2025年四川省眉山市区县高考数学一诊模拟试卷（含答案）

2025年四川省眉山市区县高考数学一诊模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.关于的不等式对一切恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.在中，点在直线上，且满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
10.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 在上单调递增
C. 在上有个零点
D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
11.设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是( )
A. 都是的周期 B. 曲线关于点对称
C. 曲线关于直线对称 D. 都是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.世纪美国天文学家西蒙纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性若说明符号，则 ______．
13.钝角三角形的面积是，，，则______．
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
如图，已知三棱锥中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
点满足，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知
求；
若，，求的面积．
18.本小题分
目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第天的直播中有超过万次的观看．
已知小李第天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第天与第天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万次观看的概率均为，记这天中每天有超过万次观看的天数为．
判断为何值时，最大；
记，求．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，记函数的导数为，求的值．
Ⅱ当，时，证明：．
Ⅲ当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值．
注：是自然对数的底数
参考答案
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14.
15.解：已知，
当时，；
当时，，
综上：；
证明：，
单调递增，
时，，
，
则，
即，
因此：．
16.解：证明：因为，为的中点，所以．
因为，，所以和为全等的等边三角形．
所以又因为为的中点，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
不妨设，则由知，和分别为等边三角形．
所以又因为，，为的中点，
所以，，．
在中，，，
在中，，所以．
所以，，两两互相垂直．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
由题知，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为．
则，
所以．
设平面的一个法向量为．
则，所以．
设平面与平面所成角为，
则，．
17.解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
可得，而，
可得或；
因为，
由恒等式，得，得，
所以只可能是，，此时，
所以，，
所以，
所以．
18.解：由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为，
所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为；
由已知服从二项分布，
所以，
由，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
综上，当时，最大；
因为，所以或，
当时，，，，，，，
，
当时，，，，，，
，
所以．
19.解：Ⅰ当时，，
，分
Ⅱ证明：当，时，，，
令，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
，，
在上单调递增，
，得证．分
Ⅲ当，，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
由题意，得到，
，
由得到，记，
则，
，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
，
当时，，
为增函数，
分
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