2024-2025学年甘肃省高一上学期期末学业质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省高一上学期期末学业质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若角的终边在第四象限，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知函数若函数所有零点的乘积为，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
13.已知，则 ．
14.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合或．
当时，求；
“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔单位：分钟满足，平均每班地铁的载客人数单位：人与发车时间间隔近似地满足函数关系
若平均每班地铁的载客人数不超过人，试求发车时间间隔的取值范围；
若平均每班地铁每分钟的净收益为单位：元，则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
17.本小题分
已知，函数是奇函数，．
求实数的值；
若，使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数．
求函数在上的最大值；
若不等式在上恒成立，求的取值范围；
若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
定义在上的函数是单调函数，，且．
求，判断函数的奇偶性；
判断函数的单调性并证明；
若存在使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
当时，．
因为或，
所以或．
因为或，所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以．
当时，符合题意，此时有，解得．
当时，要使，只需解得．
综上可得，
即实数的取值范围是

16.解：
当时，超过，所以不满足题意；
当时，，载客人数不超过，
即，解得或，
由于，所以，可知的取值范围是．
根据题意，
则
根据基本不等式，，当且仅当，
即时取得等号，所以
即当时，每分钟的净收益的最大值为元．
当时，单调递减，，
即当时，每分钟的净收益的最大值为元．
综上所述，当发车时间间隔为时，平均每班地铁每分钟的净收益最大，
最大净收益为元．

17.解：
因为函数是奇函数，所以，
即，即，解得，
因为，所以．
当时，，此时的定义域为，
关于原点对称，满足题意．
综上，．
由题意得，，
由知，，
易得在上单调递增，故．
，
当时，，所以当时，，
所以，
解得，即实数的取值范围为．

18.解：
令，
则变为，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上可知，．
若要，则需，
当时，，
函数变为，
所求问题变为恒成立，
易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有
解得，故的取值范围是；
令由题意可知，当时，
关于的方程在时有两个不等实数解，
所以原题可转化为在内有两个不等实数根，
令，则有
解得，即的取值范围是．

19.解：
在等式中，
令，可得，解得．
因为函数的定义域为，
令，可得，所以，
因此，函数为奇函数．
函数为上的增函数证明过程如下：
任取，且，则，所以．
因为，
所以，
所以，函数在上为增函数．
由存在使得，
可得．
因为函数在上为增函数，则．
令，其中，则，
即函数为偶函数，
任取，且，
则
，
因为，则，则，
所以，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
即，
所以，当时，．
令，则，则，
所以，可得．
令，其中，由题意可得．
因为函数在上单调递减，
则，
则，因此，实数的取值范围是．

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