四川省成都市双流区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷（含答案）

四川省成都市双流区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
2.如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列式子中，表示是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图所示的几何体是由个完全一样的正方体组合而成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.袋中有个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为( )
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
7.如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，若的周长是，那么的周长为( )
A. B. C. D.
8.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示若压强由加压到，则气体体积压缩了( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知关于的一元二次方程的一个根是，写出一个符合条件的方程：______．
10.菱形中，对角线，，则菱形的边长为______．
11.如图，在中，为边上的点，，，，则的长为______．
12.对于反比例函数，当自变量时，函数值的取值范围是______．
13.如图，以正方形的顶点为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点处，连接并延长，与的延长线相交于点若，则的长为______．
14.已知，则的值为______．
15.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰有只雄鸟的概率是______．
16.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______．
17.如图，将一张正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点为，得折痕，则值为______．
18.已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
解方程：．
20.本小题分
小明和小刚玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”其它情况，则为平局例如，小明说“木棒”，小刚说“老虎”，则小明胜；又如，两人同时说“公鸡”，则为平局；再如，一人说“小虫”，一人说“老虎”，则为平局．
每一次小明说出“老虎”的概率是______；
如果用，，，分别表示小明说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小明获胜的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以说明．
21.本小题分
在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？
22.本小题分
如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于和两点．
求反比例函数表达式和一次函数表达式；
若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标．
23.本小题分
如图，平分，，分别在射线，上，连接，有，平分交于点，点在线段上，且，延长交于点，连接，．
求证：；
当时，求的度数；
若，，求的长．
24.本小题分
小明妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小明帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下表：
售价元盆
日销售量盆
请根据以上数据，求出日销售量盆与售价元盆间的关系式；
根据以上信息，小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得利润元？
25.本小题分
如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接．
若，求的长；
若，求的值；
过点作且，连接交射线于点，若为等腰三角形，求此时的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象相交于，两点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，连接．
求和的值；
如图，当点在点的左侧时，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，连接，求证：把分成面积相等的两部分；
“三等分角”是数学史上一个著名问题今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助反比例函数给出了一种“三等分锐角”的方法：在中，将直线绕点旋转，当线段，满足某一等量关系时，即可使得．
设为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点的坐标小贴士：
答案和解析
1.
【解析】解：，
或，
所以，．
故选：．
2.
【解析】解：由矩形的对角线相交于点，根据矩形的对角线相等，可得，
故选：．
3.
【解析】解：由原式得，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；
B.该函数为正比例函数，故本选项不符合题意；
C.既不是反比例函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D.既不是反比例函数，也不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：．
4.
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
5.
【解析】解：随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，
从中摸出一个红球的概率为，
估计袋中红球的个数为，
故选：．
6.
【解析】解：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
7.
【解析】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，
∽，
，
的周长：的周长：，
的周长是，
的周长是，
故选：．
8.
【解析】解：设
有图像给出的信息可得：，
，
当时，，
当时，，
，
气体体积压缩了，
故选：．
9.
【解析】解：形如的一元二次方程都含有一个根是，
所以当，时，可以写出方程：．
故答案可以是：．．
10.
【解析】解：
解：四边形是菱形，
，，，
故答案为：
11.
【解析】解：在和中，
公共角，
已知，
∽，
，
，，
．
12.或
【解析】解：反比例函数中，，
图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
时，，
当时，或．
故答案为：或．
13.
【解析】解：由作图过程可知，射线为的平分线，
．
四边形为正方形，
，，，
，
，
．
由勾股定理得，，
的长为．
故答案为：．
14.
【解析】解：设，
则，，，
，
故答案为：．
15.
【解析】解：根据题意画图如下：
共种情况，只雏鸟中恰有只雄鸟有种情况，所以概率为．
故答案为：．
16.
【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，，
，
即：，
解得：．
故答案为：．
是解此题的关键．
17.
【解析】解：延长、相交于点．
根据折叠的性质得，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
18.
【解析】解：如图，连接，，作于，于．
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
19.解：原式
．
，
，
，
则，
所以．
20.
【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中小明说出“老虎”的结果有种，
每一次小明说出“老虎”的概率是．
故答案为：．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中某一次说出时小明获胜的结果有：，，，，共种，
某一次说出时小明获胜的概率为．
21.解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
像的高是厘米．
22.解：反比例函数的图象过点和，
，
，，
反比例函数表达式为，
把和代入得，
解得，
一次函数表达式为；
设，
过作轴于，过作轴于，
，
将线段绕点逆时针旋转，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
或，
或
23.证明：平分，
设，
，
，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：由可知：，，
，
，，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
解：由可知：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
．
24.解：根据销售单价从小到大对应排列得下表：
售价元盆
日销售量盆
观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把，代入得，
解得，
日销售量盆与售价元盆间的关系式；
根据题意得：，
解得，
小明妈妈在销售该种花卉中，当售价定为元时，每天能够获得利润元．
25.解：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
，
∽，
，
，
；
过点作于，则，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
又，
≌，
，
又，，
，
，
，，
，
，
；
设，
当时，则，
，
，
，
又，
∽，
，
；
当时，过作于，交延长线于，
由∽，得，，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
解得舍去负值；
；
当，即，时，，是直角，
当时，是钝角，是钝角三角形，
，
当时，，
不存在的情况，
综上所述，当或时，为等腰三角形．
26.解：将代入直线了：中可得，
，
，
再将点代入反比例函数中，得；
证明：由知，
反比例函数表达式为，
令，
整理得，
解得，，
，
，
设直线表达式为，则，
解得，
直线表达式为，
再联立直线和直线得，，
，
解得，
，，
中点横坐标为，
和交点为中点，
把分成面积相等的两部分；
解：如图，中，，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
如图，过作轴，则，
设，
，，
，
，



，
，
；
同理；
综上，点的坐标为或
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