3.2简单的三角恒等变换（2）
一、教学目标
1、通过三角恒等变形，形如的函数转化为的函数；
2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点
重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程
（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析
例1：；．
解：（1）由得
（2）
例2．
解：
.
例３．已知函数
求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
例4．若函数上的最大值为6，求常数m的值及此函数当时的最小值及取得最小值时的集合。
（三）练习：教材P142面第4题。
（四）小结：(1) 二倍角公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)二倍角变式：
(3)三角变形技巧和代数变形技巧
常见的三角变形技巧有
①切割化弦；
②“1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等．
（五）作业：《习案》作业三十四3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导 ( http: / / www.21cnjy.com )，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案
一、教学分析
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公 ( http: / / www.21cnjy.com )式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦 ( http: / / www.21cnjy.com )、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也 ( http: / / www.21cnjy.com )充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标
1．知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
三、重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
第1课时
（一）导入新课
思路1.(旧知导入)教师先让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.
②在公式C(α-β)中，角β是任意角， ( http: / / www.21cnjy.com )请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=
③分析观察C(α+β)的结构有何特征？
④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)= sin(α-β)=
⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？
⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=
tan（α+β）=？
⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？
⑧思考如何灵活运用公式解题？
活动：对问题①，学生默写完 ( http: / / www.21cnjy.com )后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到
cos(α+β)=cos［α-(-β)］
=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)
=cosαcosβ-sinαsinβ.
所以有如下公式：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).
对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α ( http: / / www.21cnjy.com )+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.
对问题③，上面学生推得了两角和与差的 ( http: / / www.21cnjy.com )余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α+cos2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ.
在上述公式中,β用-β代之，则
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)
=sinαcosβ-cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=__________.
对问题⑥，教师引导学生思考，在 ( http: / / www.21cnjy.com )我们推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)= ,tan(α+β)= 呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.
当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有
tan(α-β)=
由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).
tan(α+β)=tan(α-β)=
对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.
对问题⑦⑧，教师与学生 ( http: / / www.21cnjy.com )一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-β)=来处理等.
（三）应用示例
思路1
例1 已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.
活动：教师引导学生分析题目中角 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.
解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.
∴tanα==.
于是有sin(-α)=sincosα-cossinα=
cos(+α)=coscosα-sinsinα=
tan(α-)===.
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.
变式训练
1.不查表求cos75°,tan105°的值.
解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°
=,
tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).
2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )
A. B. C. D.4
答案：A
例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).
活动：教师可先让学生自己探究解决， ( http: / / www.21cnjy.com )对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.
解：由sinα=,α∈(,π),得
cosα==-=，∴tanα=.
又由cosβ=,β∈(π,).
sinβ==,
∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=×()-(.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()
=
∴tan(α+β)==.
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
变式训练
引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.
解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，
在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.
于是x=,
又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.
tan(45°+α)==3,
∴x=-30=150(米).
答：这座电视发射塔的高度约为150米.
例3 在△ABC中，sinA=(0°
活动：本题是解三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.
解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).
又∵sinA=且0°又∵cosB=且45°∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=×+×=,
cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
=×-×=.
点评：本题是利用两角和差公式， ( http: / / www.21cnjy.com )来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.
变式训练
在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
答案：C
思路2
例1 若sin(+α)=,cos(-β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.
活动：本题是一个典型的变角问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.
解：∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0,
又已知sin(+α)=,cos(-β)=,
∴cos(+α)=,sin(-β)=.
∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］
=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)
=×-()×()=.
本题是典型的变角问题,即把所求角 ( http: / / www.21cnjy.com )利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,求cos(α+)的值.
解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,
∴<α+β<2π,<β-<.
∴cos(α+β)=,cos(β-)=.
∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］
=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)
=×()+()×=.
例2 化简
活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.
解：原式=
= =
=0.
点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练
化简
解：原式=
=
（四）作业
已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解：∵<α<,∴<-α<0.∴sin(-α)==.
又∵0<β<,∴<+β<π,cos(+β)==.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-()××()=.
（五）课堂小结
1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和 ( http: / / www.21cnjy.com )数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并 ( http: / / www.21cnjy.com )掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
； ( http: / / www.21cnjy.com )．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（五）作业：【重点文班】推导3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案
教学分析
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是 ( http: / / www.21cnjy.com )在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦 ( http: / / www.21cnjy.com )、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的，其推 ( http: / / www.21cnjy.com )导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标
1．知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
三、重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(复习导入)让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.
1.化简下列各式
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;
(2);
(3)
2.证明下列各式
(1)
(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;
(3)
答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.
2.证明略.
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.
活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;
cos（α±β）＝cosαcosβ?sinαsinβ〔C（α±β）〕;
tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.
讨论结果：略.
（三）应用示例
思路1
例1 利用和差角公式计算下列各式的值.
（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;
（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;
（3）
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S(α-β)的右边，（2）同公式C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T(α+β)即可解得.
解：（1）由公式S(α-β)得
原式=sin(72°-42°)=sin30°=.
（2）由公式C(α+β)得
原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
（3）由公式T(α+β)得
原式==tan(45°+15°)=tan60°=.
点评：本例体现了 ( http: / / www.21cnjy.com )对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练
1.化简求值：
（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;
（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;
（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.
（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.
（3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
2.计算
解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.
例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.
活动:本例是一道各地常用的 ( http: / / www.21cnjy.com )、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.
解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),
即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ
=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.
∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.
∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x都成立.
∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0.
∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z).
又θ∈［0,2π),∴θ=或θ=.
点评:本例学生可能会根据 ( http: / / www.21cnjy.com )偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.
变式训练
已知：<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β的值.
解：∵<β<α<,
∴0<α-β<,π<α+β<.
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)= ,
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=.
∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+()×=.
例3 求证：cosα+sinα=2sin(+α).
活动：本题虽小但其意义很大 ( http: / / www.21cnjy.com ),从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.
证明：方法一：右边=2(sincosα+cossinα)=2(cosα+sinα)
=cosα+sinα=左边.
方法二：左边=2(cosα+sinα)=2(sincosα+cossinα)
=2sin(+α)=右边.
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx（a，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得
A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,从而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.
变式训练
化简下列各式：
（1）sinx+cosx;
（2）cosx-6sinx.
解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)
=2sin(x+).
（2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)
=2sin(-x).
例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;
（2）已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求
活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S(α+β)、S(α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切为弦正是，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.
解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.
又∵tan(α+β)=
∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),
即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
（2）∵sin(α+β)=,sin(α-β)= ,
∴sinαcosβ+cosαsinβ=, ①
sinαcosβ-cosαcosβ=. ②
①+②得sinαcosβ=,
①-②得cosαsinβ=,
∴
点评：本题都是公式 ( http: / / www.21cnjy.com )的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.
变式训练
1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.
解：原式=［(1+tan1°) ( http: / / www.21cnjy.com )(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.
2.计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.
解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.
（四）作业
已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.
解：由韦达定理得：tanα+tanβ=,tanαtanβ=,
∴tan(α+β)=.
（五）课堂小结
1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们 ( http: / / www.21cnjy.com )学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.
2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案
一、教学分析
本节主要包括利用已 ( http: / / www.21cnjy.com )有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
本节把三角恒等变换的应用放在 ( http: / / www.21cnjy.com )三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.
二、三维目标
1．知识与技能：
通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦 ( http: / / www.21cnjy.com )、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.
2．过程与方法：
理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.
3．情感态度与价值观：
通过例题的解答，引导学生对变换对象 ( http: / / www.21cnjy.com )目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.
三、重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
第1课时
（一）导入新课
思路1.我们知道变换是数学 ( http: / / www.21cnjy.com )的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路2.三角函数的化 ( http: / / www.21cnjy.com )简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①α与有什么关系
②如何建立cosα与sin2之间的关系？
③sin2=，cos2=，tan2=这三个式子有什么共同特点？
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗
⑤证明(1)sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)sinθ+sinφ=2sin.
并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,将公式中的α用代替,解出sin2即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2,
所以sin2=. ①
在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得
cosα=2cos2-1,
所以cos2=. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得
tan2=. ③
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin=±,cos=±,tan=±,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定.
教师引导学生通过这两种变 ( http: / / www.21cnjy.com )换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边 ( http: / / www.21cnjy.com )出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=，β=,代入 (1)式即得(2)式.
证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
即sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)].
(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①
设α+β=θ,α-β=φ,那么α=,β=.
把α,β的值代入①,
即得sinθ+sinφ=2sincos.
教师给学生适时引导，指出这两 ( http: / / www.21cnjy.com )个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.
讨论结果：①α是的二倍角.
②sin2=1-cos.
③④⑤略(见活动）.
（三）应用示例
思路1
例1 化简:.
活动：此题考查公式的应用， ( http: / / www.21cnjy.com )利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
解:原式==tan.
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+tan10°).
解:原式=sin50°
=2sin50°·
=2cos40°·=1.
例2 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx与sinx±cosx之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中.
解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,
即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.
∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)
=(1+)=.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.
答案:
例1 已知.
活动：此题可从多个角度进行探 ( http: / / www.21cnjy.com )究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a2+b2=1的形式,可利用三角代换.
证明一:∵,
∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B.
∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,
即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.
∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.
∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.
∴cos2B+sin2B=1.
证明二:令=sinα,
则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.
∴=cos2B+sin2B=1.
点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.
变式训练
在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S<1.
证明:∵S=
又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.
∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,
∴tanA·tanB>1.∴S<1.
思路2
例1 证明=tan(+).
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得
=tan(+).
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练
已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.
解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β, ①
3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β, ②
①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,
∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1.
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,
3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,
两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).
∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.
又∵β∈(0,),∴<-2β<.
结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.
∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.
例2 求证:
活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明:证法一:左边=
==右边.∴原式成立.
证法二:右边=1-
=
==左边.∴原式成立.
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.
变式训练
1.求证:.
分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右边就是tan2θ.
证明:原等式等价于.
而上式左边
==tan2右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.
分析:仔细观察已知式与所证 ( http: / / www.21cnjy.com )式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.
证明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]
sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα
tan(α+β)=tanα.
（四）知能训练
1.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为( )
A.5 B.-5 C. D.
2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于( )
A. B. C. D.
3.已知sinθ=,3π<θ<,则tan_________________.
解答:
1.A 2.D 3.-3
（五）课堂小结
1.先让学生自己回顾本节 ( http: / / www.21cnjy.com )学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.
（六）作业