在开始录音的1 min内从第30 s后的某一时刻开始，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
解：记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A发生就是在0到 min时间段内按错键．
P(A)＝＝.
6．(选做题)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．
一只苍蝇在几何体ADF BCE内自由飞行，求它飞入几何体F AMCD内的概率．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC.
因为VF AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，VADF BCE＝a2·a＝a3，
所以苍蝇飞入几何体F AMCD内的概率为＝.3．1.2 概率的意义
1．问题导航
(1)概率的定义是什么？
(2)什么叫小概率事件？
(3)什么叫极大似然法？
2．例题导读
思考1：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？
提示：不一定，因为抛掷一 ( http: / / www.21cnjy.com )枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上．
思考2：如果某种彩票的中奖概率是，那么买1 000张这种彩票一定能中奖吗？
提示：不一定中奖，因为买彩票是随机 ( http: / / www.21cnjy.com )的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖．买彩票中奖的概率为1/1 000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1 000的彩票中奖．
思考3：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？
提示：这枚骰子的质地不均 ( http: / / www.21cnjy.com )匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次都出现1点．如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为，连续10次都出现1点是一个小概率事件，几乎不可能发生．
思考4：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？你认为应如何理解？
提示：降水概率≠降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.
1．概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑 ( http: / / www.21cnjy.com )选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com )，“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．
5．孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)某事件发生的频率为fn(A)＝1.1；( )
(2)小概率事件就是不可能事件，大概率事件就是必然事件；( )
(3)某事件发生的概率随试验次数的变化而变化；( )
(4)连掷3次硬币，可能3次正面均朝上．( )
解析：频率fn(A)∈[0，1]，且事件发生的概率具有确定性，不随试验次数变化，故只有(4)正确，(1)(2)(3)均错．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2015·杭州调研)某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨
B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C．明天本地降雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
解析：选C.选项A，B显然不正确， ( http: / / www.21cnjy.com )因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.
3．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%”，你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
解析：射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．
答案：②
4．同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？
解：概率是从数量上反映随机 ( http: / / www.21cnjy.com )事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的．
1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．
2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
概率的含义
解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[解] (1)说明该厂产品合格的可能性为90%；
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖．
方法归纳
随机事件在一次试验中发生与否是 ( http: / / www.21cnjy.com )随机的．但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性．
1．(1)事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生
B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生
D．事件A发生的可能性很大
解析：选B.事件A发生的概率接近于0，则事件A也可能发生．
(2)某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
解：从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0 ( http: / / www.21cnjy.com ).9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为n，其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就越接近n.
概率的应用
如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？
[解] 列表如下：
BA 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，可能的结果有12种，和为6 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果只有3种．因此甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．
[互动探究] 在本例中， ( http: / / www.21cnjy.com )若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？
解：列表如下：
B A 3 4 5 6
1 3 4 5 6
2 6 8 10 12
3 9 12 15 18
由表格可知，积为偶数的有 ( http: / / www.21cnjy.com )8个，积为奇数的有4个，所以甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．
方法归纳
游戏公平性的标准及判断方法：
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则，双方的获胜概率，再进行比较．
2．在孟德尔豌豆杂交试验中，若用纯黄 ( http: / / www.21cnjy.com )色圆粒和纯绿色皱粒作为父本进行杂交，试求子二代结果中性状分别为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒和绿色皱粒的比例约为多少？
解：记纯黄色圆粒为XXYY，纯绿色皱粒为xxyy，其中X，Y为显性，x，y为隐性，则杂交试验的子二代结果为：
XY Xy xY xy
XY XXYY XXYy XxYY XxYy
Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy
xY XxYY XxYy xxYY xxYy
xy XxYy Xxyy xxYy xxyy
则黄色圆粒：XXYY个数为1，XxYY个数为2，XXYy个数为2，XxYy个数为4，即黄色圆粒个数为9.
黄色皱粒：XXyy个数为1，Xxyy个数为2，即黄色皱粒个数为3.
绿色圆粒：xxYY个数为1，xxYy个数为2，即绿色圆粒个数为3，
绿色皱粒：xxyy个数为1.
所以黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例为9∶3∶3∶1.
利用概率知识解决实际生活中的问题
为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
[解] 设水库中鱼的尾数为n，n是未知 ( http: / / www.21cnjy.com )的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝.①
第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上 ( http: / / www.21cnjy.com )是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈.②
由①②两式，得
≈，
解得n≈25 000.
所以，估计水库中有鱼25 000尾．
方法归纳
本题是概率思想在生产、生活实践中应用的 ( http: / / www.21cnjy.com )典型例子．主要考查概率与频率的关系及由样本估计总体的能力．解题的关键是假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率．
3．(1)今天电视台的天气预报说：今晚阴有雨，明天白天降雨概率是60%.请回答下列问题：
①明天白天运输部门能否抢运粮食？
②如果明天抢运的是石灰和白糖，能否在白天进行？
解：①在降雨概率为60%时，仍可以抢运粮食，毕竟含有40%的无雨概率，不过要采取防雨措施．
②因为石灰和白糖属于易溶物质，最好暂时不运，否则必须采取严密的防雨措施．
(2)一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数m 2 883 4 970 6 994 8 892
①依次计算男婴出生的频率(保留4位小数)；
②这一地区男婴出生的概率约是多少？
解：①男婴出生的频率依次约是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，.
②由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.
易错警示 因对试验结果考虑不全致误
下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球.
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球
取1个球再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
若从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是游戏几？
[解] 游戏1中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，黑3)(黑2，黑3)(黑1，白)(黑2，白)(黑3，白)，
∴甲胜的概率为，游戏是公平的．
游戏2中，显然甲胜的概率为，游戏是公平的．
游戏3中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2 ( http: / / www.21cnjy.com ))(黑1，白1)(黑2，白1)(黑1，白2)(黑2，白2)(白1，白2)，甲胜的概率为，游戏是不公平的．
[错因与防范]
(1)游戏1中，取两球共有6种情况，要考虑全面，准确计算．求出甲或乙获胜的概率，若为，则公平，否则就不公平．
(2)游戏2中，黑球、白球各1个，且取1球，故甲、乙获胜的概率相同，游戏是公平的．
(3)游戏3与游戏1中都有4个球，但两游戏中的黑球个数及白球个数均不同，故甲胜的概率不同．
4．根据医疗所的调查，某地区居 ( http: / / www.21cnjy.com )民血型分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选1人，那么能为病人输血的概率为( )
A．50% B．15%
C．45% D．65%
解析：选A.仅有O型血的人能为O型血的人输血．故选A.
1．概率是指( )
A．事件发生的可能性大小
B．事件发生的频率
C．事件发生的次数
D．无任何意义
解析：选A.概率是指事件发生的可能性大小．
2．下列说法中，正确的是( )
A．买一张电影票，座位号一定是偶数
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面一定朝上
C．三条任意长的线段一定可以围成一个三角形
D．从1，2，3，4，5这5个数中任取一个数，取得奇数的可能性大
解析：选D.A中也可能为奇数，B中 ( http: / / www.21cnjy.com )也可能反面朝上，C中对于不满足三边关系的，则不能，而D中，取得奇数的可能性为3/5，大于取得偶数的可能性2/5，故选D.
3．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道( )
A．取定一个标准班，A发生的可能性是97%
B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
C．任意取定10 000个标准班，其中大约9 700个班A发生
D．随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动
解析：选D.对于给定的一个标 ( http: / / www.21cnjy.com )准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10 000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对；请注意：本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”．
4．一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，得白球，估计袋中数量少的球是________．
解析：依据是“极大似然法”．
答案：黑球
[A.基础达标]
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．
2．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是 ( http: / / www.21cnjy.com )正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话( )
A．正确 B．错误
C．有一定道理 D．无法解释
解析：选B.从四个选项中正确选择选项是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．
3．(2015·青岛高一检测)同时掷两颗骰子，得到点数和为6的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.列表可得所有可能情况是36种，而 ( http: / / www.21cnjy.com )“点数和为6”即(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，所以“点数和为6”的概率为，故选B.
4．下列结论中正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必有0
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人买此券10张，一定有5张中奖
解析：选C.A项应为0≤P(A ( http: / / www.21cnjy.com ))≤1；B项中的事件A是随机事件；D项中，此人买此奖券10张，不一定中奖，也可能有1，2，3，…，10张中奖．
5．(2015·聊城调研)聊城市交警部门在调 ( http: / / www.21cnjy.com )查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲、乙公司均可 D．以上都对
解析：选B.由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．
6．某家具厂为足球比赛场馆 ( http: / / www.21cnjy.com )生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．
答案：50
7．玲玲和倩倩是一对好朋友 ( http: / / www.21cnjy.com )，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________．
解析：两枚硬币落地共有四种结果：
正，正；正，反；反，正；反，反．
由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
答案：公平
8．一个总体分为A、B两层，用分层抽 ( http: / / www.21cnjy.com )样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，
则＝，∴x＝120.
答案：120
9．某中学从参加高一年级上学期期末考试的 ( http: / / www.21cnjy.com )学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．
解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以，这次考试的及格率是75%.
(2)成绩在[70，100]的人数是18＋15＋3＝36.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，
选到第一名学生的概率P＝.
10．社会调查人员希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．
1965年Stanley·l·Wa ( http: / / www.21cnjy.com )rner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的，另一个是无关紧要的，这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．
假如在调查运动员服用兴奋剂情况 ( http: / / www.21cnjy.com )的时候，无关紧要的问题是：你的身份证号码的尾数是奇数吗；敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗．然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
例如我们把这个方法用于200个被调查的运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂．
解：因为掷硬币出现正面的概率是0.5，大约有100人回答了第一个问题，
因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是相同的，
因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，
由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂．
[B.能力提升]
1．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是( )
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性是99%
解析：选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%.
2．(2015·潍坊三县联考 ( http: / / www.21cnjy.com ))为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一枚骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计在这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是( )
A．600 B．200
C．400 D．300
解析：选A.因为骰子出现一点或二 ( http: / / www.21cnjy.com )点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，所以应有1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．故选A.
3．小明在抛掷图钉时，在200次至3 ( http: / / www.21cnjy.com )00次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是________．
解析：由于在抛掷图钉试验中，“钉尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛100次钉尖触地次数的取值范围是[0，100]．
答案：[0，100]
4．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．
解析：从甲、乙、丙三人中选两名共有：甲、乙；甲、丙；乙、丙三种结果，故甲被选中的概率为.
答案：
5．某同学认为：“将一颗骰子掷1次得到6点的概率是，这说明将一颗骰子掷6次一定会出现1次6点．”这种说法正确吗？说说你的理由．
解：这种说法是错误的．因为将一颗骰子 ( http: / / www.21cnjy.com )掷1次得到6点是一个随机事件，在一次试验中，它可能发生，也有可能不发生，将一颗骰子掷6次就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现6点，也有可能不出现6点，所以6次试验中有可能1次6点也不出现，也可能出现1次，2次，…，6次．
6．(选做题)有一天，我去公园玩， ( http: / / www.21cnjy.com )被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者每次转一下，转盘停止后，找到指针所指的数，从这一格开始，顺时针数到与该数相同个数的位置，按照提示得到或付出相应的钱数．
看来获奖的希望很大，16格中只有一格罚钱，要不要玩呢？你想来试试吗？
(1)请全体学生以小组为单位，进行游 ( http: / / www.21cnjy.com )戏．每小组做20次，填写工作单．如：我们小组共试验了________次，其中赢________次，输________次．由此估计赢的概率为________．
(2)没有人赢12元大奖吗？是不是试验次数太少了？别的奖项呢？你能分析一下各个奖项出现的概率吗？你能说明谁是真正的赢家吗？
解：(1)略．
(2)没有人赢12元大奖；不是试验次数太少．
指针所指数为4，6，8，9，10， ( http: / / www.21cnjy.com )12，14，16，17，18这10个区域时均要罚3元，其概率为P(罚3元)＝＝.当指针指数为3，5，7，11，13，15这6个区域时均要奖1元，其概率为P(奖1元)＝＝.
如果玩很多次的话，平均每8次能赢3×1＝3元，却要输5×3＝15元．所以玩的次数越多，输得越多．真正的赢家为游戏的庄家．3．1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件的概率
1．问题导航
(1)什么叫做必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件？
(2)什么叫做概率？
(3)什么叫做频数、频率？
(4)频率与概率的区别与联系是什么？
2．例题导读
通过教材中的“思考”，我们认识到：频率是 ( http: / / www.21cnjy.com )变化的，概率是不变的．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值．
1．事件的概念及分类
2．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件 ( http: / / www.21cnjy.com )A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
(3)范围：从定义中，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )看出事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足0≤m≤n，所以0≤≤1.当A是必然事件时，P(A)＝1，当A是不可能事件时，P(A)＝0．
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；( )
(2)任意事件A发生的概率P(A)总满足0(3)若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．( )
解析：根据频率与概率的关系，(1)正确 ( http: / / www.21cnjy.com )；随机事件的概率满足0答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列事件：
①明天阴天；②若x＋2＝x2，则x＝2；③奥巴马当选美国下届总统；④若x∈R，则x2＋2x＋2≥1.其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①②是随机事件，③奥巴马现在已连任两届总统，不可能再连任下届总统，是不可能事件，④是必然事件．
3．某出版公司对发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查，连续五年的调查结果如表所示：
发送问卷数 1 006 1 500 2 015 3 050 5 200
返回问卷数 949 1 430 1 917 2 890 4 940
则本公司问卷返回的概率约为( )
A．0.95 B．0.94
C．0.93 D．0.92
解析：选A.949÷1 006≈0 ( http: / / www.21cnjy.com ).943 34，1 430÷1 500≈0.953 33，1 917÷2 015≈0.951 36，2 890÷3 050≈0.947 54，4 940÷5 200＝0.95.都稳定于0.95，故所求概率约为0.95.
4．频率与概率之间有何区别与联系？
解：(1)概率是频率的稳定值，随着 ( http: / / www.21cnjy.com )试验次数的增加，频率会越来越接近概率；(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．
1．随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知 ( http: / / www.21cnjy.com )的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0，1]内的某个常数上(即事件A的概率)，这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量．
2．任何事件的概率是0～1 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的一个确定的数，小概率(接近0)事件很少发生，大概率(接近1)事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策．
事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)2012年奥运会在英国伦敦举行；
(2)甲同学今年已经上高一，三年后他被北大自主招生录取；
(3)A地区在“十二五”规划期间会有6条高速公路通车；
(4)在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化．
[解] (1)是必然事件，因事件已经发生．
(2)(3)是随机事件，其事件的结果在各自的条件下不确定．
(4)是不可能事件，在本条件下，事件不会发生．
方法归纳
对事件分类的两个关键点：
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，就无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
1．(1)下面的事件：① ( http: / / www.21cnjy.com )在标准大气压下，水加热到80 ℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．是不可能事件的为( )
A．② B．①
C．①② D．③
解析：选B.②是必然事件，③是随机事件．
(2)(2015·西南师大附中检测)下 ( http: / / www.21cnjy.com )列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件．
用随机事件的频率估计概率
某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，如表所示：
贫困地区：
参加测试的人数得分情况 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数得分情况 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两种地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(保留小数点后两位)
(2)若从两种地区各自随机选取一名适龄儿童，试估计他们参加测试得60分以上的概率．
[解] (1)贫困地区：
参加测试的人数得分情况 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率 0.53 0.54 0.52 0.52 0.51 0.50
发达地区：
参加测试的人数得分情况 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.57 0.58 0.56 0.56 0.55 0.55
(2)贫困地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.5，所以从贫困地区随机选取一名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.5.
发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.55，所以从发达地区随机选取一名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.55.
方法归纳
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总 ( http: / / www.21cnjy.com )次数n的比值，利用此公式可求出它的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率．
2．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．
(1)求此人中靶的概率；
(2)若此人射击1次，则中靶的概率约为多大？击中10环的概率约为多大？
解：(1)因为中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9.故此人中靶的概率约为0.9.
(2)若此人射击1次，中靶的概率约为0.9，击中10环的概率约为0.2.
对试验结果的分析
指出下列试验的结果：
(1)袋中装有红、白、黑三种颜色的小球各1个，从中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[解] (1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，3－6＝－3，
1－10＝－9，3－10＝－7，
6－1＝5，10－1＝9，
6－3＝3，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4.
[互动探究] 若将本例(2)中的“作差”改为“作和”， 指出其试验的结果．
解：结果：
1＋3＝4，3＋6＝9，
1＋6＝7，3＋10＝13，
1＋10＝11，6＋10＝16.
方法归纳
准确理解随机试验的条件、结果等有关 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
3．(1)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，问：
①共有多少种不同结果？
②摸出2个黑球有多少种不同的结果？
解：①从装有4个球的口袋内摸出2个球，共 ( http: / / www.21cnjy.com )有6种不同的结果：(白，黑1)、(白，黑2)、(白，黑3)、(黑1，黑2)、(黑1、黑3)、(黑2，黑3)．
②从3个黑球中摸出2个黑球，共有3种不同的结果：(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)．
(2)某人做试验“从一个装有标号为1 ( http: / / www.21cnjy.com )，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取小球两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．求这个试验结果的种数．
解：当x＝1时，y＝2，3，4；
当x＝2时，y＝1，3，4；
同理，当x分别为3，4时，也各有3个不同的y，所以共有12个不同的有序数对，故这个试验结果的种数为12.
易错警示 对随机事件结果判断不准致误
先后抛掷两枚质地均匀的硬币，则
(1)一共可能出现多少种不同的结果？
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的情况有几种？
(3)出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少？
[解] (1)一共可能出现“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面，一枚反面”、“一枚反面，一枚正面”，4种不同的结果．
(2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况有2种．
(3)出现“一枚正面，一枚反面”的概率为.
[错因与防范]
将“一正，一反”、“一反，一正”两种情 ( http: / / www.21cnjy.com )形错认为是“一正，一反”一种情形；欲不重不漏地写出试验的全部条件和结果，需要按照一定的顺序，用有序数组的形式表达出来．
4．某号码锁有6个拨盘，每个拨 ( http: / / www.21cnjy.com )盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时，锁才能打开，如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是多少？
解：号码锁每个拨盘上的数字有10种可能的取法；6个拨盘上的数字组成的六位数字号码共有1 000 000个，
又试开时采用每一个号码的可能性都相等，且开锁号码只有一个，
所以试开一次就把锁打开的概率为P＝.
1．下面的事件：①实数的绝对值大于等于 ( http: / / www.21cnjy.com )0；②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1 ℃结冰，是必然事件的有( )
A．① B．②
C．③ D．①②
解析：选A.②是随机事件，③是不可能事件．
2．n＋2件同类产品中，有n件正品，2件是次品，从中任意抽出3种产品的必然事件是( )
A．3件都是次品 B．3件都是正品
C．至少有1件是次品 D．至少有1件是正品
解析：选D.由于只有2件次品，故抽出的3件产品不可能都是次品，即至少有1件正品．
3．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则共有“正面朝下”的次数为( )
A．0.49 B．49
C．0.51 D．51
解析：选D.由100×0.49＝49知，有49次“正面朝上”，有100－49＝51(次)“正面朝下”．
4．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的 ( http: / / www.21cnjy.com )比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件定义可知．
答案：③ ⑤ ①②④
[A.基础达标]
1．下列试验能够构成事件的是( )
A．掷一次硬币 B．射击一次
C．去车站买票 D．摸彩票中头奖
解析：选D.事件必须有条件和结果，D既有条件又有结果，可以构成事件．
2．(2015·洛阳检测)下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C.由概率与频率的有关概念知，C正确．
3．(2015·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
4．(2015·滨州高一检测)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
解析：选B.在区间[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为＝0.45.
5．在20支同型号钢笔中，有3支钢笔是次品，从中任意抽取4支钢笔，则以下事件是必然事件的是( )
A．4支均为正品
B．3支为正品，1支为次品
C．3支为次品，1支为正品
D．至少有1支为正品
解析：选D.因为仅有3支钢笔是次品，故抽样的结果有以下四种情况：4支全是正品，有1支次品，有2支次品，有3支次品．
6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
解析：设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案：500
7．下列事件：
①在空间内取三个点，可以确定一个平面；
②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；
③某电影院某天的上座率会超过50%；
④函数y＝logax(0＜a＜1)在定义域内为增函数；
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．
其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填写序号)
解析：①空间中不共线的三点可确定一个平面，故①是随机事件；
②一年中有12个月份，故13个人中，一定有至少2个人的生日在同一个月份，为必然事件；
③是随机事件；
④当0＜a＜1时函数y＝logax在定义域内为减函数，故④为不可能事件；
⑤是随机事件．
答案：①③⑤ ② ④
8．(2015·济南检测)如 ( http: / / www.21cnjy.com )果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球 ( http: / / www.21cnjy.com )的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．
答案：白球
9．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布：
成绩 人数
90分以上 43
80分～89分 182
70分～79分 260
60分～69分 90
50分～59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李 ( http: / / www.21cnjy.com )老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以下．
解：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人)．
修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上，60分～69分，60分以下的频率分别为：≈0.067，≈0.140，≈0.109.
∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况：
(1)“得90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)“得60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以下”记为事件C，则P(C)＝0.109.
10．为了估计某自然保护区中天鹅的数量， ( http: / / www.21cnjy.com )使用了以下方法：先从该保护区中捕获一定数量的天鹅200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，过了一段时间，再从保护区中捕获150只天鹅，其中有记号的有20只，根据以上数据估计自然保护区中天鹅的数量．
解：设保护区中天鹅的数量为n，假定每只天鹅被捕获的可能性是相等的，从保护区中捕一只，设事件A：捕获带有记号的天鹅，则P(A)＝.
第二次从保护区中捕获150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义知P(A)≈.
所以≈，解得n≈1 500.
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
[B.能力提升]
1．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
解析：选B.事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.
2．已知α，β，γ是不重合的平面，a，b是不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件
B．“若a∥b，a α，则b∥α”是必然事件
C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件
D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件
解析：选D.A错误，因为 b⊥α，故是必然事件，不是随机事件．
B错误，因为 b∥α或b α，故是随机事件，不是必然事件．
C错误，因为当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故是随机事件，不是必然事件．
D正确，因为如果两条直线垂直于同一个平面，则两直线必平行，故此是不可能事件．
3．(2015·淄博调研)一家保险公司想了解 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
4．一袋中装有10个红球、8个白球、 ( http: / / www.21cnjy.com )7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．
解析：至少需摸完黑球和白球共15个．
答案：16
5．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干粒进行发芽试验，其结果如下：
种子粒数n 25 70 130 700 2 015 3 000 4 000
发芽粒数m 24 60 116 639 1 819 2 713 3 612
(1)计算各批种子的发芽频率；(保留三位小数)
(2)怎样合理地估计这类种子的发芽率？(保留两位小数)
解：(1)各批种子的发芽频率分别为：0.960，0.857，0.892，0.913，0.903，0.904，0.903.
(2)在这7组种子发芽试验中，前两组试 ( http: / / www.21cnjy.com )验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后五组试验次数较多，且其种子的发芽频率趋向0.90，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.
6．(选做题)表①和表②分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：
表①
抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 015
优等品数m 45 92 194 470 954 1 915
优等品频率
表②
抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 015
优等品数m 60 116 282 637 1 339 1 815
优等品频率
(1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？
解：(1)依据频率公式计算表①中“篮球是 ( http: / / www.21cnjy.com )优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表②中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.
(2)由(1)可知，抽取的篮球数不 ( http: / / www.21cnjy.com )同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表①中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表②中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知：概率是从数 ( http: / / www.21cnjy.com )量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．3．1.3 概率的基本性质
1．问题导航
(1)两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、交集、并集和补集等的含义及其符号表示吗？
(2)如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？
(3)什么叫做并事件？什么叫做交事件？
(4)什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？
(5)概率的基本性质有哪些？
2．例题导读
通过P121例题的学习，学会互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率公式．
1．事件的关系
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发 ( http: / / www.21cnjy.com )生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)．不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件．
类比集合，事件B包含事件A用图表示．
(2)相等关系
如果事件A发生，那么事件B一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作A＝B.
一般地，若B A，且A B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
2．事件的运算
(1)并事件
若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C＝A∪B(或A＋B)．
类比集合，事件A与事件B的并事件用图表示．
(2)交事件
若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝A∩B(或AB)．
类比集合，事件A与事件B的交事件用图表示．
(3)互斥事件、对立事件
若事件A∩B为不可能事件(A∩B＝ )，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
3．概率的几个性质
(1)范围
任何事件的概率P(A)∈[0，1]．
(2)必然事件的概率
必然事件的概率P(A)＝1．
(3)不可能事件的概率
不可能事件的概率P(A)＝0．
(4)概率加法公式
如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)互斥事件一定对立；( )
(2)对立事件一定互斥；( )
(3)互斥事件不一定对立；( )
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；( )
(5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．( )
解析：对立必互斥，互斥不一定对立．
∴(2)(3)正确，(1)错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴(4)错；
只有A与B为对立事件，才有P(A)＝1－P(B)，
∴(5)错．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．口袋内装有一些大小相同的红球 ( http: / / www.21cnjy.com )、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
解析：选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
3．设A、B为两个事件，且P(A)＝0.3，若P(B)＝0.7，则表示A与B关系正确的是________．(填序号)
①A与B互斥 ②A与B对立 ③A与B互斥，但不对立 ④A与B不一定互斥
答案：④
4．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
解：不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才一定成立．
1．在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生．
2．事件A＋B或A∪B，表示事件A与事件B至少有一个发生，事件AB或A∩B，表示事件A与事件B同时发生．
3．概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B)．
4．如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.
5．如果事件A1，A2，…，An中任何 ( http: / / www.21cnjy.com )两个都互斥，那么事件(A1＋A2＋…＋An)表示事件A1，A2，…，An中至少有一个发生；P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
互斥事件、对立事件的判断
判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件． ( http: / / www.21cnjy.com )理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意 ( http: / / www.21cnjy.com )抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然 ( http: / / www.21cnjy.com )不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
方法归纳
判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提 ( http: / / www.21cnjy.com )条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
1．(1)一个射手进行一次射击，有下面 ( http: / / www.21cnjy.com )四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则( )
A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件
C．B与D是互斥事件 D．以上都不对
解析：选A.由互斥事件、对立事件的定义可判断A正确．故选A.
(2)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅 ( http: / / www.21cnjy.com )，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤C与E.
解：①由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
②事件B“至少订一种报纸”与事件 ( http: / / www.21cnjy.com )E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
③事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
④事件B“至少订一种报纸” ( http: / / www.21cnjy.com )中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
⑤由④的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
事件的运算
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，三个均为红球，故C∩A＝A.
[互动探究] 在本例中，设事件E＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由本例的解答可知C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.
方法归纳
(1)事件间的运算：
(2)进行事件的运算时，一是 ( http: / / www.21cnjy.com )要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
2．(1)下列结论：①A、B为两个事件 ( http: / / www.21cnjy.com )，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；③事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．其中错误结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.①、②、③错误．故选D.
(2)设A、B是两个任意的事件，是A的对立事件，下面关系式正确的是( )
A．A＋B＝A B．A＋B＝B
C．A＋AB＝A D.＋B＝A
解析：选C.结合集合的Venn图解决，知C正确．故选C.
概率加法公式的实际应用
(2015·吉林高一检测)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
(链接教材P121例题)
[解] (1)由已知得
∴
顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得
P(A)＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
方法归纳
(1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不漏．
(2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想．
3．(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 4人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.35 0.05 0.04
①至多2个人排队的概率；
②至少2个人排队的概率．
解：设“排队人数为0”，“排队人数为1”， ( http: / / www.21cnjy.com )“排队人数为2”，“排队人数为3”，“排队人数为4”，“排队人数为4人以上”为事件A，B，C，D，E，F，它们两两互斥．
①“至多2个人排队”的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
②“至少2个人排队”的概率为
1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)
＝1－0.1－0.16＝0.74.
(2)某商场有奖销售中， ( http: / / www.21cnjy.com )购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解：①P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)
＝1－(＋)＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
数学思想 转化与化归思想在求解概率问题中的应用
2014年6月19日，隆回麻塘山乡开始出现强降雨，此次洪水灾害中，麻塘山乡是全县降雨量最大的乡镇，也是全县洪水重灾区之一．某地区年降水量(单位：mm)在下列范围内的概率如下表：
年降水量 [600800)， [800，1 000) [1 000，1 200) [1 200，1 400) [1 400，1 600)
概率 0.12 0.26 0.38 0.16 0.08
(1)求年降水量在[800，1 200)范围内的概率；
(2)如果年降水量≥1 200 mm就可能发生涝灾，求该地区可能发生涝灾的概率．
[解] (1)记事件A为“年降水量在[800 ( http: / / www.21cnjy.com )，1 000)”，B为“年降水量在[1 000，1 200)”，则所求事件为互斥事件A和B的并事件，所以年降水量在[800，1 200)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.26＋0.38＝0.64.
(2)记事件C为“年降水量在[ ( http: / / www.21cnjy.com )1 200，1 400)”，事件D为“年降水量在[1 400，1 600)”，则所求事件为互斥事件C和D的并事件，所以年降水量≥1 200 mm的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.16＋0.08＝0.24.
[感悟提高]
转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟 ( http: / / www.21cnjy.com )悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程．在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率问题转化为易求解的概率问题．当一个事件的概率较难求，而对立事件易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和事件去求解．
1．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A．0.5 B．0.3
C．0.6 D．0.9
解析：选A.此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5.故选A.
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A与B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
答案：
3．如图所示，靶子由一个中心圆面 ( http: / / www.21cnjy.com )Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
解析：不中靶与中靶互为对立事件．
答案：0.10
4．抛掷一枚骰子，记A为事 ( http: / / www.21cnjy.com )件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．
答案：A，B A，B
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
解析：选D.由互斥事件和对立事件的定义易知，D正确．
2．如果事件A、B互斥，记A、B分别为事件A、B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B．A∪B是必然事件
C．A与B一定互斥 D．A与B一定不互斥
解析：选B.用Venn图解决此类问题较直观．
3．(2015·淄博高一检测)某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )
A．至少有1名男生与全是女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D．恰有1名男生与恰有2名女生
解析：选D.A中两事件互斥且对立，B、C中两个事件能同时发生故不互斥，D中两事件互斥不对立，故选D.
4．一组试验仅有四个互斥的结果A、B、C、D，则下面各组概率可能成立的是( )
A．P(A)＝0.31，P(B)＝0.27，P(C)＝0.28，P(D)＝0.35
B．P(A)＝0.32，P(B)＝0.27，P(C)＝0.06，P(D)＝0.47
C．P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝
D．P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝
解析：选D.由已知得P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，故选D.
5．(2015·延边高一检测)掷一枚 ( http: / / www.21cnjy.com )骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由题意可知表示“大于等于5的点数出现”，事件A与事件互斥．由概率的加法公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C.
6．(2015·临沂高一检测)一个盒子中有 ( http: / / www.21cnjy.com )10个相同的球，分别标有号码1，2，3，…，10，从中任选一球，则此球的号码为偶数的概率是________．
解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为，故有＋＋＋＋＝.
答案：
7．(2015·合肥高一检测 ( http: / / www.21cnjy.com ))为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为______．
解析：设“包括汽车在内的进口商 ( http: / / www.21cnjy.com )品恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A＋B，而A，B互斥，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
答案：0.79
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．
解析：∵A，B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B), ∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3
9．(2015·台州高一检测)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．向三个相邻的军火库投一枚炸弹， ( http: / / www.21cnjy.com )炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第 ( http: / / www.21cnjy.com )一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A、B、C是互斥事件，且D＝A∪B∪C，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.
[B.能力提升]
1．从1，2，…，9中任取两数，①恰有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：选C.从1，2，…，9中任取 ( http: / / www.21cnjy.com )两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．故选C.
2．(2015·北京西城质检)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记其中被污损的数字为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)，令90>(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.
3．盒子中有大小、形状均相同的一些黑 ( http: / / www.21cnjy.com )球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率是________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率为________．
答案：0.4 0.82 0.6
4．甲射击一次，中靶概率是 ( http: / / www.21cnjy.com )p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为______；乙射击一次，不中靶概率为______．
解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案：
5．猎人在相距100 m处射击一野兔， ( http: / / www.21cnjy.com )命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
解：设距离为d，命中的概率为P，则有P＝，将d＝100，P＝代入，得k＝Pd2＝5 000，所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1、A2、A3，则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.
6．(选做题)三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能 ( http: / / www.21cnjy.com )顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A、B、C能答对题目的概率P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，诸葛亮D能答对题目的概率P(D)＝，如果将三个臭皮匠A、B、C组成一组与诸葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？
解：如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目彼此 ( http: / / www.21cnjy.com )互斥(他们能答对的题目不重复)，则P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝>P(D)＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A、B、C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．3．3.2 均匀随机数的产生
1．问题导航
(1)如何产生均匀随机数？
(2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率？
(3)如何计算不规则图形的面积？
2．例题导读
通过例2的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法求概率；
通过例3的学习，学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值或不规则图形的相关量的值；
通过例4的学习，学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法近似计算不规则图形的面积．
1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0，1]区间上均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand(__)”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)随机模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数；( )
(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；( )
(3)计算器只能产生均匀随机数．( )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等；
(2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到；
(3)计算器也可以产生整数值随机数．
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B．旋转的次数越多，估计的结果越精确
C．旋转时可以按规律旋转
D．转盘的半径越大，估计的结果越精确
解析：选B.旋转时要无规律旋转，否 ( http: / / www.21cnjy.com )则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B正确，A不正确．
3．b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．
解析：0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是[－6，－3]，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
答案：[－6，－3]
4．整数值随机数与均匀随机数有何异同？
解：二者都是随机产生的随机数，在一 ( http: / / www.21cnjy.com )定的区域长度上出现的机率是均等的，但是整数值随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数 ( http: / / www.21cnjy.com )值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．
2．用随机模拟试验求不规则图形的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a) ( http: / / www.21cnjy.com )＋a，X∈[0，1]，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握．
用随机模拟法估计长度型的概率
取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
(链接教材P137例2)
[解] 设剪得两段的长都不小于2 m为事件A.
法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；
(2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数；
(3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m；
(4)则概率P(A)的近似值为.
法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合)；
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数m及试验总次数n；
(3)则概率P(A)的近似值为.
方法归纳
用均匀随机数模拟的关键是把实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
1．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
解：记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b＜c的次数N1，满足b＜c＜a的次数N2；
③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
用随机模拟法估计面积型的概率
利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函数y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．
[解] (1)利用计算机产生 ( http: / / www.21cnjy.com )两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换a＝a1*4－3，b＝b1*3得到一组[－3，1]和一组[0，3]上的均匀随机数．(3)统计试验总数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)数)．(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为，所以≈.所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
方法归纳
解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置．
2．解放军某部队进行特种兵跳 ( http: / / www.21cnjy.com )伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
解：设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7的点(a，b)的个数N.满足1＜a2＋b2＜4的点(a，b)的个数N1.
(4)计算频率fn(A)＝，即为所求概率的近似值．
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组[－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b＜2a的点(a，b)数)．
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)设阴影部分的面积为S.用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，所以≈，所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
方法归纳
解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．
3．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．
解：法一：我们可以向正方形区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据≈，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
数学思想 用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值
用随机模拟方法求函数y＝与x轴和直线x＝1围成的图形的面积．
[解] 如图所示，阴影部分是函数y＝的图象与x轴和直线x＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤：
(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x，y)的个数)；
(3)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
(4)直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为＝S.
则S≈，即阴影部分面积的近似值为.
[感悟提高]
(1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．
(2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方 ( http: / / www.21cnjy.com )法．用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．
1．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0，1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
解析：选D.A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：选B.∵≈，∴S阴影≈S正方形＝.
3．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为( )
A．0.25 B．0.5
C．0.6 D．0.75
解析：选D.由题意可知，本题是与长度有关的几何概型，P＝＝0.75.
[A.基础达标]
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m是n的近似值
解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y可取为( )
A．－3x B．3x
C．6x－3 D．－6x－3
解析：选C.法一：利用伸缩和平移变换进行判断；
法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.
3．欧阳修《卖油翁》中写到：( ( http: / / www.21cnjy.com )翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知所求的概率为P＝＝.
4．(2015·青岛高一 ( http: / / www.21cnjy.com )检测)某人下午欲外出办事，我们将12：00～18：00这个时间段称为下午时间段，则此人在14：00～15：00之间出发的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.所有可能结果对应时间段为18－12＝6，事件发生的时间段为15－14＝1，∴P＝.
5．如图所示，四个可以自 ( http: / / www.21cnjy.com )由转动的转盘被平均分成若干个扇形．转动转盘，转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是( )
A．转盘1和转盘2 B．转盘2和转盘3
C．转盘2和转盘4 D．转盘3和转盘4
解析：选C.根据每个转盘中白色区域面积与转盘 ( http: / / www.21cnjy.com )总面积的比值分别计算出指向白色区域的概率，P1＝，P2＝＝，P3＝＝，P4＝，故P2＝P4.
6．如图，矩形的长为6，宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析：∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，
∴＝＝，∴S阴＝.
答案：
7．(2013·高考福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．
解析：由3a－1<0，0≤a≤1，得0＜a<，而0～1的“长度”为1，故所求概率为.
答案：
8．如图，在一个两边长分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．
解析：∵图中梯形的面积为s＝×(a＋a)×b＝ab，矩形的面积为S＝ab，
∴落在梯形内部的概率为：P＝＝＝.
答案：
9．如图所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．
解：记事件A为“点落在半圆内”．
(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝b1*2；
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足a2＋b2<4的点(a，b)个数)；
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率近似值；
(5)用几何概型的概率公式求概率，P(A)＝，所以≈，即S半圆≈，为半圆面积的近似值．
又2π≈，所以π≈.
10．在长为14 cm的线段 ( http: / / www.21cnjy.com )AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间的概率．
解：设事件A表示“圆的面积介于9π cm2到16π cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0，14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3，4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
[B.能力提升]
1．在平面直角坐标系xOy中，设D是 ( http: / / www.21cnjy.com )横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为( )
A．1－ B.
C. D.
解析：选B.由题意知，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，如图所示，因此P＝＝.
2．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8，8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a ( http: / / www.21cnjy.com )2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
解析：选A.P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
3．已知正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD A1B1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是________．
解析：设正方体的棱长为2.
正方体ABCD A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V1＝π×13＝.
则点M在球O内的概率是＝.
答案：
4．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
总的投掷次数 50 150 300
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m 14 43 93
石子落在阴影内次数n 29 85 186
则估计封闭图形ABC的面积为________ m2.
解析：由记录≈1∶2，
可见P(落在⊙O内)＝＝，
又P(落在⊙O内)＝，
所以＝，SABC＝3π(m2)．
答案：3π
5．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，设点A是圆C上任意一点，求点A到直线l的距离小于2的概率．
解：由x2＋y2＝12，知圆心O(0，0)，
∴圆心到直线l的距离
d＝＝5，
如图所示，设与直线l：4x＋3y＝25平行且到该直线的距离为2的直线为l′，且l′与圆C交于P、Q两点．
因此点O(0，0)到l′的距离为3，
又圆C的半径r＝2，
∴在△POQ中，可求|PQ|＝2，则∠POQ＝.
记“点A到直线l的距离小于2”为事件M，则事件M发生即点A在弧上，
∴P(M)＝＝＝.
6．(选做题)平面上有一个边长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )的等边△ABC网格，现将直径等于2的均匀硬币抛掷在此网格上(假定都落在此网格上)，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．
解：设事件M＝{硬币落下后与等边△ABC的网格线没有公共点}．
要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC内部，
故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC.
当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置．
如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG区域，因此事件M所构成的区域为△EFG区域．
经计算得△EFG的边长为2.
∴P(M)＝＝＝.