2024-2025学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学等五校高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省实验中学等五校高二上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.直线与直线之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于( )
A. B. C. D.
7.过倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且满足，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
10.在圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径则下列选项正确的为( )
A. 椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切．
B. 双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切．
C. 抛物线以焦半径为直径的圆与轴相切．
D. 抛物线以焦半径为直径的圆与准线相切．
11.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是( )
A. ，
B. 若，则
C.
D. 若，则的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
13.点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ．
14.抛物线的一条弦的长度为，过，两点分别做抛物线的切线交于点，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从，，等人中选出人排成一排．
必须在内，有多少种排法
，都在内，且排在前面，有多少种排法
，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法
不允许站排头和排尾，不允许站在中间第三位，有多少种排法
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，点是的重心，与交于点．
证明：平面；
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆焦距为，离心率等于
求椭圆的标准方程；
过点作两条互相垂直的弦，，其中，在轴的上方，且在的右侧，设弦，的中点分别为，．
若弦，的斜率均存在，求的最小值；
为坐标原点，试探究：与的面积之比是否为定值若是，请求出此值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四面体中，平面，，分别是线段，的中点，点在线段上，且．
求证：平面；
当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
在的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点的位置．
19.本小题分
双曲线中垂直于实轴的动弦，，为双曲线的两个顶点，直线与交点的轨迹为椭圆．
求椭圆的方程；
且为椭圆上一点，，为椭圆两个动点，直线的斜率和直线的斜率互为相反数，点关于轴的对称点为，为中点，为坐标原点证明：，，三点共线．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：
由题意，先从余下的人中选人共有种不同结果，
再将这人与进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法．
由题意，先从余下的人中选人共有种不同结果，
再将这人与、的进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法，
又、之间的排列有，
所以排在前面，有种不同排法．
因，，都在内，所以只需从余下人中选人有种不同结果，
，必须相邻，有种不同排法，
由于与，都不相邻，先将选出的人进行全排列共有种不同排法，
再将、这个整体与插入到选出的人所产生的个空位中有种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法．
分四类：第一类：所选的人无、，共有种排法；
第二类：所选的人有、无，共有种排法；
第三类：所选的人无、有，共有种排法；
第四类：所选的人有、，若排中间时，有种排法，
若不排中间时，有种排法，
共有种排法；
综上，共有种不同排法．

16.解：
在中，，
所以，所以，
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面．
连接并延长，交于点，连接，
因为点是的重心，所以是的中点，且，
在梯形中，因为，且，
所以，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，
在中，，所以且，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
由知，
则以为坐标原点，所在直线为轴，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题知，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，所以
令，则，，故，
又平面，则为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

17. 解：由题意可知，，可得，
则，所以椭圆的方程为．
设，则
联立方程，消去可得，
则，
由弦长公式可得：，
用代替可得，
可得，
则
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为；
因为，可得，
则，由代替得，
当，即时，，过点；
当，即时，，
则，
当时，，经验证直线过点，
综上，直线恒过点．
设到直线的距离分别为，则，
可得．
所以与的面积之比为定值，定值为．

18. 解：取中点，连接，
是的中点，，且，
在线段上取点，使，连接，，
，，且，
，四边形为平行四边形，，
又平面平面，平面．
，则，，
取中点，则，又平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
由知为中点，为中点，连接，
，
点为内动点且平面，
又平面，平面平面，
，故点在上，
设，又，，，
则，
，
易知平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第个点处时，与平面所成角最大．

19. 解：
，设，
设为曲线上任意一点，则，，
则直线的方程：
直线的方程：
由得，
在双曲线上，，
，
椭圆的方程为．
设，直线的斜率为，
则直线，直线，
联立，得，其中，
，同理，
，
，
设，
，两式作差得，
，，
三点共线．

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