2024-2025学年甘肃省高二上学期期末学业质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省高二上学期期末学业质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，公差为，且满足，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知点为圆上两点，若，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知某校教学楼共有四层，每层有个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选个班级，另一层选个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为( )
A. B. C. 或 D.
7.已知数列为等比数列，，若的前项和为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是( )
A. B. 或 C. D.
10.在下列关于二项式的命题中，正确的是( )
A. 的展开式中，一共有项
B. 在的展开式中，所有二项式系数的和为
C. 若，则
D. 二项式，若，则
11.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，则( )
A. 若直线的斜率为，则 B. 以为直径的圆与轴相切
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列中，，时，，则的通项公式是
13.在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ．
14.已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需人完成，每人至少完成项工作．
共有多少种不同的情况；
求甲做工作的概率．
16.本小题分
已知圆，圆．
若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值；
若圆与直线相交于两点，且，求的值．
17.本小题分
已知数列的首项为，且满足，数列是首项为，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项．
证明数列为等差数列，并求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点．
求椭圆的方程；
求斜率的取值范围；
当时，求两点的坐标．
19.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为，为的右支上一点，且．
求双曲线的方程；
若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值．
参考答案
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15.解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需人完成，每人至少完成项工作，
故有人做两项工作，其余人各做一项工作，
共有种情况．
甲做工作的情况有种：
甲只做工作，共有种情况；
甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．

16.解：由题意，得，解得．
，，
两式相减得．
又两圆公共弦所在直线的方程为，即，
所以，即，满足，故；
圆化为标准方程：设圆的半径为．
在中，取的中点，连接，如图．
因为，所以．
又因为为圆心到直线的距离，所以，
所以，解得．

17.解：由，得，否则，依次，这与题设矛盾，
而，于是，
所以数列是首项，公差为的等差数列，
故，所以．
由得．
设数列的公比为，则，且．
因为是和的等差中项，所以，
即，解得或舍去或舍去，
所以，所以，
所以
．
所以．

18.解：由题意得，
又，所以，所以的方程为．
过点且斜率为的直线的方程为，
联立与，得，
，解得或，
故斜率的取值范围是．
时，，
联立得，，
解得或，
当时，，当时，，
故或．

19.解：由题知，即，又为的 右支上一点，
则，
所以，
故当最小时，最小．
而，
故，
即，故，故双曲线方程为．
证明：设，则．
因为点在双曲线上，所以，得，
即．
双曲线的渐近线方程为，
则过点且与渐近线平行的直线．
设直线与双曲线交于点，由可得，
即，解得，
即，同理可得，
所以
，
所以为定值．

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