2025高考数学考二轮专题过关检测5 统计与概率数 -专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮 专题过关检测五　统计与概率
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023·新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(　　)
A.种 B.种
C.种 D.种
2.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
生产数 6 12 18 30 24 10
据表中数据,结论中正确的是(　　)
A.100块稻田亩产量中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中的亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
3.某服装品牌市场部门为了研究销售情况,统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(单位:元)和销售额y(单位:元)的数据,整理得到下面的散点图.
已知销售额y=单价x×销量z,根据散点图,下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的经验回归方程类型的是(　　)
A.z=a+bx B.z=a+
C.z=a+bx2 D.z=a+bex
4.已知在盒中有大小、质地相同的红色、黄色、白色的球各4个,分别编号为1,2,3,4,现从中任意摸出4个球,则摸出白球个数的均值是(　　)
A. B. C. D.
5.某学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩,将学生的成绩按照[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]分成4组,制成的频率分布直方图如图所示.现用比例分配的分层随机抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2人,则这2人的数学成绩不在同一组的概率为(　　)
A. B. C. D.
6.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种,其中“净”和“丑”需要画脸谱,“生”“旦”只略施脂粉,俗称“素面”.现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演体验活动,其中女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色,若三人各自独立地从四个角色中随机抽选一个,则甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角色的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出一个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.如图,高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落,将随机地向两边等概率的下落,当有大量的小球都滚下时,最终在钉板下面不同位置收集到小球.若一个小球从正上方落下,落到3号位置的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
10.为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
11.(2024·广西南宁模拟)甲、乙、丙、丁4人做传接球训练,球从甲手中开始,等可能地随机传向另外3人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在甲手中的概率为Pn,易知P1=0,P2=.下列选项正确的是(　　)
A.P3=
B.为等比数列
C.Pn=(-)n-1
D.第4次传球后,球落在甲手中的不同传球方式有20种
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D=　　　　　.
13.某学校高一、高二、高三共有学生1 900名,为了解同学们对学校关于对手机管理的意见,计划采用分层随机抽样的方法,从这1 900名学生中抽取一个样本容量为38的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为　　　　　.
14.某班共有50名学生,在期末考试中,小明因病未参加数学考试.参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时,老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算,那么全班50名学生的数学成绩的标准差为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表.
机床 品级 合计
一级品 二级品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附:χ2=.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
16.(15分)(2024·广西4月模拟)为提升基层综合文化服务中心服务效能,广泛开展群众性文化活动,某村干部在本村的村民中进行问卷调查,将他们的成绩(满分:100分)分成7组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].整理得到如下频率分布直方图.
(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)从成绩在[30,40),[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人,再从这6人中任选3人,记这3人中成绩在[80,90)内的村民人数为X,求X的分布列与期望.
17.(15分)(2024·广西南宁一模)某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产.
(1)在试产初期,该款血液试剂的1批次生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中,经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰,合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次1的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个血液试剂恰为合格品的概率;
(2)已知切比雪夫不等式:设随机变量X的期望为E(X),方差为D(X),则对任意ε>0,均有P(|X-E(X)|≥ε)≤.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为80%,现随机选择了100份血液样本,使用该血液试剂进行检测,每份血液样本检测结果相互独立,显示有效的份数不超过60份,请结合切比雪夫不等式,通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.
18.(17分)某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表.
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 1 2 3 4 5
使用扫码支付的人次y/万人 5 12 16 19 21
(1)观察数据发现,使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式:y=c+dln x,通过散点图(图略)可以发现y与x之间具有相关性.设ω=ln x,利用ω与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的经验回归方程,并估计2024年该商场使用扫码支付的人次;
(2)为提升销售业绩,该商场近期推出两种付款方案.方案一,使用现金支付,每满200元可参加1次抽奖活动,抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球(其中红球有3个,黑球有5个),顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球,则打7折;若摸出2个红球,则打8折,其他情况不打折.
方案二,使用扫码支付,此时系统自动对购物的顾客随机优惠,据统计可知,采用扫码支付时有的概率享受8折优惠,有的概率享受9折优惠,有的概率享受立减10元优惠.
若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与均值;
②试比较小张选择方案一与方案二付款,哪个方案更划算
附:对于一组具有线性相关关系的数据(t1,y1),(t2,y2),(t3,y3),…,(tn,yn),其经验回归方程为t+.
相关数据:≈0.96,≈6.2,ωiyi≈86,ln 6≈1.8(其中ω=ln x).
19.(17分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
专题过关检测五　统计与概率 答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D　解析 由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照比例分配的分层随机抽样的原理,应从初中部抽取×60=40(人),从高中部抽取×60=20(人).
第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法,
根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D.
2.C　解析 由6+12+18=36<50,6+12+18+30=66>50,得中位数在[1 050,1 100)范围内,故A错误;
亩产量低于1 100 kg的稻田生产数为6+12+18+30=66,=66%<80%,故B错误;
亩产量最大值在[1 150,1 200)范围内,最小值在[900,950)范围内,故极差在(1 150-950,1 200-900)范围内,即200 kg至300 kg之间,故C正确;
900×+950×+1 000×+1 050×+1 100×+1 150×=1 042,大于1 000 kg,故D错误.
故选C.
3.B　解析 由题中散点图可知,y与x成线性相关,设经验回归方程为y=m+kx,由题意z=,所以z=+k,对应B最适合.
4.C　解析 设摸出的白球的个数为X,则X=0,1,2,3,4,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.
所以摸出白球个数的均值是E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
5.D　解析 由题意可知,数学成绩在[75,100)的学生的频率为0.012×25=0.3,数学成绩在[125,150]的学生的频率为0.008×25=0.2.
用比例分配的分层随机抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,则其中有3人的成绩在[75,100),有2人的成绩在[125,150],从这5人中任选2人,
这2人成绩不在同一组的概率P=.
6.B　解析 三人选角的不同结果共43种,若甲如愿,则已满足题意,故乙、丙可随机选择,此时共2×42=32种;
若甲未如愿,则丙必选旦角,则甲选生角或旦角,乙只能选净角或丑角,共2×1×2=4种.
所求概率为.
7.A　解析 从盒中任取1球,是红球记为A1,是黑球记为A2,是白球记为A3,则A1,A2,A3彼此互斥,设第二次抽出的是红球记为事件B,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=.
8.C　解析 记一个小球从正上方落下,落到3号位置的事件为M,一个小球从正上方落下,落到3号位置,需要4次碰撞中有2次向左、2次向右,则一个小球从正上方落下落到3号位置的概率为P(M)=.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.CD　解析 xi,+c,故A错误;两组样本数据的样本中位数相差c,故B错误;(xi-)2,[(xi+c)-(+c)]2=,故C正确;x极差=xmax-xmin,y极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故D正确.
10.BC　解析 由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误.P(X>2)1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC.
11.BC　解析 第n次传球之后球在甲手中,则第n-1次传球之后球不在甲手中,其概率为1-Pn-1,第n次传球有三分之一的可能传给甲,故Pn=(1-Pn-1),故Pn-=-(Pn-1-),故为等比数列,选项B正确,Pn-=-(-)n-1,故Pn=(-)n-1,选项C正确,P3=×(-)2=,选项A错误;P4=×(-)3=,故第4次传球后,球落在甲手中的传球方式有34×=21种,选项D错误.故选BC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.1　解析 因为X~B(100,p),所以E(X)=100p=20,解得p=,
所以D(X)=100p(1-p)=100×=16.
故D×D(X)=×16=1.
13.900　解析 高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,设从高二年级抽取的学生人数为x,则从高一、高三年级抽取的人数分别为x,x.
由题意可得x+x+x=38,所以x=12,故x=18.
设该校高一年级的学生人数为n,再根据,求得n=900.
14.　解析 设参加考试的49名学生的数学成绩为xi(i=1,2,3,…,49),平均成绩为,小明的数学成绩为x50.
由题意得=2,则全班50名学生的数学成绩的标准差为
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解 (1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为;
乙机床生产的产品中一级品的频率为.
(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.
χ2==≈10.256>6.635=x0.010.
依据小概率值α=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
16.解 (1)由题图可知,10(3a+0.01+0.015+0.03×2)=1,解得a=0.005,该村村民成绩的平均数约为(35+45+95)×0.05+(55+65)×0.3+75×0.15+85×0.1=64.5.
(2)从成绩在[30,40),[80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人,其中成绩在[30,40)的村民有6×=2人,成绩在[80,90)的村民有4人,从中任选3人,X的取值可能为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
则X的分布列为
X 1 2 3
P
故E(X)=1×+2×+3×=2.
17.解 (1)设批次1的血液试剂智能自动检测合格为事件A,人工抽检合格为事件B,由已知得P(A)=,P(AB)=1-,则工人在流水线进行人工抽检时,P(B|A)=.
(2)设100份血液样本中检测有效的份数为X.
假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的,那么在此假设下X~B(100,0.8),E(X)=100×0.8=80,D(X)=100×0.8×(1-0.8)=16.
由切比雪夫不等式可知P(X≤60)≤P(|X-80|≥20)≤=0.04.
即在假设下,100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04,此概率很小,据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.
18.解 (1)计算知=14.6,
所以=10,
≈14.6-10×0.96=5,
所以所求的经验回归方程为=10ln x+5,
当x=6时,=10ln 6+5≈23(万人),
估计2024年该商场使用扫码支付的有23万人次.
(2)①选择方案一,由题意知付款金额为X元,则可能的取值为140,160,200,
P(X=140)=,P(X=160)=,P(X=200)=1-,
故X的分布列为
X 140 160 200
P
所以E(X)=140×+160×+200×=188(元).
②选择方案二,记需支付的金额为Y元,
则Y的可能取值为160,180,190,则其对应的概率分别为,
所以E(Y)=160×+180×+190×=182,
E(X)>E(Y),故从概率角度看,小张选择方案二付款优惠力度更大.
19.解 (1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,
则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi,由题意可知p1=,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.
则pi+1-pi+(pi-),
故数列{pi-}为公比为的等比数列.
故pi-=(p1-)×,得到pi=,i∈N*.
(3)由(2)知,设随机变量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,则Xi服从两点分布.
由题可知,当n≥1时,E(Y)=pi=[1-]+,n∈N*.
综上所述,可知E(Y)=pi=[1-]+,n∈N