甘肃省临夏州高中2025届高三上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

甘肃省临夏州高中2025届高三上学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
2.若集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的轴截面是一个边长为的正三角形，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在长方形中，点，分别是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，则函数的( )
A. 最大值为 B. 最小值为
C. 一个对称中心为 D. 一条对称轴为
8.已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量服从正态分布，若，则( ) 若随机变量服从正态分布，则
A. B. C. D.
10.如图，在四边形中，，且的外接圆面积与的面积满足，则( )
A. B.
C. 外接圆面积为 D. 的最大值为
11.若函数，则( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的 极大值为 D. 函数有且仅有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则实数 ．
13.双曲线的离心率为，若点为双曲线的左焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为____ ________．
14.已知，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数其中为自然对数的底数．
当时，求函数的单调区间；
若恒成立，求实数的最大值．
16.本小题分
已知数列是以为公比的等比数列，且．
解不等式：．
数列中，定义：使为整数的数叫做期盼数求区间内的所有期盼数的和．
17.本小题分
在四棱锥中，，且平面．
求证：平面．
在线段不含端点上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知两定点，动点满足直线与直线的斜率之积为．
求动点的轨迹方程，并指出方程表示的曲线的形状；
过点的直线与曲线相交于点，且，求直线的方程；
若斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，且，求的取值范围．
19.本小题分
维空间是一个多维空间，其中包含了个维度，若建立维坐标，则维空间中任意一点的坐标可表示为，当任意的时，称为维“单位体”的顶点坐标，对应的点称为维“单位体”的顶点．
求维“单位体”的顶点个数．
定义：在维空间中两点与的氏距离为在维“单位体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的氏距离，求随机变量的分布列和数学期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：当时，，得，
令，解得，令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
方法一：因为，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
故当时，函数存在最小值，最小值为．
若恒成立，则实数，
即，所以实数的最大值为．
方法二：由题意，当时，恒成立；
当时，解得，
令，
得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，所以，
即，所以的最大值为．

16.解：由题意可知数列是以为公比的等比数列，
又，得，
即，得，
所以，则，
设，
所以，
两式相减，得，
，
得，所以，
解得不等式的解集为．
因为，所以
易得当时，为整数，
又，
故区间内的所有期盼数的和为

17.解：由，得，
又，所以
又因为平面，平面，则，
且平面，所以平面
假设在线段上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，
由题意可知，两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，则
设则
设平面的法向量为，且，
故，不妨取，则，可得．
设平面的法向量为，且，
故，不妨取，则．
设平面与平面所成角为，
故，
化简可得，解得或舍去，
因为，所以．
所以在线段不含端点上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为．

18.解：设点的坐标为，由题意且，
即，
得曲线的方程为，
所以曲线为焦点在轴上的椭圆去掉两个短轴端点
由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，所以或，
所以或，所以，
所以．
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
由题意，设，直线，与椭圆方程联立，得消去得：，
则，且
所以，
所以的中点的坐标为．
因为，所以是线段的 垂直平分线，所以．
当时，直线的斜率不存在，此时满足，
当时，根据斜率之积为，可得，所以，
将其代入，并整理得，得，且，
所以，
又由可知，当时，，此时点，中有一点与点重合，又点不在曲线上，所以时，不满足条件．
综上，的取值范围为

19.解：由已知，在维空间中，任意一点的坐标可表示为，
当时，称为维“单位体”的顶点坐标．
故维“单位体”的顶点有个
由题意，在维空间中两点与的氏距离为
，可得在维空间中两点与的氏距离为．
设，为维“单位体”的任意两个不同的顶点，则点与点的组合数共有个，
由题意随机变量的值可以取．
当时，有个第维坐标值不同，点，的组合数共有个，
当时，有个第维坐标值不同，点，的组合数共有个，
当时，有个第维坐标值不同，点，的组合数共有个，
所以．
故分布列为：
得．

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