2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上学期期末联合考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上学期期末联合考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 150.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-22 20:36:13 | ||
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文档简介
2024-2025学年四川省眉山市东坡区高二上学期期末联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆心为且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
2.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则( )
A. B. C. D.
4.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线过椭圆；的一个焦点，与交于，两点，与平行的直线与交于，两点，若的中点为，的中点为，且的斜率为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上一点满足，为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆的 焦距为，则( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的 中点，则下列结论不正确的是( )
A. 的焦点坐标为， B. 的长轴长为
C. 直线的方程为 D.
11.已知直线和圆，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得直线与圆相切
B. 若直线与圆交于两点，则的最小值为
C. 对任意，圆上恒有个点到直线的距离为
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆和点，则过点的的切线方程为 ．
13.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
14.已知椭圆：的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．
求圆的方程．
过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知椭圆．
若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程；
求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程．
17.本小题分
已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切．
求圆的方程；
过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点若求直线的方程．
18.本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：；
求直线和平面所成角的正弦值；
线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：
圆与轴相切，且半径为，圆心在第一象限，
圆心的坐标可设为，，
又圆与直线相切，
，解得，
圆的方程为．
设直线的方程为，即，
易知圆心到的距离为，
，
解得，的方程为：；
当斜率不存在时，方程为，此时圆心到的距离为，符合条件；
综上所述，的方程为或．
16.解：在椭圆中，，，，且椭圆的焦点在轴上，
设所求双曲线的标准方程为，焦距为，
由已知条件可得，，，
因此，所求双曲线的标准方程为；
椭圆的离心率为，
设所求椭圆的标准方程为，焦距为，则，
所以，，，则所求椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入所求椭圆的方程得，解得，
因此，所求椭圆的标准方程为．
17.解：圆心在射线上，
设，，
又圆过原点，且与相切，
，即
即，．
，，
，半径，
圆的方程为．
若的斜率不存在，则，
代入，得，即．
代入，得，．
即，，．
，，，
，不合题意．
若的斜率存在，设，
由，得，即，
是的中点，，即．
．
又，，
，
解得．
的方程为．
18.解：
，且，分别为，的中点，
所以，即，又为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以．
过点作交于点，
因为，，所以，
，，，
以点为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
【小问详解】
设线段上是否存在点，且，
，，
则，
因为直线和所成角的余弦值为，
则，
即有，
解得：或舍
即点与点重合时，直线和所成角的余弦值为，
此时：．
19.解：设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为，
将代入方程得，，
易知，所以，因此，椭圆的方程为；
存在这样的点为，下面证明：
设，，，所以要使得，
即 ；
联立
由韦达定理得，，
代入可将化简为，要使得式子关于恒成立，即此时，
所以点；
设点，，，
因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得，
故，
因为，代入得．
而，，
而，所以，即线段的长度为定值．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆心为且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
2.平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则( )
A. B. C. D.
4.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线过椭圆；的一个焦点，与交于，两点，与平行的直线与交于，两点，若的中点为，的中点为，且的斜率为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上一点满足，为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆的 焦距为，则( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的 中点，则下列结论不正确的是( )
A. 的焦点坐标为， B. 的长轴长为
C. 直线的方程为 D.
11.已知直线和圆，则下列说法正确的是( )
A. 存在，使得直线与圆相切
B. 若直线与圆交于两点，则的最小值为
C. 对任意，圆上恒有个点到直线的距离为
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆和点，则过点的的切线方程为 ．
13.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
14.已知椭圆：的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．
求圆的方程．
过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知椭圆．
若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，求双曲线的标准方程；
求过点，焦点在轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程．
17.本小题分
已知圆过原点，圆心在射线，且与直线相切．
求圆的方程；
过点的直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点若求直线的方程．
18.本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：；
求直线和平面所成角的正弦值；
线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：
圆与轴相切，且半径为，圆心在第一象限，
圆心的坐标可设为，，
又圆与直线相切，
，解得，
圆的方程为．
设直线的方程为，即，
易知圆心到的距离为，
，
解得，的方程为：；
当斜率不存在时，方程为，此时圆心到的距离为，符合条件；
综上所述，的方程为或．
16.解：在椭圆中，，，，且椭圆的焦点在轴上，
设所求双曲线的标准方程为，焦距为，
由已知条件可得，，，
因此，所求双曲线的标准方程为；
椭圆的离心率为，
设所求椭圆的标准方程为，焦距为，则，
所以，，，则所求椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入所求椭圆的方程得，解得，
因此，所求椭圆的标准方程为．
17.解：圆心在射线上，
设，，
又圆过原点，且与相切，
，即
即，．
，，
，半径，
圆的方程为．
若的斜率不存在，则，
代入，得，即．
代入，得，．
即，，．
，，，
，不合题意．
若的斜率存在，设，
由，得，即，
是的中点，，即．
．
又，，
，
解得．
的方程为．
18.解：
，且，分别为，的中点，
所以，即，又为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以．
过点作交于点，
因为，，所以，
，，，
以点为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有，即
令，则，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
【小问详解】
设线段上是否存在点，且，
，，
则，
因为直线和所成角的余弦值为，
则，
即有，
解得：或舍
即点与点重合时，直线和所成角的余弦值为，
此时：．
19.解：设椭圆的焦距为，因为的面积为，所以，设椭圆的方程为，
将代入方程得，，
易知，所以，因此，椭圆的方程为；
存在这样的点为，下面证明：
设，，，所以要使得，
即 ；
联立
由韦达定理得，，
代入可将化简为，要使得式子关于恒成立，即此时，
所以点；
设点，，，
因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的倍除以周长，所以，化简得，
故，
因为，代入得．
而，，
而，所以，即线段的长度为定值．
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