黑龙江省六校2025届高三上学期期末联合考试数学试卷（含答案）

黑龙江省六校2025届高三上学期期末联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“复数是纯虚数”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.设集合，，则集合与集合的关系是( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和．若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数且在定义域内是增函数则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知的展开式中第项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
8.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，，与都是边长为的等边三角形，若点，，，，，都在球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.维生素又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量单位：，得到数据如下：
猕猴桃：
柚 子：
则下列说法正确的是( )
A. 每克柚子维生素含量的众数为
B. 每克柚子维生素含量的分位数为
C. 每克猕猴桃维生素含量的极差高于每克柚子维生素含量的极差
D. 每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数
10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的斜率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量，为单位向量，且，则 ．
13.已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有个零点，则 ．
14.以表示数集中最大小的数设，已知，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求角；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
求证：直线平面；
若点为线段的中点，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
若在区间上存在唯一零点，证明：．
18.本小题分
某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的名选手来自于个不同的班级，三个班级的选手人数分别是，，，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行场比赛，每场比赛采取局胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积分，失败的选手积分；而在比赛中以取胜的选手积分，失败的选手积分．已知第场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．
若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
在第场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望；
在第场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率．
若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设．
(ⅰ)求；
(ⅱ)记，求数列的前项和．
参考答案
1.
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14.
15.解：由可知，
由正弦定理，得，
即．
所以，
又，
所以．
由知．
所以，
又，
所以，
所以，即．
所以的周长为．

16.解：由平面平面，得，
由底面是菱形，得，又平面，所以直线平面．
在菱形中，，，则为正三角形，，
，在平面内作，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的平面角为，，
则，所以二面角的正弦值．

17.解：由题意可知：
的定义域为，且，
若，
则对任意恒成立，
可知的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，
令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得 ，
所以在上单调递减，
即的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间，
若，的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：
因为在区间上存在唯一零点，
所以存在唯一的，
有，
化简得，
若要证明，
则只需，
即只需，
不妨设，
求导得，
令，
求导得，
所以当时，
单调递增，
所以，
所以当时，
单调递增，
所以，
即当时，
有不等式成立，
综上所述：若在区间上存在唯一零点，则．

18.解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，
则；
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
．
所以的分布列为
所以的期望为
依题意，，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以．

19.解：因为，，所以，
所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为；
当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，直线与轴重合，不符合题意．
故直线的斜率均存在且不为，
设直线的方程为，
，
联立方程
消去并整理得，
因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以，
根据韦达定理得，，
则
同理可得
因为三点共线，所以，
易知，
则，
因为，所以；
(ⅱ)结合(ⅰ)可知，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和．

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