甘肃省多校2025届高三上学期1月期末联考数学试卷（含答案）

甘肃省多校2025届高三上学期1月期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
4.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.某学习小组研究一种如图所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径直径为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足且，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了个称重单位：，并整理数据，得到如下频率分布直方图根据此频率分布直方图，下面结论正确的是( )
A.
B. 估计该哈密瓜的质量不低于的比例为
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于至之间
D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于至之间
10.若，则( )
A. B.
C. D.
11.若函数图象的一条对称轴方程为，则( )
A. B.
C. 图象的一条对称轴为直线 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为 ．
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知函数，则函数的最小值为 ；若过原点可向曲线作两条切线，则的取值范围是 注：当时，
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市随机调查了名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：
总计
喜欢
不喜欢
总计
根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？
为进一步了解城市的拥堵情况，该同学从样本中城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取人，并从这人中选出人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附表格及参考公式：，其中．
17.本小题分
已知函数．
若在处取得极值，求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为正三角形，且平面平面，，，，．
证明：．
已知为侧棱上一点，平面．
求的值；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，是线段的中点．
求双曲线的离心率．
过点且斜率不为的直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，．
若直线的斜率为，，求双曲线的方程；
连接并延长，交双曲线于点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：当时，，
当时，，
因为数列为等差数列，且，所以数列的公差为
所以，即，
所以，故，
所以．
因为，
所以，
．

16.解：零假设为：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联．
根据列联表中的数据，得．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于．
根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的人中喜欢骑“共享单车”的有人，不喜欢骑“共享单车”的有人，
所以随机变量的所有可能取值为，
，
所以的分布列为
所以．

17.解：因为在处取得极值，所以为的变号零点，
函数的定义域为，导函数，
所以，得．
，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为．
因为，所以可转化为，即恒成立．
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故实数的取值范围为．

18.解：证明：在梯形中，因为，，，，
所以，则，所以．
因为平面平面且平面平面，所以平面，
因为平面，所以．
设与的交点为，连接，
则在直角梯形，易知，
因为，，所以．
因为平面，且平面，平面平面，
所以，则，即，故．
如图，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，．
因为，所以．
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得．
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：因为是线段的中点，所以，即，所以双曲线的离心率为．
设直线，点，．
联立，得．
由可得，化简得，所以，
即，，．
因为直线的斜率为，所以，．
，即，
结合，，解得，，所以双曲线的方程为．
证明：，，，
则
，
所以．

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