专题四 三角函数、解三角形中的新定义问题
一、题型解读
在新结构高考中,新定义压轴解答题已成为创新的主流,各知识板块均可命题(甚至在未学习过的数学领域进行命题).本板块主要从三角函数与解三角形两个方面命制新概念解答题,虽创新力度不大,但综合程度较高,思维较灵活.
二、题型解析
题型一 与三角函数有关的新概念问题
例1 若函数y=f(x)满足f(x)=f(x∈R),则称函数y=f(x)为“M函数”.
(1)试判断y=sin x是否为“M函数”,并说明理由;
(2)函数f(x)为“M函数”,且当x∈时,y=sin x,求y=f(x)的解析式,并写出在上的单调增区间;
(3)在(2)条件下,当x∈,关于x的方程f(x)=a(a为常数)有解,记该方程所有解的和为S,求S.
题型二 与解三角形有关的新概念问题
例2 定义:如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍,那么这个三角形叫做倍角三角形.如图,△ABC的面积为S,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=.
(1)证明:△ABC是倍角三角形;
(2)若c=9,当S取最大值时,求tan B.
三、巩固提升
1.(与三角函数有关新定义+正、余弦定理+证明数列不等式)(2024·开封三检)点S是直线PQ外一点,点M,N在直线PQ上(点M,N与点P,Q任一点不重合).若点M在线段PQ上,记(P,Q;M)=;若点M在线段PQ外,记(P,Q;M)=-.记(P,Q;M,N)=.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,A=60°,点D是射线BC上一点,且(B,C;D)=.
(1)若AD=+1,求∠CDA;
(2)射线BC上的点M0,M1,M2,…满足(B,C;Mn,D)=-,n∈N,
①当n=0时,求|AM0|+8|AD|的最小值;
②当n≠0时,过点C作CPn⊥AMn于Pn,记an=,求证:数列{an}的前n项和Sn<2+.
2.(2024·长沙一中适考)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2B＋cos 2C－cos 2A＝1.
(1)求A；
(2)若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求·＋·＋·.
3.(2024·高邮调研)如果存在实数对(a，b)使函数f(x)＝asin x＋bcos x(x∈R)，那么我们就称函数f(x)为实数对(a，b)的“正余弦生成函数”，实数对(a，b)为函数f(x)的“生成数对”；
(1)求函数f(x)＝4cos sin－1的“生成数对”；
(2)若实数对(k，－1)的“正余弦生成函数”g(x)在x＝x0处取最大值，其中2
(3)已知实数对(－，1)为函数h(x)＝tcos的“生成数对”，试问：是否存在正实数m使得函数y＝h－h＋m2的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.答案详解
专题四 三角函数、解三角形中的新概念问题
二、题型解析
例1 解 (1)y=sin x不是“M函数”,理由如下:
f=sinx=f(x),f=sin,
f=sin ,则f,
故y=sin x不是“M函数”.
(2)函数f(x)满足f(x)=f,故f(x)的周期为T=,因为f,所以f(x)=f,
当x∈时,f(x)=f,k∈Z,
当x∈时,f(x)=f=sin=cos,k∈Z,
综上,f(x)=
f(x)=sin,x∈,kπ+π,k∈Z中,当k=0时,x∈,f(x)=sin x,此时单调递增区间为,
f(x)=cos,x∈,,k∈Z中,当k=1时,x∈,f(x)=cos,
则x-,当x-,即x∈时,函数单调递增,经检验,其他范围不是单调递增区间,
所以在,.
(3)由(2)知,函数f(x)在上的图象为:
当0≤a<或等于1时,f(x)=a有4个解,由对称性可知,其和为×2=4π;
当a=时,f(x)=a有6个解,由对称性可知,其和为=6π;
当所以S=
例2 (1)证明 因为sin C==,又sin C≠0,所以=1,则b2=c2-ab,
又由余弦定理知,b2=a2+c2-2accos B,故可得2ccos B=a+b,由正弦定理,2sin Ccos B=sin A+sin B,
又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入上式可得sin Ccos B=sin Bcos C+sin B,
即sin Ccos B-sin Bcos C=sin B,sin(C-B)=sin B,则有C-B=B,C=2B,
故△ABC是倍角三角形.
(2)解 因为C=2B,所以A=π-B-C=π-3B>0,故0则S=asin B===×(sin 2B+cos 2Btan B)
==,
设x=tan B∈(0,),f(x)=,则f'(x)==,
令f'(x)=0得x2=2-3(舍),
且当00,当2-3故当x=时,f(x)取最大值,此时S也取最大值,故tan B=.
三、巩固提升
1.解(1)因为(B,C;D)=>0,D是线段BC上一点,b=2,所以(B,C;D)=,故sin∠BAD=sin∠CAD,
所以AD为∠BAC的角平分线,又A=,所以∠BAD=∠CAD=,
若|AD|=+1,在△ACD中,由余弦定理可得,|CD|2=|AC|2+|AD|2-2|AC|·|AD|cos∠CAD=4+(+1)2-4×(+1)cos =2,
故|CD|=,
由正弦定理可得,故,解得sin∠CDA=,由于AD是最大的边,所以∠CDA=.
(2)设∠CAMn=α,
①当n=0时,因为(B,C;M0,D)=-<0,所以点M0在线段BC的延长线上,所以 2sin,
因为 |AD|·|AM0|sin +|AC|·|AM0|,,
所以8|AD|+|AM0|=(8|AD|+|AM0|)=≥,
当且仅当,即|AM0|=2|AD|取等号,此时|AM0|=,|AD|=,
由于tan∠ACM0=,∠ACM0>,等号可以取到,故|AM0|+8|AD|的最小值为.
②证明 当n≠0,(B,C;Mn,D)=-<0,所以点Mn在线段BC的延长线上,
所以 2sin=(1+n)sin α tan α=,
所以|CPn|=|AC|sin α=,an=,n=1时,所以S1=a1=,
n≥2,an=,
所以Sn=a1+a2+…+an<=,
综上Sn<2+.
2.解 (1)由已知△ABC中cos 2B+cos 2C-cos 2A=1,即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,
故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形,即A=.
(2)由(1)知A=,所以三角形ABC的三个角都小于120°,
则由费马点定义可知∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
设||=x,||=y,||=z,由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC与bc=1得
=bc=1,整理得xy+yz+xz=,
则=xy·+xz·.
3.解 (1)∵f(x)=4cos -1=4cos -1=2-1=sin x+cos x,
故f(x)的“生成数对”为(,1).
(2)由题意知g(x)=ksin x-cos x=sin(x-φ),其中tan φ=,
∵g(x)在x=x0处取最大值,∴x0-φ=2nπ+(n∈Z),∴x0=2nπ++φ(n∈Z),
∴tan x0=tan=tan=-k,∴tan 2x0=.
∵2即tan 2x0的取值范围为.
(3)∵h(x)=tcos=sin x=-sin x+cos x,∴t=2,∴h(x)=2cos,h=2cos 2x,
h=-2sin x,
∴y=h+m2=2cos 2x+msin x+m2=-4sin2x+msin x+m2+2,
令u=sin x∈[-1,1],g(u)=-4u2+mu+m2+2=-4m2+2,
①当∈(0,1],即0②当∈(1,+∞)时,即m>8时,g(u)max>g(1)=m2+m-2=4,解得m=-3(舍)或m=2(舍),
综上所述,存在满足题意的正实数m,m=.