2024-2025学年黑龙江省新时代高中教育联合体高二上学期期末联合考试数学试卷B（含答案）

2024-2025学年黑龙江省新时代高中教育联合体高二上学期期末联合考试数学试卷B
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则( )
A. B. C. D.
3.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，，则下列结论正确的是( )
A. “第一次出现的点数为点”与“第二次出现的点数为点”为互斥事件
B. “两次出现的点数之和大于”与“两次出现的点数之和小于”为对立事件
C. 的概率为
D. 的概率为
4.已知的展开式的第项系数为，则下列结论中错误的是( )
A. B. 展开式的常数项为第项
C. 展开式的各二项式系数的和为 D. 展开式的各项系数的和为
5.某类汽车在今年至月销量单位：万辆，如下表所示：
月份
销量
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )
A. 样本的相关系数为负数 B.
C. 当时，残差的绝对值为 D. 可预测当时销量约为万辆
6.今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有解密，名侦探柯南，抓娃娃，逆行人生，死侍与金刚狼，甲和乙两位同学准备从这部影片中各选部观看若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选抓娃娃，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知点是抛物线的焦点，经过的两条直线分别交抛物线于，和，，其中，两点在轴上方若，则四边形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知，，三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了提高身体素质，小伟今年月份一直坚持运动，他将日每天运动时长绘制成了折线图，如图所示，则( )
A. 小伟日每天运动时长的极差为分钟
B. 小伟日每天运动时长的中位数为分钟
C. 小伟日每天运动时长的众数为分钟
D. 小伟日每天运动时长的方差大于日每天运动时长的方差
10.已知点为圆：上的动点，，，则下列说法正确的是( )
A. 面积的最大值为
B. 直线，与圆相交或相切
C.
D. 最大时，
11.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且为坐标原点，记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则( )
A. B. 椭圆的离心率为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则的值为 ．
13.年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办现需要分配名志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ．
14.已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，直线：与圆：交于，两点．
证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离；
已知点在圆上，求的取值范围．
16.本小题分
教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，该地区有小学生人，初中生人，高中生人，按学段比例分层抽样，从中抽取名学生，对其成绩进行统计频率分析，得到如下图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
用样本估计总体，估计该地区成绩的中位数保留小数点后两位，并估计该地区学生成绩大于等于分的人数；
教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了名同学的分数：，已知这个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分和最低分，求剩余个分数的平均数与方差．
参考数据：，，
17.本小题分
目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了名电动车用户，其中男性用户名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性用户
女性用户
合计
根据以上数据，完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取人进行问卷调查，再从这名用户中抽取人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率；
用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取名进行新车试驾，记名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为，求的分布列．
参考公式：，其中．
参考数据：
18.本小题分
某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试年应聘该公司的学生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差已知的近似值为，的近似值为，以样本估计总体．
假设有的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少
现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这人中随机选取人参加面试面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为分，其中通过初试考核记分，通过复试考核记分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为．
若从这人中随机选取人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于分的概率；
若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望．
参考数据：若，则：；；．
19.本小题分
已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为，，为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值．
求双曲线的方程；
已知直线：，交双曲线的左、右两支于，两点．
求的取值范围；
设直线与直线交于点，求证：点在定直线上．
参考答案
1.
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14.
15.
由直线：，
得，
联立，解得
所以恒过定点，
设直线恒过定点为，
则当时，原点到直线的 距离最大，最大距离为．
点在圆上，的几何意义为点到的距离，
因为圆：，即，圆心，
又因为，所以在圆内，
所以到的距离的最大值为，
到的距离的最大值为
所以，
所以的取值范围为．

16.
由，
解得．
因为，，
所以中位数为满足，
由，解得，
即估计该地区成绩的中位数为分；
估计该地区学生成绩大于等于分的人数为人．
【小问详解】
由题意，剩余个成绩的平均值为，
因为个分数的方差，
所以，
所以剩余个分数的方差
，
即剩余个分数的平均数与方差分别为．

17.
被调查的女性市民人数为，
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为．
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，
所以列联表为：
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民
女性市民
合计
零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的 数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的人中，男性市民有人，女性市民有人，
设“有女性市民参加座谈”为事件，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件，
则，，
所以．
根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为，
偏好铅酸电池电动车的 概率为，
参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为，可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列如下：

18.
由，
又的近似值为，的近似值为，
所以该公司预期的平均成绩大约是分．
记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件，
则，，，
的可能取值为，
故，，
，，
，．
故的分布列为：
则．

19.
由题意可得，则，
设，则，且，
由直线的斜率，直线的斜率，
则，可得，
由，则，解得，
所以．
由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为，
易得，解得或；
设，，
联立可得，消去可得，
由可得，，
则，，两式相除可得，即，
由，，则直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
联立可得，则，即，
所以，解得．
综上可得直线与直线的交点在定直线上

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