2024-2025学年陕西省榆林市高一上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林市高一上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
4.“且”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.给定数集，若对于任意，都有，且，则称集合为闭集合，则下列说法正确的是( )
A. 自然数集是闭集合
B. 无理数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合，为闭集合，则也为闭集合
8.已知函数的定义域为，且对任意实数，，都有若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题正确的是( )
A. 若且，则为第二象限角
B. 将分针拨快分钟，则分针转过的角度为
C.
D. 的图象关于直线对称
10.已知，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则( )
A.
B. 在区间上是减函数
C. 是奇函数，且在区间上是增函数
D. 是偶函数，且在区间上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个幂函数满足以下两个条件：定义域为；为减函数，则 ．
13. ．
14.已知函数的零点为，的零点为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知________请从下列两个条件中任选一个作答．
条件：角的终边与单位圆的交点为；
条件：角满足．
求的值；
求的值．
注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分．
16.本小题分
已知二次函数．
当取何值时，不等式对一切实数都成立？
若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
函数在一个周期内的图象如图所示．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
判断在上的单调性并利用定义法证明；
求在上的最大值．
19.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在个不同的实数，使得其中，则称为的“重覆盖函数”．
若，求的值域并判断是否为的“重覆盖函数”，请说明理由；
求证：是的“重覆盖函数”；
若为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一．
13.
14.
15.
条件：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件：因为角满足，又因为，
即，可得
又，，
即．
无论选择还是均可得到，
，
当时，；
当时，；

16.
因为为二次函数，所以，
又因为不等式对一切实数都成立，
所以，解得．
当在上仅有一个零点时，由，解得，
此时零点为，符合题意；
当在上有两个零点时，，即且，
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，由零点存在定理，则，即，解得
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为

17.
由最值得，
由相邻两零点距离得，则，即，
此时，
因为，则该函数一个最高点为，
代入点得：，
则，即，
又因为，所以，
故．
由题意得，
则，
因为
，且其定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数．

18.
因为，所以，即
因为，所以．
在 区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，所以，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，由知在上单调递减，所以；
当时，由知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，

19.
不是的“重覆盖函数”，理由如下：
设，则，
令，
则，
由，得，所以，得．
函数的定义域为，且，
当时，函数与直线只有个交点，
所以不是的“重覆盖函数”．
设，定义域为，则，
又，所以，解得，即的值域为；
的定义域为，且
当时，，令，
则且，
所以函数与直线有个交点，
即函数与直线在上有个交点；
同理当时，函数与直线在上亦有个交点，
所以是的“重覆盖函数”．
函数的定义域为，即，
由，得，所以的值域为；
函数的定义域为，
因为为的“重覆盖函数”，
所以函数图象与有个交点．
当时，，与有一个交点，
所以当时，函数与有且只有一个交点，
下面讨论当时，函数情况
若，与有且只有一个交点，满足题意；
若，函数开口向下，对称轴为，
此时，
此时函数与有个交点，不满足题意；
若，函数开口向上，对称轴为，
当即时，函数对称轴，由于，
故函数与有且只有一个交点，所以；
当即时，此时，
要使函数与有且只有一个交点，
只需，解得，所以．
综上，实数的取值范围为．

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