2024-2025学年上海市闵行区高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市闵行区高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2.小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算( )
A. B. C. D.
3.设、、、为实数，下列命题中成立的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，那么
4.已知、都是实数，，若函数的值域为，且对任意的实数，关于的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为( )
A. B. C. D. 无数
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集，集合，则
6.若，用有理数指数幂的形式表示
7.对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限
8.已知，则函数的值域为
9.命题“若，则”是真命题，则实数的取值范围为
10.若，对任意且，函数的图像必过定点
11.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
12.用函数的观点解关于的不等式，可得解集为
13.若，，则
14.设，且函数是偶函数，若，则
15.雅各布伯努利是世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，为大于的正整数，则由此可知，函数在区间上的最小值是
16.若函数在区间上的最小值为，则实数的取值范围为
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根为、．
求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，证明：在区间上是严格增函数．
19.本小题分
当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡如图所示数学生物学研究表明，种群数量与时间的关系可以用逻辑斯蒂方程：来表示，其中表示环境容量特定环境能够稳定承载的最大种群数量，表示种群初始数量，表示物种内禀增长率没有环境限制时种群数量的固有增长率某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类已知池塘对鱼类的环境容量为条，初始投入条，鱼类的年内禀增长率为．
预计放养年后的同一天，该池塘里有鱼类多少条结果保留整数
如果某一天与它前一年的 同一天相比，鱼类的年增长率小于或等于，则称此时鱼类与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类才能与池塘环境接近自然平衡结果保留整数，其中，，，
20.本小题分
在平面直角坐标系中，若点，，称为，两点的绝对和，记为．
若，，求；
已点，点在直线上，证明；
已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值．
21.本小题分
已知集合，是正整数，，，，都是实数．若，则称为元“集”，记作．
判断是否为真命题；
若，、均为正实数，求的取值范围；
若，，，且，记，证明：当时，对任意实数恒成立，且．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.四
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
由题意，解得或，
的范围是．
由题意，，
所以，解得，
又，所以，即．

18.解：
是奇函数，理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
，
根据函数奇偶性定义知，为奇函数；
时，，设，则
因为，所以，，
所以，即，即，
根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数．

19.解：
由题意得，
当时，，
预计放养年后的同一天，该池塘里有鱼类条数为；
由题意得，
化简得，
其中，，，
由于单调递减，
当时，，
当时，，
解得，故至少年鱼类才能与池塘环境接近自然平衡．

20.解：
，，由题知．
点在直线上，设．
，．
由绝对值不等式可知：，
当且仅当，即时等号成立．
．
动点在函数，的图象上，设，．
，．
设，．
则的定义域关于原点对称，且，
函数，为偶函数，
故只需研究函数在的最大值即可．
当时，，，
由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为，
故函数在上单调递增，；
当时，，，
由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为，
故函数在上单调递增，在上单调递减，；
当时，令得，
由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为；
开口向上，对称轴为，故在上单调递增．
当，即时，在上单调递增，此时，，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，．
综上，．
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，．
函数的最小值为．

21.解：
为真命题，理由如下：
，，
所以满足，为真命题；
由题意得，故，，
，
因为、均为正实数，故，所以，
故当时，取得最大值，
且，所以
的取值范围为
，故，
所以，同理可得，
故
，
又，
所以
，
因为，，，所以，
，
故，
下证，
由于，
即
，
若，因为，，
所以，
所以，
满足，满足要求，
又
因为，，，
若，其中，
此时，，
此时，不合要求，
综上，．

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