2024-2025学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的公差，前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知正项数列中，，则该数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
7.已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，分别以点为圆心，以，为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则( )
A. 若重合，则直线的方程是
B. 若不重合，则
C. 若直线的斜率存在，则其斜率为
D. 若不重合，则四边形的面积为
10.圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴双曲线的实轴，抛物线的对称轴的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则( )
A. B. 可以是直角三角形三条边的长
C. 双曲线的离心率 D. 点到双曲线渐近线的距离为
11.如图，球的两个截面圆和圆的圆心分别为，半径均为，且圆和圆所在平面分别与轴和轴垂直．若动点分别在两个圆周上匀速运动，每秒运动一周，其中点的起始点分别为，，点按照图中指针方向运动，运动时间为单位：秒，则( )
A. 球的表面积为
B. 当时，
C. 存在时刻，使得点在球面上相遇
D. 的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为秒
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项的乘积为，若，则 ．
13.已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为 ．
14.如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为．
写出的标准方程，并判断其位置关系；
若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程．
16.本小题分
已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．
证明：数列和均为等比数列．
设数列的前项和为，求．
17.本小题分
如图，已知在四棱锥中，底面是边长为的 菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．
判断是否为棱的中点，并说明理由；
求平面与底面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为．
当直线过焦点时，证明：互相垂直．
当时，设弦的中点为．
点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
求的最大值．
19.本小题分
将向量组成的系列称为向量列，记作已知向量列满足，且．
求数列的通项公式．
设，且．
数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
若，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
的圆心分别为，半径分别为，
所以的标准方程为；
的标准方程为，
可得，可知，
所以内切．
因为动圆的半径为，
因为动圆与与外切且与内切，
则，且，
由椭圆的定义可知，动点在以为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，则，
又因为内切，则点不能在切点处，即椭圆应去掉点，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．

16.解：
因为复数是虚数单位，，且，，所以，
所以，
所以，又可得
所以，
所以：数列和均是等比数列．
因为，所以，
所以，
．

17.解：
取的中点，连接，
因为，，所以，，．
又因为是菱形，，所以，，
因为，所以，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
所以．
因为，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的，
所以，所以为棱的中点．
因为平面，平面，
所以，，又，
如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
底面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即
取，，得．
设平面与底面所成角为，
所以，
平面与底面所成角的余弦值为．

18.解：
由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，，
由于焦点，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
设，，则过点的切线方程为，
联立方程组，得。
则，解得，同理，
，所以互相垂直．
当时，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
直线与交于点，设，
抛物线在点处的切线方程为，即，
同理，在点处的切线方程为．
联立，解得
将式代入化简得
则点在定直线上
线段的中点为，
由可得，，，
则．
，
又
将式代入得，，
则，
由，则．
的取值范围为．

19.解：
由，可得，
根据题意得，
所以数列是以为公比的等比数列；
又，所以．
结论：数列中存在最小项；理由如下：
因为，所以；
假设中第项最小，由，，可知：时，；
当时，有，由，可得：，
即；所以，所以，
解得：或舍；所以；即；
所以，由得；
综上，数列中存在最小项；
因为
，所以；所以；
因此，
所以；
又存在正整数，不等式成立，
所以只需，即；
因此或，解得：；
即实数的取值范围是．

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