专题五 平面向量的基本运算及应用讲义
一、考情分析
高频考点 高考预测
平面向量的线性运算及基本定理(共线向量定理,平面向量基本定理) 本部分以考查与平面向量基本定理有关的线性运算、向量数量积的运算、向量的夹角及模为主.单独命题时以选择、填空题考查,难度中等偏下,有时也在解答题中突出向量的工具作用,难度中等偏下
平面向量的数量积及其应用(投影向量、平面向量的夹角(垂直)、模)
与向量有关的最值、范围问题(向量法与坐标法)
二、回归真题
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A. D.1
3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=DE,,则λ+μ= ;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则的最小值为 .
三、考点探究
考点一 向量的线性运算
例1 (1)(2024·浙江9+1高中联盟模拟)已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,
=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
(2)(2024·如皋诊断)已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且,若,则x+y=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
总结 1.同一组基底下,向量的表达式是唯一的.
2.三点共线的向量模型(爪子模型)的应用步骤:
(1)确定共线的三点:找到平面内共线的三点A,P,B和任意一点O;
(2)写成规范形式:;
(3)应用结论:A,P,B三点共线 存在实数λ,使得+(1-λ).
训练1 (1)(2024·大连双基测试)在△ABC中,若,,则λ=( )
A. C.-
(2)(2024·扬州中学检测)在△ABC中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若,则的最小值为 .
考点二 向量的数量积运算
例2 (1)(2024·湖州一中测试)已知非零向量a,b,c满足|a|=|b|,c=a,若c为b在a上的投影向量,则向量a,b夹角的余弦值为( )
A.
(2)(2024·济南质检)平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,∠BAD=,若,,则=( )
A.4 B.6 C.18 D.22
总结 常用方法:(1)向量法;(2)坐标法;(3)利用投影向量、数量积的几何意义及性质.
训练2 (1)(2024·徐州适应性测试)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=( )
A.2 B.5
C.2或5 D.或5
(2)(2024·镇海中学期末)已知e1,e2是单位向量,且它们的夹角是60°.若a=e1+2e2,b=λe1-e2,且|a|=|b|,则λ=( )
A.2 B.-2
C.2或-3 D.3或-2
考点三 平面向量中的最值(范围)问题
例3 (1)(2024·浙江名校协作体检测)已知平面向量a,b满足|a|=1,
=,则|a-b|的最大值为( )
A.2 B.+1 D.3
(2)(2024·如皋诊断)已知平面向量a,b不共线,且|a|=1,a·b=1,记b与2a+b的夹角是θ,则θ最大时,|a-b|=( )
A.1 B. D.2
总结 1.向量模的性质:a2=|a|2,||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,|a·b|≤|a||b|.
2.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2],在平行四边形ABCD中,(||2),在三角形ABC中,M为BC边中点,|2.
3.求最值(范围)问题的常用方法:(1)函数法;(2)不等式法;(3)坐标法;(4)数形结合法;(5)利用极化恒等式;(6)利用模的性质和结论.
训练3 (1)(2024·长郡中学检测)已知矩形ABCD的长AB=4,宽BC=3.点P在线段BD上运动(不与B,D两点重合),则的取值范围是 ( )
A.(-16,9) B.(-9,16)
C.[0,9) D.(-16,0]
(2)(2024·湖南部分重点高中联考)如图,圆O1和圆O2外切于点P,A,B分别为圆O1和圆O2上的动点,已知圆O1和圆O2的半径都为1,且=-1,则||2的最大值为 ( )
A.2 B.4 C.2
专题五 平面向量的基本运算及应用练习
(分值：73分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.(2024·徐州调研)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝ke1－4e2(k∈R)共线，则( )
A.k＝0 B.k＝±2 C.k＝±1 D.k＝
2.(2024·吉安一中适应性测试)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t，2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为( )
A. B. C.1 D.3
3.(2024·苏锡常镇四市一调)已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为( )
A. B. C.π D.π
4.(2024·高邮调研)已知△ABC的外接圆圆心为O，＝(＋)，||＝||，则在上的投影向量为( )
A.－ B. C.－ D.
5.(2024·九省联考)已知点Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记点P的轨迹为E，则( )
A.E是一个半径为的圆 B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为 D.E是两条平行直线
6.(2024·江西重点中学协作体联考)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为( )
A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8]
7.(2024·郑州二预)在平面直角坐标系xOy中，设A(2，4)，B(－2，－4)，动点P满足·＝－1，则tan∠PBO的最大值为( )
A. B. C. D.
8.(2024·赣州期末)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是圆x2＋y2＝2上两点.若x1x2＋y1y2＝－1，则x1＋x2＋y1＋y2的取值范围是( )
A. B.[－1，1] C.[－，] D.[－2，2]
二、多选题
9.(2024·杭州期末)已知平面向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，则下列命题正确的是( )
A.若a∥b，则x＝－3 B.若a⊥b，则x＝
C.若|a＋b|＝，则x＝0 D.若〈a，b〉＝，则x＝－
10.(2024·浙江L16联盟适应性测试)设θ∈(0，π)，向量a＝(sin θ，cos θ)，向量b＝(sin 2θ，cos 2θ)，则( )
A.a，b必不互为平行向量 B.a，b必不互为垂直向量
C.存在θ，使a＝b D.对任意θ，(a＋b)⊥(a－b)
11.(2024·高邮调研)如图，已知直线l1∥l2，点B是l1，l2之间的一个定点，点B到l1，l2的距离分别为1和2，点A是直线l2上的点，点C是直线l1上的点，且|＋|＝||，平面内一点G满足：＋＋＝0，则( )
A.△ABC为直角三角形 B.＝(＋)
C.△GAB面积的最小值是 D.||≥1
三、填空题
12.(2024·苏州调研)已知单位向量a，b的夹角为θ，向量c＝b－a，若|c|∈Z，则cos θ＝________(写出一个可能值).
13.(2024·徐州适应性测试)已知点A(1，0)，B(5，0)，若·≤4，则点P到直线3x－y＋1＝0距离的最小值为________.
14.(2024·宿迁调研)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值为________.答案详解
专题五 平面向量的基本运算及应用讲义
二、回归真题
1.D [法一 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,
所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
法二 因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).
因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.]
2.B [由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.
将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=,所以|b|=,故选B.]
3. [以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E,所以,=(-1,0),=(0,1),
因为,所以=λ(-1,0)+μ(0,1),所以λ=,μ=1,所以λ+μ=.
由B(1,0),E可得直线BE的方程为y=-3(x-1),设F(a,3-3a),则G,所以=(a,3-3a),
,所以+(3-3a)·=5a2-6a+,所以当a=时,取得最小值,为-.]
三、考点探究
例1 (1)C (2)D [(1)对于A,因为=e1+2e2,=-3e1+2e2,若A,B,C三点共线,设,则无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B,若A,B,D三点共线,设,则无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;对于C,因为=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,又AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确.对于D,因为=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,=-3e1+2e2,设,则无解,所以B,C,D三点不共线,故D错误;故选C.
(2)因为,边BC的中点为D,所以=3()+2,即,所以,所以()=3,所以5,即5,因为,所以x=5,y=6,故x+y=11.故选D.]
训练1 (1)A (2)9 [(1)由,则,则,()=,故,则m=2,=λ,故λ=.故选A.
(2)如图,
因为,E为边AC的中点,所以,因为B,E,D三点共线,所以x+2y=1(x>0,y>0),则×(x+2y)=5+=9,当且仅当x=,y=时取等号,故的最小值为9.]
例2 (1)B (2)C [(1)由c=a,c为b在a上的投影向量,c=a=|b|cos·a=(cos)a,所以a=cosa,故cos=,故选B.
(2)由题意可知,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.
因为AB=3,AD=4,∠BAD=,所以A(0,0),B(3,0),C(5,2),D(2,2).
设E(x,y),则=(x-3,y),=(5-x,2-y),由,得(x-3,y)=(5-x,2-y),即所以E(4,).设F(x1,y1),则=(x1-5,y1-2),=(2-x1,2-y1),由,得(x1-5,y1-2)=2(2-x1,2-y1)=(4-2x1,4-2y1),即所以F(3,2).所以=(4,),=(3,2),=(4,)·(3,2)=4×3+=18.故选C.]
训练2 (1)C (2)D [(1)由向量a,b,c两两的夹角相等,得===0或===,当===0时,|a+b+c|=5;当===时,|a+b+c|=
=2.故选C.
(2)∵|a|=|b|,即|e1+2e2|=|λe1-e2|,∴+4e1·e2+4-2λe1·e2+,∴1+4×1×1×+1,解得λ=3或λ=-2.故选D.]
例3 (1)C (2)C [(1)设a=,b=,a+b=,如图1,
图1 图2
由题意,即在平行四边形OACB中,OA=1,∠OCA=,求AB的最大值.延长OA至OD,使OA=AD,则CD=AB,由正弦定理,O,A,C三点所在外接圆的直径2R==2,所以R=1,设圆心为G,如图2,
所以可知∠GOD=,又OG=1,OD=2,所以由余弦定理可得DG=
,则由图形可知CD≤DG+R=1+,故选C.
(2)设|b|=x,则b·(2a+b)=2a·b+b2=2+x2,|2a+b|==,所以cos θ==.易得cos θ>0,
cos2θ==,当x2=4时,cos2θ取得最小值,θ取得最大值,此时|a-b|=.故选C.]
训练3 (1)A (2)D [(1)由题意得,点P在线段BD上,设,,n=1-m,且n∈(0,1).
以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3),则=(-4,3),=(4,3),
由=m(4,0)+n(0,3)=(4m,3n),故=(4-4m,3-3n),所以=
-4(4-4m)+3(3-3n)=9-25n,由于n∈(0,1),所以∈(-16,9).故选A.
(2)=()·()=·()+=-1,所以|·()|≤||,所以|,
即|-2≤0,解得-1-.
|≤2+2×(-
1+)=2.]
答案详解
专题五 平面向量的基本运算及应用练习
1.B [因为e1,e2是两个不共线的向量,由m=-e1+ke2,n=ke1-4e2共线,则存在实数λ∈R,使得m=λn,则则k=±2.故选B.]
2.C [由a-b与a垂直,得(a-b)·a=0,则a·b=a2=1,所以|a-b|=
≥1,所以当t=1时,|a-b|的最小值为1.]
3.B [由题意知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,故a+b=-c,所以(a+b)2=c2,所以a2+2a·b+b2=3,所以a·b=,则cos=,∈[0,π],故=,故选B.]
4.D [因为(),所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点,即BC为外接圆的直径,如图,
又||,所以△ABO为等边三角形,则∠ACB=30°,故||cos 30°,所以向量.故选D.]
5.C [设P(x,y),由=(1,-3),则Q(x-1,y+3),由Q在直线l:x+2y+1=0上,故x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即点P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点到l的距离d=,故A,B,D错误,C正确.故选C.]
6.B [由题意可得,=()·()=()·()=|2-1,当OM与正六边形的边垂直时,|,当点M运动到正六边形的顶点时,|,所以||∈[,2],则||2∈[6,8],即=(-1)∈[5,7].故选B.]
7.C [设P(x,y),则=(-x,-y),=(2-x,4-y),则=-x(2-x)-y(4-y)=-1,即x2-2x+y2-4y+1=0,化为(x-1)2+(y-2)2=4,则点P的轨迹为以D(1,2)为圆心,半径为2的圆,又kOB=,所以B,O,D三点共线,显然当直线PB与此圆相切时,tan∠PBO的值最大.又BD=,PD=2,则PB=,则tan∠PBO=.故选C.]
8.D [由题意=x1x2+y1y2=-1,|,因为cos<,,0≤<,>≤π,
所以向量,,如图,设A(cos α,sin α),B,所以x1+x2+y1+y2=[(1+)cos α+
(1-)sin α]=2sin(α+φ),且tan φ=,因为-1≤sin(α+φ)≤1,所以-2≤x1+x2+y1+y2≤2.故选D.]
9.ABD [A.若a∥b,则1×x=-3×,解得x=-3,故正确;B.若a⊥b,则x+1×(-3)=0,解得x=,故正确;C.若|a+b|=,x=0或x=-2,故错误;D.若=,则cos=cos ,
解得x=-,故正确,故选ABD.]
10.AD [对A:若a,b互相平行,则sin θcos 2θ=cos θsin 2θ,即sin θ(2cos2θ-1)=2sin θcos2θ,又θ∈(0,π),sin θ≠0,则2cos2θ-1=2cos2θ,即-1=0,显然不成立,故a,b必不互为平行向量,A正确;对B:若θ=,则a=(1,0),b=(0,-1),此时a·b=0,a与b垂直,故B错误;对C:若a=b,则sin θ=sin 2θ,且cos θ=cos 2θ,即
sin θ=2sin θcos θ,且cos θ=2cos2θ-1,又θ∈(0,π),sin θ≠0,则cos θ=,且cos θ=2cos2θ-1,显然无法同时成立,即a,b不可能相等,故C错误;对D:|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,故对任意θ,(a+b)⊥(a-b),D正确.故选AD.]
11.ABD [对于A,因为||,所以||2,即,所以=0,即,则BC⊥BA,所以△ABC为直角三角形,故A正确;
对于B,取AB中点F,连接GF,GA,GB,GC,如图,由=0,得()=-,因此点G是△ABC的重心,则()=(),故B正确;
对于C,过B点作BD⊥l2,BE⊥l1,则B,D,E共线,BD=2,BE=1,设∠ABD=θ,而BC⊥BA,
则∠EBC=-θ,所以AB=,BC=,又点G为△ABC的重心,所以△GAB的面积S△GAB=,当且仅当2θ=,即θ=时取等号,故C错误;
对于D,与选项B同理可得(),所以|()2=()=≥=1,当且仅当,即tan θ=时取等号,
则||≥1,故D正确;故选ABD.]
12. [由题意|c|===∈Z,所以cos θ=∈[-1,1],|c|∈Z,
所以只能取.]
13. [设点P(x,y),则=(1-x,-y),=(5-x,-y),由≤4,得(x-1)(x-5)+y2≤4,即(x-3)2+y2≤8,则点P的轨迹是以
点C(3,0)为圆心,2为半径的圆及内部,点C(3,0)到直线3x-y+1=0的距离d=,所以点P到直线
3x-y+1=0距离的最小值为.]
14. [设单位向量e1,e2的夹角为α,则|e1|=|e2|=1,因为|2e1-e2|≤,所以(2e1-e2)2≤3,即4-4e1·e2+≤3,所以e1·e2≥,所以cos α≥,又a=e1+e2,b=3e1+e2,所以a·b=(e1+e2)·(3e1+e2)=3+1+4e1·e2=4+
4cos α,|a|=,|b|=
,所以cos2θ=,所以当cos α=时,cos2θ取最小值.]