2024-2025学年广东省阳江市高新区高一上学期1月期末测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省阳江市高新区高一上学期1月期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“或”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数是上的增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，设，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，且，则下列说法正确的有( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域为且 B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 在内有最小值
11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则( )
A. 为函数图象的一条对称轴
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象与函数的图象交点个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 ．
13.已知，且，则 ．
14.已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围
当时，解关于的不等式．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足．
证明：
若，求角．
17.本小题分
“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为，预计安装后该水厂需缴纳的总水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求在区间上的最小值；
若，总存在，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数在的最小值为．
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意可得，关于的不等式在上恒成立，
当时，，恒成立
当，因为不等式在上恒成立，
所以，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
因为，由，得，
所以，
若，则不等式变为，可得
若，则不等式变为，当，即时，可得或
当，即时，，可得
当，即时，可得或．
综上所述，当时，解集为
当时，解集为或
当时，解集为
当时，解集为或．
16.解：证明：因为，
所以，又，所以，
由余弦定理可得，即，
由正弦定理得，
即，所以，
又，，，所以．
由得，，
则，解得，
因为，所以，
所以，
展开得，
，
又，
得，
，
，
，
可得，
又，
所以．
17.解：由题意得，
令，即，
整理得，即，
解得，
所以设备占地面积的取值范围为；
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以设备占地面积为平方米时，的值最小，最小值为万元．

18.解：当时，，
令，则由，可知的取值范围为，
故原函数可化为，
由对勾函数性质，可知在上单调递增，
因此在时取到最小值，此时，
所以当时，在上取到最小值；
依题意，，
故当时，，．
因为，总存在，使得，
设在上取值的集合为集合，则有A.
当时，显然有在区间上单调递增，
此时，，
由，可知，解得
当时，由基本不等式，，当且仅当时等号成立，
因此有，即，
因为时，，故时，在上单调递增，
此时，，
由此可得无解，
综上，实数的取值范围为：．
19.解：函数，对称轴为，
当即时，函数在上单调递增，所以，即；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即；
当即时，函数在上单调递减，所以，即，
故．
由知，当时，，函数单调递增，
当时，，对称轴为，函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递增．
由，
得或
解得或
故实数的取值范围为．

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