江西省“上进稳派”2025届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

江西省“上进稳派”2025届高三上学期1月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升已知该地区居民目前的人均收入单位：元服从正态分布，若，则( )
参考数据：，，．
A. B. C. D.
3.已知，圆，圆，则“与有且仅有两条公切线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.小明、小红等人报名学校的三类选修课球类、武术类、田径类，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知是边长为的正三角形，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆与在第一象限交于点，直线与的另一个交点为，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.若四面体的体积为，过该四面体的每一个顶点作与另外三个顶点所在平面平行的平面，四个平面围成一个新的四面体，则新四面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动某高中采用分层抽样的方式从该校的高一、二、三年级中抽取名同学作为代表队参赛，已知该校高一、二、三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的名同学的成绩满分分为：，，，，，，，，，，则( )
A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的分位数为
C. 这组数据的方差为 D. 代表队中高三的同学有人
10.已知抛物线的焦点为，，是上不同的两点，则( )
A. 的方程为 B. 点到的准线距离为
C. 的最小值为 D. 若，，共线，则的最大值为
11.已知函数满足对任意，，都有，且，则( )
A. B. 是奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ．
13.函数在上的值域是，则的取值范围是 ．
14.现在共有个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要 天可以确保抓住狐狸．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，，点在上，且．
求
求的面积．
16.本小题分
已知函数．
若，过原点的直线与的图象相切，求的方程
若，求的最大值．
17.本小题分
如图，在几何体中，，，互相平行，四边形与四边形是全等的等腰梯形，平面平面，，点，，分别为，，的中点．
证明：平面平面
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点．
若直线的斜率存在，求出斜率的取值范围
探究：是否为定值，若是，求出该定值若不是，请说明理由其中，分别表示直线，的斜率
若直线，交于点，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义：若正项数列满足，则称数列具有性质．
已知，证明：数列具有性质
已知正项数列的前项和为，且满足，对任意不相等的正整数，，，存在唯一实数，使得．
(ⅰ)求数列的通项公式
(ⅱ)数列是否具有性质，若是，请给出证明若不是，请说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.解：在中，由余弦定理得，
即，整理得，所以．
在中，由余弦定理得，
所以，
，
所以的面积为．
16.解：当时，，则，
设过原点的直线与的图象在处相切，
则切线斜率，
所以，即，
所以，，
所以的方程为．
当时，，
所以，
设，则在上单调递减，
且，，
所以存在，使得，即，
所以，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以的最大值为．
17.证明：如图，因为四边形是等腰梯形，
点为的中点，点为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
取的中点，连接，，，
则四边形是边长为的菱形，所以，
因为，，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：由知，，，两两垂直，以点为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，得
取，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：依题意，，解得，
易知直线的斜率不为，
设，，直线的方程为，
联立双曲线与直线得，，
则
解得，
再由斜率存在以及可得，
的取值范围为
依题意，，，
由韦达定理可知，，，
于是，
因此
．
由可知，，
设直线与直线的方程分别为，，
联立两直线方程可得交点的横坐标为，
故
，
当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为．
19.证明：易知，，
要证数列具有性质，
即证，
即证，
即证，
即证，这显然成立，
故数列具有性质．
解：将，互换可得，，所以，
令，，得，
所以，
故数列是等差数列，
，所以，
故
解：记，
又
故，故，
故是单调递增的等差数列，
故，，，
故
，
故数列具有性质．
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