2024-2025学年天津市和平区高一上学期期末质量调查数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区高一上学期期末质量调查数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题“，”的 否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
6.若且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向左平行移动后得到函数的图象，则的对称轴为( )
A. B.
C. D.
8.方程的一个根所在的区间为，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数是定义在上的函数，且满足．，，当时，有，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10. ．
11.幂函数的图像过点，则 ．
12.已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形面积为 ．
13.若角的终边经过点其中且，则 ．
14.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为在年月四川长宁发生里氏级的地震，它释放出来的能量是年月内蒙古阿拉善右旗发生里氏级地震释放出来能量的 倍
15.已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：式中字母均为正数；
化简：．
17.本小题分
已知全集，若集合，．
若，求集合及；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数，
求函数的最小正周期和对称中心坐标；
求函数的单调递增区间；
当时，求的最大值以及取得最大值时的值．
20.本小题分
双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，．
判断的奇偶性并证明；
判断在的单调性并用定义法进行证明；
关于的方程在有解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：．
．

17.解：
由可得，解得或，
所以或，
当时，，
则或．
当时，，即，
此时满足；
当时，要使，
则，解得；
综上所述，实数的取值范围．

18.解：
由题设
由题设易知，且，则，
则．

19.解：
由，
所以最小正周期，
令，则，，即对称中心为，．
令，，则，，
所以函数的单调递增区间为，．
由，则，故，
所以，函数最大值为，此时．

20.解：
奇函数，证明如下：
由题设，的定义域均为，且，，
所以分别为奇函数、偶函数，
所以且定义域为，
所以为奇函数，得证．
在的单调递增，证明如下：
令，则，
显然，故，即，
所以在的单调递增．
【小问详解】
由题设，
又，令，
结合知单调递增，故，
又，
所以在上有解，
又在上单调递增，故，
所以，可得．

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