§2.2 平面向量的线性运算
教材分析
本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计 ( http: / / www.21cnjy.com )数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。
平面向量的线性运算包括：向量 ( http: / / www.21cnjy.com )加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。
向量的加法运算是通过类比数的加法 ( http: / / www.21cnjy.com )，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。
类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相 ( http: / / www.21cnjy.com )反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。
因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。
向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先 ( http: / / www.21cnjy.com )要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的 ( http: / / www.21cnjy.com )主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法 ( http: / / www.21cnjy.com ),以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特
点.
二、教学目标：
1、知识与技能：
掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。
2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质，使学生理解事物之间相互联系的辩证思想。
三、重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
四、学法指导
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？ ( http: / / www.21cnjy.com )数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(复习导入)上一节,我们一 ( http: / / www.21cnjy.com )起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路2.(问题导入)2004年大陆和 ( http: / / www.21cnjy.com )台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么 怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置 由此导入新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么 与数的运算法则有什么不同
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图1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移、的结果,与A点直接到C点的位移结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:
图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下, ( http: / / www.21cnjy.com )沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
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图2
改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢 由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.
数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
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图3
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
2°向量加法的平行四边形法则
图4
如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢
活动:观察实际例子,教师启发学生思 ( http: / / www.21cnjy.com )考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律 引导学生画图进行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时 ( http: / / www.21cnjy.com ),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
④如图5,作=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.
因为=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.
如图6,因为=+=(+)+=(a+b)+c,
==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
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图5图6
（三）应用示例
思路1
例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.
活动:教师引导学生,让学生探究分别 ( http: / / www.21cnjy.com )用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.
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图7图8 图9
解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b,则=a+b.
作法二:在平面内任取一点O(如图9),作=a,=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则=a+b.
变式训练
化简:(1)+;(2)++;(3)++++.
活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.
解:(1)+=+=.
(2)++=++=(+)+=+=0.
(3)++++FA=++++
=+++=++=+=0.
点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方 ( http: / / www.21cnjy.com ),常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
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图10图11
活动:本例结合一个实际问题说明向量 ( http: / / www.21cnjy.com )加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.
解:如图11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,
所以||=≈5.4.
因为tan∠CAB=,由计算器得∠CAB=70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.
点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.
变式训练
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图12
活动:本题是一道平面几何题 ( http: / / www.21cnjy.com ),如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.
证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=+,=+.
AC与BD互相平分,=,=,=,
因此∥且||=||,
即四边形ABCD是平行四边形.
点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.
思路2
例3 如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+;(2)+;(3)+.
活动:教师引导学生由向量的平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.
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图13
解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,
故+=.
(2)因=,
故+与方向相同,长度为的长度的2倍,
故+=.
(3)因=,
故+=+=0.
点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
活动:
如图14,渡船的实际速度、船速与水速应
满足+=.
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图14
解:设表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.
变式训练
已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则四边形ABCD是怎样的四边形 点O是四边形的什么点
活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的 ( http: / / www.21cnjy.com )某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.
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图15
解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且+++=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,
设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形,
设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.
∵+++=0,+=+=,+=+=,
∴+=0,
即与的长度相等,方向相反.
∴M、O、N三点共线,
即点O在AD与BC的中点连线上.
同理,点O也在AB与DC的中点连线上.
∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识: ( http: / / www.21cnjy.com )向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本 ( http: / / www.21cnjy.com )节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
（五）作业
如图16所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.
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图16
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE.
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=,=.
于是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.
点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:
(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
一、教学分析
向量的数乘运算,其实是加 ( http: / / www.21cnjy.com )法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.
二、教学目标
1、知识与技能：
通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；掌握共线向量的充要条件。
2、过程与方法：
由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养学生类比归纳的能力。
3、情感态度与价值观：
初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。
三、重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加 ( http: / / www.21cnjy.com )减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一 ( http: / / www.21cnjy.com )秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗 怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
活动:引导学生回顾相关知识并猜想 ( http: / / www.21cnjy.com )结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
对问题①,学生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
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图1
==(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是 ( http: / / www.21cnjy.com ):如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨 ( http: / / www.21cnjy.com )学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗 其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③向量的平行与直线的平行是不同的, ( http: / / www.21cnjy.com )直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
（三）应用示例
思路1
例1 计算:
(1)(-3)×4a;
(2)3(a+b)-2(a-b)-a;
(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;
(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:因3m+2n=a,①
m-3n=b.②
3×②得3m-9n=3b.③
①-③得11n=a-3b.
∴n=a-b.④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
点评:此题可把已知条件看作向量m ( http: / / www.21cnjy.com )、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
图2
例2 如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共 ( http: / / www.21cnjy.com )线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
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图3
解:如图3分别作向量、过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这 ( http: / / www.21cnjy.com )里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.
例3 如图4,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗
图4
活动:本例的解答要用到平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,
∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴==(a+b)=a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
==-=-a+b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1 凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).
活动:教师引导学生探究, ( http: / / www.21cnjy.com )能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
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图5
解:方法一:过点C在平面内作=,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EFDG.
∴=.
而=+=+,
∴=(+).
方法二:如图6,连接EB、EC,则有=+,=+,
( http: / / www.21cnjy.com )
图6
又∵E是AD之中点,
∴有+=0,
即有+=+.
以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴==(+)=(+).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练 ( http: / / www.21cnjy.com )习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
例2 已知和是不共线向量=t(t∈R),试用、表示.
活动:教师引导学生思考,由=t(t∈R)知A、B、P三点共线,而=+,然后以表示,进而建立,的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向 ( http: / / www.21cnjy.com )量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考),7若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|C.|2b|>|a+2b|D.|2b|<|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考),5在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A.B. C.-D.-
答案:A
（四）课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量 ( http: / / www.21cnjy.com )的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.
（五）作业2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一、教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理 ( http: / / www.21cnjy.com )解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
二、教学目标：
1、知识与技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。
2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
三、重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
四、学法指导
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢 引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的 ( http: / / www.21cnjy.com )逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义
引导学生思考,相反向量有哪些性质
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
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图2
(2)三角形法则
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢
讨论结果:①=b-a.
②略.
（三）应用示例
如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.
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图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d.
变式训练
(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0
分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.
答案:C
例2 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗
图4
活动:本例是用两个向量表示几 ( http: / / www.21cnjy.com )何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )
A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c
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图5
解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图6
解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b,=-=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形 ( http: / / www.21cnjy.com )结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
例3 判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例4 若||=8,||=5,则||的取值范围是( )
A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)
解析:=-.
(1)当、同向时,||=8-5=3;
(2)当、反向时,||=8+5=13;
(3)当、不共线时,3<||<13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,
另一方面a+b=+=.
由于与是一对相反向量,
∴有+=0,
故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.
∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
（五）作业2.3.3 平面向量的坐标运算
1.前面学面向量的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、 ( http: / / www.21cnjy.com )结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.
3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可 ( http: / / www.21cnjy.com )以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的坐标运算；
2、过程与方法：
通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
3情感态度与价值观：
学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。
三、教学重点与难点
教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.向量具有代数特征,与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？
思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗
②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗 标出点P后,你能总结出什么结论
活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
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图1
a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,
即a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a-b=(x1-x2,y1-y2).
又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).
教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.
由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:
||=||=.
教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.
讨论结果:①能.
②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共线的什么条件
活动:教师引导学生类 ( http: / / www.21cnjy.com )比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ后得x1y2-x2y1=0.
这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.
又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但均无意义.因此是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.
讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.
②充分不必要条件.
提出问题
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb,
那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,
由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.
讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.
教师应向学生特别提醒感悟:
1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°充要条件不能写成(∵x1、x2有可能为0).
3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)
（三）应用示例
思路1
例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
活动:本例是向量 ( http: / / www.21cnjy.com )代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.
解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);
a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.
变式训练
1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab等于( )
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
答案:D
2.(2007全国高考,3) 已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b…( )
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
答案:A
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图2
例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.
解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).
∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴
∴
∴顶点D的坐标为(2,2).
方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知
=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.
变式训练
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图3
如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);
当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);
当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).
例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.
活动:教师引导学生利用向量的共线来 ( http: / / www.21cnjy.com )判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.
解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.
∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
又2×6-3×4=0,∴∥,且直线AB、直线AC有公共点A,
∴A、B、C三点共线.
点评:本例的解答给出了判断三点共线 ( http: / / www.21cnjy.com )的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
变式训练
已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.
解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.
∴y=3.
思路2
例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗 即当=λ时,点P的坐标是什么 师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法:
由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
即
这就是线段的定比分点公式 ( http: / / www.21cnjy.com ),教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.
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图4
解:(1)如图4,由向量的线性运算可知
= (1+2)=().
所以点P的坐标是()
(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即=或=2.
如果=,那么
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图5
=+=+
=+(-)
=+
=().
即点P的坐标是().
同理,如果=2,那么点P的坐标是
点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.
变式训练
在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,
设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得
∴x=-3,y=-5,
即C点坐标为(-3,-5).
(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).
综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
活动:教师引导学生利用向量的坐标运 ( http: / / www.21cnjy.com )算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.
解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).
若点P在第二象限,则
故t的取值范围是(,).
点评:此题通过向量的坐标运算,将 ( http: / / www.21cnjy.com )点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.
变式训练
已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.
解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)
=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).
∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2
=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2
=2+2(sinθ-cosθ)2
=2+2(1-2sinθcosθ)
=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.
∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.
从而-1≤sin2θ≤1.
∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［,］.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方 ( http: / / www.21cnjy.com )法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.
（五）作业2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》
【教学目标】
1．了解平面向量基本定理；
2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【导入新课】
复习引入：
实数与向量的积
实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ.（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时，λ与方向相同；λ<0时，λ与方向相反；λ=0时，λ=.
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ.
3. 向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
新授课阶段
一、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.
二、平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………○2
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
三、平面向量的坐标运算
（1）若，，则，.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则，即，同理可得.
（2）若，，则.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2，y2) -(x1，y1)= (x2 x1，y2 y1).
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即.
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)， C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由，得D1=(2，2).
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0).
例4 已知三个力(3，4)，(2，5)，(x，y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++=，得：(3，4)+ (2，5)+(x，y)=(0，0)，
即：∴∴(5，1).
例5 已知=(2,1),=(－3,4),求＋，－，3＋4的坐标.
解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.
例6 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标.
解：设点D的坐标为（x,y）,
即 3- x=1,4-y=2.
解得x=2,y=2.
所以顶点D的坐标为（2，2）.
另解：由平行四边形法则可得
例7 经过点的直线分别交轴、轴于点，且，求点的坐标.
解：由题设知，三点共线，且，设，
①点在之间，则有， ∴.
解之得：， 点的坐标分别为.
②点不在之间，则有，同理，可求得点的坐标分别为，
.
综上，点的坐标分别为或，.
例8. 已知三点，若，试求实数的取值范围，使落在第四象限.
解：设点，由题设得，
∴， 要使落在第四象限，则，
解之得.
例8 已知向量，问是否存在实数同时满足两个条件：？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
解：假设满足条件的实数存在，则有解之得：
∴满足条件的实数.
课堂小结
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
作业
见同步练习
拓展提升
1.设是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）
A. ， B. +， C. ，2 D.，+
2. 设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. +和- B. 3-2和4-6
C. +2和2+ D. +和
3.已知不共线， =+，=4 +2，并且，共线，则下列各式正确的是（ ）
A. =1， B. =2， C. =3， D. =4
4.设=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）
A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. Ｂ，Ｃ，Ｄ
５．下列说法中，正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为 ( http: / / www.21cnjy.com )表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量.
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③
６．已知是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ）
①+（，为实数）可以表示该平面内所有向量； ②若有实数，使+＝，则＝＝０.
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对
７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（ ）
Ａ．（－） Ｂ． －（－）
Ｃ．－（＋） Ｄ．（＋）
８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，＝，＝，则＝（ ）
Ａ．（－） Ｂ． －（－）
Ｃ．＋ Ｄ．（＋）
９．如果３+４＝，２+３＝，其中，为已知向量，则＝ ，＝ .
１０．已知是同一平面内两个不共线的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 .
１１．当ｋ为何值时，向量＝４+２，＝ｋ＋共线，其中、是同一平面内两个不共线的向量.
１２．已知：、是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量＝ｋ+与＝＋ｋ共线？§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0，∵∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2)共线∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=±∵与方向相同∴x=
例5已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0 ∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、教学分析
平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第 ( http: / / www.21cnjy.com )一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.
前面我们学面向量的数量积,以及平面 ( http: / / www.21cnjy.com )向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的 ( http: / / www.21cnjy.com )基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法：
通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。
3、情感态度与价值观：
能用所学知识解决有关综合问题。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的坐标表示.
教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法 ( http: / / www.21cnjy.com ),向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com ),平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示
②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢
③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识 ( http: / / www.21cnjy.com )对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:
∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,
∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)
=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.
又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:
1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,
即a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a·b=x1x2+y1y2.
2°向量模的坐标表示
若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么
a=(x2-x1,y2-y1),|a|=
3°两向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a⊥bx1x2+y1y2=0.
4°两向量夹角的坐标表示
设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得
cosθ=
讨论结果:略.
（三）应用示例
例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.
∵=(2-1,3-2)=(1,1),
=(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0.
∴⊥.
∴△ABC是直角三角形.
点评:本题考查的是向量数量积的应用 ( http: / / www.21cnjy.com ),利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.
变式训练
在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.
解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.
若∠A=90°,则⊥,所以·=0.
于是2×1+3k=0.故k=.
同理可求,若∠B=90°时,k的值为;
若∠C=90°时,k的值为.
故所求k的值为或或.
例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;
(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),
∴·=3×(-1)+3×6=15.
又∵||==3,||==,
∴cos∠BAC=
(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.
设a与b的夹角为θ,则
cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.
点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.
变式训练
设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°)
解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.
|a|=,|b|=
由计算器得cosθ=≈-0.03.
利用计算器中得θ≈92°.
例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:
(1)若a⊥b,求a;
(2)若a∥b,求a.
活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b ( http: / / www.21cnjy.com )=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,
应仔细比较并熟记,当难以区 ( http: / / www.21cnjy.com )分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.
解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b,
得
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴a=a=
(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴a=a=.
点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况 ( http: / / www.21cnjy.com ),学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=x的图象(直线l2)互相垂直.
解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).
同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:
=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),
=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,
∴⊥,即l1⊥l2.
（四）课堂小结
1.在知识层面上,先引导学 ( http: / / www.21cnjy.com )生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.
2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.
（五）作业第二章平面向量
本章教材分析
1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.
教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景 ( http: / / www.21cnjy.com )以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.
2．教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”, ( http: / / www.21cnjy.com )这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
3．本章充分体现出新教材特点.
以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观 ( http: / / www.21cnjy.com )介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.
4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考.
标题 课时
2.1平面向量的实际背景及基本概念 1课时
2.2向量的线性运算 3课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时
2.4平面向量的数量积 2课时
2.5平面向量的应用举例 2课时
本章复习 2课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、教学分析
本节是本章的入门课,概念较 ( http: / / www.21cnjy.com )多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
二、教学目标
1、知识与技能：
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法：
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、情感态度与价值观：
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
三、重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
四、教学设想：
（一）导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一 ( http: / / www.21cnjy.com )时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相 ( http: / / www.21cnjy.com )反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力 ( http: / / www.21cnjy.com )的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢 这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材 ( http: / / www.21cnjy.com ),思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些 ( http: / / www.21cnjy.com )量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.
讨论结果:
①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.
③略.
提出问题
①如何表示向量
②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么
③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系
⑦数量与向量有什么区别
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.
已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
图2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
用有向线段表示向量的方法是:
1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.
这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用)
3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行 ( http: / / www.21cnjy.com )比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.
讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、.
注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:向量只有大小和方 ( http: / / www.21cnjy.com )向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
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图3
③长度为0的向量叫零向量,长度为1 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一, ( http: / / www.21cnjy.com )方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.
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图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b, =c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注 ( http: / / www.21cnjy.com )意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.
⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.
（三）应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
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图5
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.
变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
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图6
解:根据题意画出示意图,如图6所示.
||=100 m,||=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.
∴||=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.
∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.
图7
例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(1)ABCD中,与是共线向量;
(2)单位向量都相等.
活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.
因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.
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图8
例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.
活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解:==;==;===.
点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.
变式训练
本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个？ (11个)
本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)
例4 下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以 ( http: / / www.21cnjy.com )A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.
答案:C
点评:对于有关向量基本概念的考 ( http: / / www.21cnjy.com )查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练
1.判断:
(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)
2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆
答案:D
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个点B.两个点
C.一个圆D.一条线段
答案:B
（四）课堂小结
本节课从平面向量的物理背景和几何背景入 ( http: / / www.21cnjy.com )手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.
（五）作业2.5 平面向量应用举例
一、教学分析
1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好 ( http: / / www.21cnjy.com )地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:
综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;
向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;
分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.
前三种方法都是中学数学中出现的内容.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易 ( http: / / www.21cnjy.com ).使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
二、教学目标
1．知识与技能：
通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2．过程与方法：
明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习,让学生深刻理解向量 ( http: / / www.21cnjy.com )在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.(直接导入)向量的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算 ( http: / / www.21cnjy.com )和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
图1
①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法
③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？
活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
②教师引导学生探究证明方法, ( http: / / www.21cnjy.com )并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.
图2
证明:方法一:如图2.
作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.
∴AD=BC,AF=BE.由于AC
AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.
BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+D ( http: / / www.21cnjy.com )F2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
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图3
方法二:如图3.
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,
|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.
方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.
∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②
观察①②两式的特点,我们发现,①+②得
||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
③至此,为解决重点问题所作的铺垫 ( http: / / www.21cnjy.com )已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
讨论结果:①能.
②能想出至少三种证明方法.
③略.
（三）应用示例
图4
例1 如图4,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗
活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
解:如图4,
设=a,=b,=r,=t,则=a+b.
由于与共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.
又因为=-=a-b,
与共线,
所以我们设=m=m(a-b).
因为,
所以r=b+m(a-b).
因此n(a+b)=b+m(a-b),
即(n-m)a+(n+)b=0.
由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须
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解得n=m=.
所以=,
同理=.
于是=.
所以AR=RT=TC.
点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.
变式训练
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图5
如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.
证明:设BE、CF相交于H,并设=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
因为⊥,⊥,
所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,
即(h-b)·c=(h-c)·b.
化简得h·(c-b)=0.
所以⊥.
所以AH与AD共线,
即AD、BE、CF相交于一点H.
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图6
例2 如图6,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.
活动:教师可引导学生思考探究,上例利 ( http: / / www.21cnjy.com )用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？
教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.
解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
因为BB′、CC′都是中线,
所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=(),
同理=().
因为BB′⊥CC′,
所以=0,a2=9c2.
所以cosA=.
点评:比较是最好的学习方 ( http: / / www.21cnjy.com )法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.
变式训练
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图7
(2004湖北高考) 如图7,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:的夹角θ取何值时,的值最大 并求出这个最大值.
解:方法一,如图7.
∵⊥,∴·=0.
∵,
∴
=
=-a2-+·=-a2+·(-)
=-a2+·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,最大,其最大值为0.
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图8
方法二:如图8.
以直角顶点A为坐标原点,两 ( http: / / www.21cnjy.com )直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为(x,y),
则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).
∴=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=
∴cx-by=a2cosθ.
∴=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时, 最大,其最大值为0.
（四）知能训练
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图9
1.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证:∠ABC=90°.
证明:如图9.
设=a,=b,
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
因为·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此,得∠ABC=90°.
点评:充分利用圆的特性,设出向量.
2.D、E、F分别是△ABC的三 ( http: / / www.21cnjy.com )条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.
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图10
证明:如图10.
建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).
在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),故对任一t1∈[0,1],△DEF的重心不变.
点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.
（五）课堂小结
1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪 ( http: / / www.21cnjy.com )些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.
2.本节都学习了哪些数学方法:向量法, ( http: / / www.21cnjy.com )向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.
（六）作业2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一、教学分析
平面向量基本定理既是本节的重点 ( http: / / www.21cnjy.com )又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要 ( http: / / www.21cnjy.com )的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
于是,平面内的任一向量a都可由x、 ( http: / / www.21cnjy.com )y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.
二、教学目标
1、知识与技能：
了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。
2、过程与方法：
初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3、情感态度与价值观：
通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
三、重点难点
教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.
教学难点:平面向量基本定理的运用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量, ( http: / / www.21cnjy.com )力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢
思路2.前面我们学习了向量的代数运 ( http: / / www.21cnjy.com )算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
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图1
①给定平面内任意两个不共线的非零向量e ( http: / / www.21cnjy.com )1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢
②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.
活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.由于,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.
由上述过程可以发现,平面内任一向 ( http: / / www.21cnjy.com )量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.
由此可得:平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不唯一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式唯一.
讨论结果:①可以.
②a=λ1e1+λ2e2.
提出问题
①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
活动:引导学生结合向量的定义和性质, ( http: / / www.21cnjy.com )思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:
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图2
已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.
如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.
在不共线的两个向量中,垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.
在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.
讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.
②可以.
提出问题
①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢
②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？
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图3
活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x ( http: / / www.21cnjy.com )轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得
a=xｉ+yj①
这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作
a=(x,y)②
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:
(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.
(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1).
(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为 ( http: / / www.21cnjy.com )表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:
讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).
②是一一对应的.
（三）应用示例
思路1
例1 如图4,ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a,b为基底分解向量.
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图4
活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分 ( http: / / www.21cnjy.com )解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.
解:由H、M、F所在位置,有
=b+a.
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=ab.
点评:以a、b为基底分解向量与,实为用a与b表示向量与.
变式训练
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图5
已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.
作法:(1)如图,任取一点O,作
=-2.5e1,=3e2.
(2)作OACB.
故OC就是求作的向量.
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图6
例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.
活动:本例要求用基底i、j表示a、b、 ( http: / / www.21cnjy.com )c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.
解:由图可知,a=+=xi+yj,
∴a=(2,3).
同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
d=2i-3j=(2,-3).
点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.
变式训练
i,j是两个不共线的向量,已知=3i+2j,=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.
解:∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,
又∵A、B、D三点共线,
∴向量与共线.因此存在实数υ,使得=υ,
即3i+2j=υ[-3i+(1-λ)j]=-3υi+υ(1-λ)j.
∵i与j是两个不共线的向量,
故
∴∴当A、B、D三点共线时,λ=3.
例3 下面三种说法:①一 ( http: / / www.21cnjy.com )个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
活动:这是训练学生对平面向量基本定理的 ( http: / / www.21cnjy.com )正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.
解:平面内向量的基底是不唯一 ( http: / / www.21cnjy.com )的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案:B
点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.
思路2
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图7
例1 如图7,M是△ABC内一点,且满足条件0,延长CM交AB于N,令=a,试用a表示.
活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:
推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a1,a2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则
解:∵
∴由=0,得0.
∴=0.
又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线,
由平行向量基本定理,设
∴0.
∴(λ+2)+(3+3μ)=0.
由于和不共线,
∴∴
∴∴=2a.
点评:这里选取作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.
变式训练
设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.
解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.
又λa+μb=5e1-e2.
由平面向量基本定理,知
解之,得λ=1,μ=-1.
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图8
例2 如图8,△ABC中,AD为△ABC边上的中线且AE=2EC,求的值.
活动:教师让学生先仔细分 ( http: / / www.21cnjy.com )析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.
解:设
∵=,即-=-,
∴=(+).
又∵=λ=λ(-),
∴==+.①
又∵=μ,即-=μ(-),
∴(1+μ)=+μ=
又=,∴=+.②
比较①②,∵、不共线,
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )解之,得∴
点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.
变式训练
过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q,设=h,,试证:
解:设=a,=b,OG交AB于D,则=()=(a+b)(图略).
∴==(a+b),=(a+b)-kb=a+b,
=ha-kb.
∵P、G、Q三点共线,∴.
∴a+b=λha-λkb.∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
两式相除,得,
∴=3.
（四）知能训练
1.已知G为△ABC的重心,设=a,=b,试用a、b表示向量.
2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.
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图9
解答:
1.如图9,=,
而a+(b-a)=a+b,
∴(a+b)=a+b.
点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.
2.∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).
∵a=,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).
∴解得
∴x=-1.
点评:先将向量用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.
（五）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.
（六）作业2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算 ( http: / / www.21cnjy.com )有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢 如果能,运算结果应该是什么呢 另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功
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图1
W=|F||s|cosθ
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉 ( http: / / www.21cnjy.com )及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的 ( http: / / www.21cnjy.com )加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：
通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理 ( http: / / www.21cnjy.com )中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:
W=|F||s|cosθ
其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).
故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.
思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可 ( http: / / www.21cnjy.com )以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？
③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+ ( http: / / www.21cnjy.com )b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).
其中θ是a与b的夹角,|a|c ( http: / / www.21cnjy.com )osθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
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图2
在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;
(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
(4)当0≤θ<时cosθ>0,从而a·b>0;当<θ≤π时,cosθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
①a·b=b·a(交换律);
②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.
图3
(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.
(3)对于实数a、b、c有(a·b ( http: / / www.21cnjy.com ))c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.
讨论结果:①是数量,叫数量积.
②数量积满足a·b=b·a(交换律);
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.
提出问题
①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？
②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？
活动:教师引导学生来总结投影的概念,可 ( http: / / www.21cnjy.com )以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.
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图4
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:
1°投影也是一个数量,不是向量;
2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.
教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1°e·a=a·e=|a|cosθ.
2°a⊥ba·b=0.
3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地a·a=|a|2或|a|=.
4°cosθ=.
5°|a·b|≤|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果:①略(见活动).
②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
（三）应用示例
思路1
例1 已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1, ||=,求·+·+的值.
活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.
解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,
从而sin∠ABC=,sin∠BAC=.
∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.
∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.
故·+·+·
=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°
=-4.
点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.
变式训练
已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2
=62-6×4×cos60°-6×42
=-72.
例2 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0.
∵a2=32=9,b2=42=16,
∴9-16k2=0.
∴k=±.
也就是说,当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.
点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.
变式训练
已知向量a、b满足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范围.
解:∵|a|2=a2=9,
∴|a|=3.
又∵a·b=-12,
∴|a·b|=12.
∵|a·b|≤|a||b|,
∴12≤3|b|,|b|≥4.
故|b|的取值范围是［4,+∞).
思路2
例1 已知在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,试问四边形ABCD的形状如何？
解:∵+++=0,
即a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
由上可得(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.
同理可得a2+d2=b2+c2.
由上两式可得a2=c2,且b2=d2,
即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA,
∴ABCD是平行四边形.
故=,即a=-c.
又a·b=b·c=-a·b,
即a·b=０,∴a⊥b,即⊥.
综上所述,ABCD是矩形.
点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.
例2 已知a,b是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.
活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的ABCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与a-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a-b〉=作为切入点,进行求解.
解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2.
∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.
∴a·b=-|b|2.
而b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2,①
由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2,
而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,
∴|a-b|=3|b|.②
∵cos〈b,a-b〉=
代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.
又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,
∴〈b,a-b〉=.
点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练
设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且b与c的夹角为120°,求m,n的值.
解:∵a⊥c,∴a·c=0.
又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,
即|c|2=ma·c+nb·c.∴|c|2=nb·c.
由已知|c|2=16,b·c=-4,
∴16=-4n.∴n=-4.
从而c=ma-4b.
∵b·c=|b||c|cos120°=-4,
∴|b|·4·()=-4.∴|b|=2.
由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,
∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①
再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2.
∴ma·b-16=-4,即ma·b=12.②
联立①②得2m2=12,即m2=6.
∴m=±.故m=±,n=-4.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.
2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类 ( http: / / www.21cnjy.com )比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.
（五）作业
