黑龙江省新时代高中教育联合体2025届高三上学期期末联合考试数学试卷（含答案）

黑龙江省新时代高中教育联合体2025届高三上学期期末联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为米，则经过分钟，其分针的端点所转过的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.圆：与圆：的 公切线条数为( )
A. B. C. D.
5.设函数，则曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的四个顶点满足：，分别是圆柱的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体积的最大值为，则圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平面直角坐标系中，为第一象限内且位于直线上的一点，则( )
A. B.
C. D.
10.现有个按照从小到大排成的数据：，，，，，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，
一定可以使这组数据均小于的有( )
A. 中位数为，众数为 B. 平均数为，极差为
C. 众数为，极差为 D. 平均数为，方差为
11.已知函数，，则( )
A. 曲线是中心对称图形 B. 有极小值为
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则 ．
13.的展开式中的系数为 用数字作答
14.已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求和的值．
16.本小题分
如图，多面体中，是以为顶角的等腰直角三角形，，是等边三角形，是空间中一点，满足，平面平面．

求异面直线与所成的角的余弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数
若，求的单调区间
若既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．
18.本小题分
设抛物线：，过其焦点作两条相互垂直的直线、，与交于、两点，与交于、两点，记中点为、中点为，设与轴交于点．
证明：；
时，设直线：与交于点异于原点，设中点为，记的面积为，求的最小值．
19.本小题分
定义：若正项数列满足，则称数列为“对数中值数列”．
已知，证明：数列为“对数中值数列”；
已知正项数列的前项和为，且，，当，，互不相等时，存在唯一实数，使得成立．
求数列的通项公式；
探究数列是否为“对数中值数列”．
参考答案
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15.解：因为，
则，
因为在中，，
所以，
则有，
因为，
所以，，
故．
由可知：，
在中，因为，，
由余弦定理可得：，
则，
由正弦定理可得：，即，
所以．

16.解：因为平面平面，取的中点为，
因为是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以，
以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
因为，所以，
故，，
故，
即异面直线与所成的角的余弦值为．
易知平面的一个法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则
令，可得平面的一个法向量为，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：时，，，
，
令，解得负值舍去，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为
依题意，，
令，则问题转化为有两个不同的正根，
故
解得，故实数的取值范围为
18.解：由题意设：，：，
联立，得，
，
设、，故有
故，
故点，
同理用替换得点，
设、，
则：，
令，得，得证．
依题意，联立得，．
由可得，
设，则有，
即点的轨迹是抛物线，
设直线：与抛物线相切．
联立得，
令得．
故与之间的距离，
此时，
当且仅当点为时，取得最小值．

19.解：易知，，
要证数列为“对数中值数列”，
即证，
即证，
即证，显然成立，
故数列为“对数中值数列”．
将，互换可得，，
所以，
令，，得，
所以，故数列是等差数列，
，
所以，
故．
记，又
故，
故，
故是单调递增的等差数列，
故，，
故
，故．
故数列为“对数中值数列”．

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