2024-2025学年广东省深圳市龙岗区高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙岗区高二上学期期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
3.若双曲线的焦距为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.直线与圆的公共点个数为( )
A. B. C. D. 不确定
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知向量与平面垂直，且经过点，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列是递增数列，前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B.
C. 函数只存在一个极小值，无极大值
D. 有唯一零点
11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在点处的切线方程为 ．
13.已知为坐标原点，为椭圆：的右焦点，若上存在一点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率为 ．
14.已知直四棱柱，底面是边长为的菱形，且，点为的中点，点是棱上的动点则直线与直线所成角的正切值的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆与圆．
若圆与圆相内切，求的值；
在的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值．
16.本小题分
在正三棱柱中，，为的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且
求的通项公式
记，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
求椭圆的方程
直线交椭圆于，两点，，，三点不共线，且直线和直线关于对称．
(ⅰ)证明：直线过定点
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数，为的导函数，记，其中为常数．
讨论的单调性
若函数有两个极值点，，
求的取值范围
求证：．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：，，，
，，
，，，
圆与圆相内切，，，
．
由得，圆的方程为，，，
故圆心到直线的距离，
．

16.解：证明：
连接，与交于点，
连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，
则，，
又平面，
所以底面，
底面，所以，
则以为原点，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，
，，，
所以，，
，，
设平面的法向量为，
则
取，得，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则
取，得，
故平面的一个法向量为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：令，得，解得，
由，得，
两式相减得，，
即，
即，
所以，
当时，，满足上式，
所以．
由知，
．
18.解：设椭圆的焦距为，依题意，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：依题意，直线斜率存在，
设直线的方程为，，，
则，
消去，整理得，
因为交椭圆于，两点，
所以，
所以，，
因为直线和直线关于对称，
所以
，
所以
，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点
设直线的方程为，
则，
消去，整理得，
因为交椭圆于，两点，
所以，
解得，
所以．
所以，
令，，
则，
当且仅当时即时取等号．
所以面积的最大值为．
19.解：，定义域为，，
，
，
当时：
恒成立，在上单调递增，
当时：
令，则，解得：，
令，则，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由知：时，在上单调递增，
则最多一个根，不符合题意，故．
函数有两个极值点，，
在有两个不同零点的必要条件是，
解得：．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，且当趋于时，趋近于，
由零点存在性定理得：在，各有个零点．
即在，各有个零点，
即有两个极值点，
的取值范围是
证明：函数有两个极值点，，
，，
得：，要证，
即证，
即证，
即证，令，
则，令，
则．
在上单调递增，
，
所以在上成立，
，得证．
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